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1、 第1页 学科网（北京）股份有限公司 华侨城高级中学华侨城高级中学 2024 届高三深圳一模适应性考试届高三深圳一模适应性考试数学数学试题试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 1已知向量(1,)am=，(3,2)b=，且()abb+，则(m=)A8 B6 C6 D8 2已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是()A若mn，m，n，则 B若/mn，/m，/n，则/C若mn，/m，则n D若/mn，m
2、，则/n 3已知nS为等差数列na的前n项和，4920224aaa+=，则20(S=)A60 B120 C180 D240 4将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 6 次，得到的点数分别为 1，2，4，5，6，x，则这 6 个点数的中位数为4 的概率为()A16 B13 C12 D23 5已知函数()cos()1(0)3f xx=+的最小正周期为，则()f x在区间0，2上的最大值为()A12 B1 C32 D2 6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a=，5b=，2 coscaA=，则cos(A=)A13 B24 C33 D63 7已知1F，2F是椭圆22122:1(0)xyCaba
3、b+=的两个焦点，双曲线22222:13xyCmm=的一条渐近线l与1C交于A，B两点若12|FFAB=，则1C的离心率为()A22 B32 C21 D31 8 已知函数()f x的定义域为R，()xyf xe=+是偶函数，()3xyf xe=是奇函数，则()f x的最小值为()Ae B2 2 C2 3 D2e 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错
4、的得 0 分分 第2页 学科网（北京）股份有限公司 9某服装公司对15月份的服装销量进行了统计，结果如下：月份编号x 1 2 3 4 5 销量y（万件）50 96 142 185 227 若y与x线性相关，其线性回归方程为7.1ybx=+，则下列说法正确的是()A线性回归方程必过(3,140)B44.3b=C相关系数0r D6 月份的服装销量一定为 272.9 万件 10设1z，2z为复数，下列命题中正确的是()?A1212zzzz+=+B若120z z=，则1z与2z中至少有一个是 0 C若22120zz+=，则120zz=D1212|z zzz=11已知圆22:2220C xykxyk+=
5、，则下列命题是真命题的是()A若圆C关于直线ykx=对称，则1k=B存在直线与所有的圆都相切 C当1k=时，(,)P x y为圆C上任意一点，则3yx+的最大值为53+D当1k=时，直线:220lxy+=，M为直线l上的动点过点M作圆C的切线MA，MB，切点为A，B，则|CMAB最小值为 4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知集合|24Axx=，则实数a的取值范围为 13已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4 的半圆若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为3的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之
6、比为 14已知数列na的首项11a=，且满足11(1)(2)0nnnnaaaa+=对任意*nN都成立，则能使2023ma=成立的正整数m的最小值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共5小题，共小题，共77分分.请在请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或，解答时应写出文字说明、证明过程或 第3页 学科网（北京）股份有限公司 演算步骤演算步骤.15（13 分）已知函数2()1f xalnxbx=+，a，bR若()f x在1x=处与直线0y=相切（1）求a，b的值；（2）求()f x在1e，2e（其中2.718e=为自然对数的底数）上的最大值和最小值 16（
7、15 分）如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且SAB是边长为 4 的等边三角形，C，D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点（1）证明：/DE平面SAC（2）求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值 17（15 分）某 6 人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为 2，3，4 的人数分别为 1，3，2，现从这 6人中随机选出 2 人作为该组的代表参加表彰会（1）求选出的 2 人参加志愿者活动次数相同的概率；（2）记选出的 2 人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望 18（17 分）设抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为F，点(,4)P a在抛物线C上，PO
8、F（其中O为坐标原点）的面积为4（1）求a；（2）若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为43，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标 19（本小题满分 17 分）第4页 学科网（北京）股份有限公司 对于给定的正整数n，记集合1|(nRx=，2x，3x，)nx，jxR，1j=，2，3，n，其中元素称为一个n维向量特别地，0(0,0,0)=称为零向量 设kR，1(a=，2a，)na，1(b=，2b，)nnbR，定义加法和数乘：11(ab+=+，22ab+，)nnab+，1(kka=，2ka，)nka 对一组向量1，2，(ssN+，2)s，若存在一组不全为零的实数1k
9、，2k，sk，使得11220sskkk+=，则称这组向量线性相关否则，称为线性无关（1）对3n=，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由(1,1,1)=，(2,2,2)=；(1,1,1)=，(2,2,2)=，(5,1,4)=；(1,1,0)=，(1,0,1)=，(0,1,1)=，(1,1,1)=（2）已知向量，线性无关，判断向量+，+，+是线性相关还是线性无关，并说明理由（3）已知(2)m m个向量1，2，m线性相关，但其中任意1m 个都线性无关，证明下列结论：（）如果存在等式11220(mmikkkkR+=，1i=，2，3，)m，则这些系数1k，2k，mk或者全为零，或者全不为零
10、；（）如果两个等式11220mmkkk+=，11220(mmilllkR+=，ilR，1i=，2，3，)m同时成立，其中10l，则1212mmkkklll=第1页 学科网（北京）股份有限公司 华侨城高级中学华侨城高级中学 2024 届高三深圳一模适应性考试届高三深圳一模适应性考试 数学试题数学试题解析版解析版 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题）1已知向量(1,)am=，(3,2)b=，且()abb+，则(m=)A8 B6 C6 D8【解答】解：向量(1,)am=，(3,2)b=，(4,2)abm+=，又()abb+，122(2)0m=，解得：8m=，故选：D 2已知，是两个不同的平面，
11、m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是()A若mn，m，n，则 B若/mn，/m，/n，则/C若mn，/m，则n D若/mn，m，则/n【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若m，n，设直线m，n的方向向量分别为,m n，则平面，对应法向量为,m n，由mn，即mn，则，故A正确；对于B，若/mn，/m，/n，则与可能平行或相交，故B错误；对于C，若mn，/m，则n，或/n，或n与相交，故C错误；对于D，若/mn，m，则n，又，则/n或n，D错误 故选：A 3已知nS为等差数列na的前n项和，4920224aaa+=，则20(S=)A60 B120 C180 D240【解答】解：解法
12、一、设等差数列na的首项为1a，公差为d，则492011112(3)2(8)(19)43824aaaadadadad+=+=+=，所以121912ad+=，第2页 学科网（北京）股份有限公司 所以201112020 1910(219)10 121202Sadad=+=+=解法二、因为数列na为等差数列，所以492012922224aaaaa+=+=，所以12912aa+=，所以1202012012920()10()10()1202aaSaaaa+=+=+=故选：B 4将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 6 次，得到的点数分别为 1，2，4，5，6，x，则这 6 个点数的中位数为4 的概率为()A16
13、 B13 C12 D23【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 6 次，得到的点数分别为 1，2，4，5，6，x，x的可能取值分别为 1，2，3，4，5，6，有 6 种情况，其中，这 6 个点数的中位数为 4 时，x的可能取值为 4，只有 1 种情况，这 6 个点数的中位数为 4 的概率为16P=故选：A 5已知函数()cos()1(0)3f xx=+的最小正周期为，则()f x在区间0，2上的最大值为()A12 B1 C32 D2【解答】解：函数()cos()1(0)3f xx=+的最小正周期为2=，2=，函数()cos(2)13f xx=+，233x+，43 故当233x+=时，()f
14、x取得最大值为13122+=故选：C 6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a=，5b=，2 coscaA=，则cos(A=)A13 B24 C33 D63【解答】解：因为2 coscaA=，由余弦定理可得22222bcacabc+=，将3a=，5b=代入整理得2 6c=，所以6cos23cAa=故选：D 第3页 学科网（北京）股份有限公司 7已知1F，2F是椭圆22122:1(0)xyCabab+=的两个焦点，双曲线22222:13xyCmm=的一条渐近线l与1C交于A，B两点若12|FFAB=，则1C的离心率为()A22 B32 C21 D31【解答】解：如图所示，由已知2
15、2222:13xyCmm=，则渐近线:3l yx=，即260AOF=，又12|FFAB=，即2|OFOA=，且四边形12AFBF为矩形，所以22|AOOFAFc=，则1|3AFc=，又根据椭圆定义可知12|32AFAFcca+=+=，所以离心率23131cea=+故选：D 8 已知函数()f x的定义域为R，()xyf xe=+是偶函数，()3xyf xe=是奇函数，则()f x的最小值为()Ae B2 2 C2 3 D2e【解答】解：因为函数()xyf xe=+为偶函数，则()()xxfxef xe+=+，即()()xxf xfxee=，又因为函数()3xyf xe=为奇函数，则()3()3
16、xxfxef xe=+，即()()33xxf xfxee+=+，联立可得()2xxf xee=+，第4页 学科网（北京）股份有限公司 由基本不等式可得()2222 2xxxxf xeeee=+=，当且仅当2xxee=时，即当122xln=时，等号成立，故函数()f x的最小值为2 2 故选：B 二多选题（共二多选题（共 3 小题）小题）9某服装公司对15月份的服装销量进行了统计，结果如下：月份编号x 1 2 3 4 5 销量y（万件）50 96 142 185 227 若y与x线性相关，其线性回归方程为7.1ybx=+，则下列说法正确的是()A线性回归方程必过(3,140)B44.3b=C相关
17、系数0r，所以相关系数0r，所以C错误；对于D，当6x=时，644.37.1272.9y=+=，所以可预测 6 月份的服装销量约为 272.9 万件，所以D错误 故选：AB 10设1z，2z为复数，下列命题中正确的是()?A1212zzzz+=+B若120z z=，则1z与2z中至少有一个是 0 C若22120zz+=，则120zz=D1212|z zzz=第5页 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：对于A，设1zabi=+，2(zcdi a=+，b，c，)dR，12()zzacbd i+=+，12()zzacbd i+=+，1zabi=，2zcdi=，12()zzacbd i+=+，故A正
18、确；对于B，120z z=，则1212|0z zzz=，故1z与2z中至少有一个是 0，故B正确；对于C，令11z=，2zi=，满足22120zz+=，但12zz，故C错误；对于D，由复数模的性质可知，1212|z zzz=，故D正确 故选：ABD 11已知圆22:2220C xykxyk+=，则下列命题是真命题的是()A若圆C关于直线ykx=对称，则1k=B存在直线与所有的圆都相切 C当1k=时，(,)P x y为圆C上任意一点，则3yx+的最大值为53+D当1k=时，直线:220lxy+=，M为直线l上的动点过点M作圆C的切线MA，MB，切点为A，B，则|CMAB最小值为 4【解答】解：由
19、圆22:2220C xykxyk+=，得222()(1)(1)xkyk+=+，所以圆心(,1)C k，半径为|1|(1)kk+，故A不正确；圆心(,1)C k，到10 x+=的距离为|1|k+，故存在直线10 x+=与所有的圆都相切，故B正确；当1k=时，222220 xyxy+=，得222(1)(1)2xy+=，令12cosx=+，12siny=+，332 3cos12sin134sin()533yx+=+=+，故C正确；当1k=时，222220 xyxy+=，得222(1)(1)2xy+=，圆心(1,1)C，半径2r=因为四边形MACB的面积21|2|2|2|42CAMSCMABSCAAM
20、AMCM=，第6页 学科网（北京）股份有限公司 要使四边形MACB面积最小，则需|CM最小，此时CM与直线l垂直，又C到220 xy+=的距离为2|212|521d+=+，|4 544CMAB=，故D正确 故选：BCD 三填空题（共三填空题（共 3 小题）小题）12已知集合|24Axx=，则实数a的取值范围为 (3,3)【解答】解：集合|24Axx=，214a ，解得33a，实数a的取值范围为(3,3)故答案为：(3,3)13已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4 的半圆若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为3的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为 17 【解
21、答】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，小圆锥的底面半径为1r，则4l=，由1222rl=，解得2r=，所以22422 3AO=，因为3OD=，所以2 333AD=，由ADE 相似于AOB，可得,ADDEAOOB=，所以3212 3ADDEOBAO=，即11r=，所以小圆锥的体积211333VrAD=小圆锥，圆台的体积()()22117 311 223333VSS SS h=+=+=台，第7页 学科网（北京）股份有限公司 所以17VV=小圆锥圆台 故答案为：17 14已知数列na的首项11a=，且满足11(1)(2)0nnnnaaaa+=对任意*nN都成立，则能使2023ma=成立的正
22、整数m的最小值为 19 【解答】解：根据11(1)(2)0nnnnaaaa+=可知11nnaa+=+或12nnaa+=；当11nnaa+=+时，数列na是以11a=为首项，1 为公差的等差数列；所以1(1)1naann=+=，则2023mam=，可得2023m=；当12nnaa+=时，数列na是以11a=为首项，2 为公比的等比数列；所以11122nnnaa=，则122023mma=，解得21log 2023m=+，不合题意，舍去；若数列na为等差和等比交叉数列，又易知11a=，22a=；若要使m的值最小，第8页 学科网（北京）股份有限公司 则12022ma=+，12022ma=，21011m
23、a=，31010ma=，4505ma=，5504ma=，6252ma=，7126ma=，863ma=，962ma=，1031ma=，1130ma=，1215ma=，1314ma=，147ma=，156ma=，163ma=，1722maa=，此时172m=，即192023m=；故正整数m的最小值为 19 故答案为：19 四解答题（共四解答题（共 5 小题）小题）15已知函数2()1f xalnxbx=+，a，bR若()f x在1x=处与直线0y=相切（1）求a，b的值；（2）求()f x在1e，2e（其中2.718e=为自然对数的底数）上的最大值和最小值【解答】解：（1）函数2()1f xaln
24、xbx=+，()2afxbxx=，函数()f x在1x=处与直线0y=相切，(1)20(1)10fabfb=+=，解得21ab=；（2）由（1）可得2()21f xlnxx=+，22222(1)(1)()2xxxfxxxxx+=，所以当11xe，当21x e 时，()0fx，22224()2()152f elneee=+=+的焦点为F，点(,4)P a在抛物线C上，POF（其中O为坐标原点）的面积为 4（1）求a；（2）若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为43，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标 第11页 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1）设抛物
25、线2:2(0)C ypx p=的焦点为F，点(,4)P a在抛物线C上，POF（其中O为坐标原点）的面积为 4，因为点(,4)P a在抛物线C上，所以162pa=，即8pa=，因为POF的面积为 4，所以14422p=，解得4p=，所以2a=；证明：（2）若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为43，由（1）得2:8C yx=，(2,4)P，当直线l斜率为 0 时，不适合题意；当直线l斜率不为 0 时，设直线:l xmyt=+，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由28yxxmyt=+，得2880ymyt=，则2020mt+，128yym+=，128y y
26、t=，因为直线PA，PB的斜率之和为43，所以1212444223yyxx+=，即12221244432288yyyy+=，所以12884443yy+=+，所以1212121212122(8)2(8)1222(88)344(4)(4)4()1684 816yyyymyyyyy yyytm+=+=+，整理得122mt=，所以直线11:(2)(1)222l xmyttyttyy=+=+=+，令1102y+=，得2y=，4x=，所以直线l过定点(4,2)19对于给定的正整数n，记集合1|(nRx=，2x，3x，)nx，jxR，1j=，2，3，n，其中元素称为一个n维向量特别地，0(0,0,0)=称为
27、零向量 设kR，1(a=，2a，)na，1(b=，2b，)nnbR，定义加法和数乘：11(ab+=+，22ab+，)nnab+，1(kka=，2ka，)nka 对一组向量1，2，(ssN+，2)s，若存在一组不全为零的实数1k，2k，sk，使得11220sskkk+=，则称这组向量线性相关否则，称为线性无关（）对3n=，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由(1,1,1)=，(2,2,2)=；(1,1,1)=，(2,2,2)=，(5,1,4)=；第12页 学科网（北京）股份有限公司(1,1,0)=，(1,0,1)=，(0,1,1)=，(1,1,1)=（）已知向量，线性无关，判断向量
28、+，+，+是线性相关还是线性无关，并说明理由（）已知(2)m m个向量1，2，m线性相关，但其中任意1m 个都线性无关，证明下列结论：（）如果存在等式11220(mmikkkkR+=，1i=，2，3，)m，则这些系数1k，2k，mk或者全为零，或者全不为零；（）如果两个等式11220mmkkk+=，11220(mmilllkR+=，ilR，1i=，2，3，)m同时成立，其中10l，则1212mmkkklll=【解答】（）解：对于，设120kk+=，则可得1220kk+=，所以,线性相关；对于，设1230kkk+=，则可得12312312325020240kkkkkkkkk+=+=+=，所以12
29、20kk+=，30k=，所以,线性相关；对于，设12340kkkk+=，则可得124134234000kkkkkkkkk+=+=+=，解得123kkk=，可取11k=，42k=，满足方程组，所以,线性相关；（）解：设123()()()0kkk+=，则131223()()()0kkkkkk+=，因为向量，线性无关，所以131223000kkkkkk+=+=+=，解得1230kkk=，所以向量+，+，+线性无关，（）证明：1122()0mmi kkk+=，如果某个0ik=，1i=，2，m，则112211110iiiimmkkkkk+=，因为任意1m 个都线性无关，所以1k，2k，1ik，1ik+，mk都等于 0，第13页 学科网（北京）股份有限公司 所以这些系数1k，2k，mk或者全为零，或者全不为零，()ii因为10l，所以1l，2l，ml全不为零，所以由11220mmlll+=可得21211mmllll=，代入11220mmkkk+=可得2122211()0mmmmllkkkll+=，所以2122111()()0mmmllkkkkll+=，所以21210lkkl+=，110mmlkkl+=，所以1212mmkkklll=