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1、高二数学试题第 1页（共 8 页）2023-2024 学年度上学期泉州市高中教学质量监测2024.01高 二 数 学本试卷共本试卷共 22 题，满分题，满分 150 分，共分，共 8 页。考试用时页。考试用时 120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。3选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚
2、。一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1 已知直线1l的倾斜角为60，若直线2l与1l垂直，则2l的斜率为A3B3C33D332 已知数列na满足112a，111nnaa()*Nn，则5a的值为A2B12C12D13 椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点 现有一个轴截面
3、长轴长为24cm的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为A24cmB48cmC72cmD96cm4 四棱锥PABCD的底面为矩形，PC 平面ABCD，M在棱PC上，|2AD，则AM BC =A4B4C3 2D3 25 已知1F，2F为双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点，P为双曲线上的任意一点，若12PFPF 的最小值为2a，则双曲线的离心率为A2B3C2D3保密启用前#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 2页（共 8 页）6 已知nS是等差数列na的前n项和，若121
4、113SSS，则使0nS 的最小整数n=A12B13C24D257 已知(0,1)A，(0,2)B，若直线:2l yax上有且只有一点P满足|2|PBPA，则a A33B3C33或33D3或38 棱长为4的正方体1111ABCDABC D中，M，N分别为BD，11C B的中点，点P在正方体1111ABCDABC D的表面上运动，若MPCN，则AP的最大值为A4B6C33D41二二、选择题选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分
5、，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。9 已知圆221:4Cxy和圆222:40Cxyx，则A两圆的公共弦所在的直线方程为1x B圆2C上到直线1x 的距离为1的点恰有2个C圆1C的内部与圆2C的内部的公共部分的周长为2D若点M在圆1C上，点N在圆2C上，则|MN的最大值为610已知空间向量(1,2,4)BA，(0,2,1)BC ，则A0BA BC BCA 在CB 上的投影向量为(0,2,1)C若向量(1,0,6)BE ，则点E在平面ABC内D向量2 55(0,)55是与BC 平行的一个单位向量11已知nS，nT分别是数列 na，nb的前n项和，12a，1nnSa(2
6、)n，21221loglognnnbaa，则A12nnaB24S C221nbnD101011T12已知曲线:C210 xaxy（a为非零常数），则A原点是C的对称中心B直线yxt与C恒有两个交点C当1a 时，直线yx是C的渐近线D当3a 时，直线3yx为C的对称轴#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 3页（共 8 页）三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。将答案填在答题卡相应位置。分。将答案填在答题卡相应位置。13直线:(1)240l xmym恒
7、过定点_14已知P是抛物线:C24 2yx上纵坐标为4的点，则P与C的焦点的距离为_15 在空间直角坐标系中，若平面过点0000(,)P xyz，且以向量(,)a b c u（a，b，c 不全为零）为法向量，则平面的方程为000()()()0a xxb yyc zz.已知平面ABC的方程为210 xyz，则点(1,2,3)P到平面平面ABC的距离为_16已知nS是数列na的前n项和，11a，且11233nnnanaan为偶数，为奇数，.若100(,1)Sm m，mN，则m _四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 题，共题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应
8、写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10 分）已知(1,0)A，(3,0)B，(1,2)C，圆为ABC的外接圆（1）求圆的方程；（2）若过点(0,3)的直线l被截得的弦长为2 3，求直线l的方程#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 4页（共 8 页）18（12 分）已知数列na为递增的等差数列，510a，4a为2a和8a的等比中项（1）求数列na通项公式；（2）若2nanb，求数列nnab的前n项和为nS#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABA
9、A=#高二数学试题第 5页（共 8 页）19（12 分）已知动圆M过点(1,0)F且与直线1x 相切，记该动圆圆心M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）若过点(2,0)H的直线l交C于A，B两点，且2AHHB ，求OAB的面积#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 6页（共 8 页）20（12 分）三棱台ABCDEF中，2ABDE（1）若AE与BD交于点M，2BNNF，求证：MN平面ABC；（2）若平面ABED 平面ABC，ADAB，2AB，2 5BC，4 2AC，CF与底面ABC所成角的正切值为2，求平面
10、AEF与平面BCFE夹角的余弦值#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 7页（共 8 页）21（12 分）第二十四届北京冬季奥林匹克运动会开幕式上的主火炬如图一，这是历史上第一座由所有参赛国家和地区的名字汇聚成的大雪花.没有天马行空的点火方式，也没有赫赫炎炎的剧烈燃烧，但却清晰地传递了低碳环保理念，一朵雪花照亮了“双奥之城”北京，也将照亮全人类的绿色未来.如图二是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法是从一个正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，
11、再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案已知原正三角形（图二）的边长为3，并将图二中的第n个图的面积记为na（1）求1a，2a；（2）求数列na的通项公式，并探究是否存在超过图二面积2倍的图形#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 8页（共 8 页）22（12 分）已知椭圆22:14xCy与x轴交于A,B两点，点M为椭圆上不同于A,B的点（1）若直线MA，MB的斜率分别为1k,2k，求12|kk的最小值；（2）已知直线:l xt(|2)t，直线MA，MB分别交l于P、Q两点，N为PQ中点试判断直
12、线MN与C的位置关系#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 1页（共 29 页）2023-2024 学年度上学期泉州市高中教学质量监测2024.01高 二 数 学本试卷共本试卷共 22 题，满分题，满分 150 分，共分，共 8 页。考试用时页。考试用时 120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。3选择题答案使用 2B 铅笔填
13、涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1 已知直线1l的倾斜角为60，若直线2l与1l垂直，则2l的斜率为A3B3C33D33【命题意图】本小题主要考查直线的倾斜角与斜率及两条直线之间的位置关系等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归转化、数形结合等思想；体现基础性，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注.
14、【试题解析】直线1l的倾斜角为60，斜率1tan603lk，因为21ll，所以121llkk，即233lk ，故选 C.2 已知数列na满足112a，111nnaa()*Nn，则5a的值为A2B12C12D1【命题意图】本小题主要考查数列递推关系及数列的周期性等基础知识；考查运算求解、推理论证等能力；考查化归与转化思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注【试题解析】112a，21121aa，32111aa，431112aa，保密启用前#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 2页（共 29 页）所以数列n
15、a是以 3 为周期的数列，522aa.故选 A3 椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点 现有一个轴截面长轴长为24cm的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为A24cmB48cmC72cmD96cm【命题意图】本小题主要考查椭圆的定义等基础知识；考查推理论证能力和数学应用意识；考查化归与转化，数形结合思想；体现基础性和应用性，导向对直观想象，数学建模等核心素养的关注。【试题解析】由椭圆的定义可知光线
16、从一个焦点经反射经过另一个焦点，其路程为长轴长224a cm，再由第二个焦点经反射返回第一个焦点的路程仍为长轴长，所以经过的路程总共为448a cm故选 B4 四棱锥PABCD的底面为矩形，PC 平面ABCD，M在棱PC上，|2AD，则AM BC =A4B4C3 2D3 2【命题意图】本小题主要考查空间向量基本定理、向量数量积等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注【试题解析】法一：如图，因为四边形ABCD是矩形，所以0AB BC ，又PC 平面ABCD，M在棱PC上，所以0CM BC ，所以2()4AM BCABBCCMBCAB BCBC
17、CM BC 故选 B法二：如图以C为原点，CD，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，|2AD,设|CDa，|CMc，依题意得#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 3页（共 29 页）(0,0,0)C，(0,2,0)B，(,2,0)A a，(0,0,)Mc，(,2,)AMac ，(0,2,0)CB ，所以2(2)4AM CB 故选 B5 已知1F，2F为双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点，P为双曲线上的任意一点，若12PF PF 的最小值为2a，则双曲线的离心率
18、为A2B3C2D3【命题意图】本小题主要考查向量运算及双曲线的几何性质等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归转化和数形结合等思想；体现基础性、综合性；导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注.【试题解析】如图,不妨设1F，2F为左、右焦点，O为坐标原点，法一：设1(,0)Fc，2(,0)F c，00(,)P xy，则22212000000(,)(,)PF PFcxycxyxcy 2222|OPcac（当且仅当P在顶点时取等号）所以222aca 即222ca得到2cea，故选A.法二：11PFPOOF，22PFPOOF ，12OFOF ，1212()()PF PFPOOFPOOF 222121
19、2POPO OFPO OFOF OFPOc ，#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 4页（共 29 页）当P在双曲线的顶点时，12PF PF 取最小值，故222aca,所以ba，得2cea，故选 A.6 已知nS是等差数列na的前n项和，若121113SSS，则使0nS 的最小整数n=A12B13C24D25【命题意图】本小题主要考查等差数列的前n项和公式、等差数列的性质等基础知识；考查运算求解、推理论证等能力；考查化归与转化思想；体现综合性，导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注【试题解析】等差数列na的
20、前n项和为nS，由1211SS，且1311SS，得1212110aSS，121313110aaSS，13120aa，则数列na的公差0d，于是数列na是递增的等差数列，当12n 时，0na，当13n 时，0na，所以123231223()2302aaSa，11242412324()12(02)Saaaa，所以使0nS 成立的最小的n为24.故选 C.7 已知(0,1)A，(0,2)B，若直线:2l yax上有且只有一点P满足|2|PBPA，则a A33B3C33或33D3或3【命题意图】本小题主要考查圆的方程与性质以及直线与圆的位置关系等基础知识；考查直观想象，运算求解，推理论证能力等；考查数
21、形结合思想等；体现基础性，综合性，导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注【试题解析】设动点,P x y，由题意得2222221xyxy，化简可得22(2)4+xy，故动点P的轨迹方程为2224+xy.#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 5页（共 29 页）曲线 C 是以02，为圆心，2 为半径的圆，且P在直线:2l yax上，故直线与圆相切，且切点为P，由22221a，得23a，所以a 3或3，故选 D.8 棱长为4的正方体1111ABCDABC D中，M，N分别为BD，11C B的中点，点P在
22、正方体1111ABCDABC D的表面上运动，若MPCN，则AP的最大值为A4B6C33D41【命题意图】本小题主要考查空间中的线线垂直、线面垂直、空间两点间的距离等基础知识；考查运算求解、空间想象、推理论证等能力；考查化归与转化思想；体现综合性、应用性，导向对直观想象、逻辑推理等核心素养的关注【试题解析】如图，取1AA的中点E，1BB的中点F，连接11,C F EF D E，可证1CNC F，CNEF，所以CN 平面11C FED，取AD中点T，BC中点Q，1CC的四等分点R满足114CRC C，1DD的四等分点S满足114DSD D，可证平面/QRST平面11C FED，所以CN 平面QR
23、ST，又因为平面QRST经过BD的中点M，由已知可得P点轨迹为四边形QRST的边界（不包括内部和点M），所以当点P位于点R时，AP取最大值，为22244133,故选 C.二二、选择题选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 6页（共 29 页）
24、9 已知圆221:4Cxy和圆222:40Cxyx，则A两圆的公共弦所在的直线方程为1x B圆2C上到直线1x 的距离为1的点恰有2个C圆1C的内部与圆2C的内部的公共部分的周长为2D若点M在圆1C上，点N在圆2C上，则|MN的最大值为6【命题意图】本小题主要考查圆与圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查化归与转化、数形结合等思想；体现基础性和应用性，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】两圆的公共弦所在的直线方程为：222244xyxyx（）（)=0即1x，故 A 正确如下图，圆心2C到直线:1l x 的距离12d ，而圆2C半径2r为2
25、，可知圆2C与直线l相交，而2OC垂直l且O到l距离为21rd，由22|2C Or知y轴与圆2C相切，故O是圆2C被l所截劣弧上唯一到l距离为1的点；过2C作直线l的平行线l，则l和y轴是平面上到l距离为1的所有点的集合而l和圆2C相交于点E和点F，所以共3点（O，E，F）符合题意，故 B 错误如上图，直线:1l x 与x轴交于点P，交两圆于S，T，在2RtSPC中，2221cos2PCPC SC S，所以260PC S，故2120TC S，所以弓形TOS的周长为24233，故所求公共部分周长为83，故 C 错误.（从图形可以大（从图形可以大致看出所求公共部分周长大于半圆周长致看出所求公共部分
26、周长大于半圆周长2）#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 7页（共 29 页）由平几知识可知，当M，N和两圆圆心共线，且在两圆心的两侧时，MN最大，为圆心距和两个半径的和6，故 D 正确故选 AD.10已知空间向量(1,2,4)BA，(0,2,1)BC ，则A0BA BC BCA 在CB 上的投影向量为(0,2,1)C若向量(1,0,6)BE ，则点E在平面ABC内D向量2 55(0,)55是与BC 平行的一个单位向量【命题意图】本小题主要考查空间向量的垂直、平行的坐标运算，单位向量、投影向量、共面向量的概念
27、及运算等基础知识；考查运算求解、推理论证等能力；考查化归与转化思想；体现基础性和应用性，导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注【试题解析】由已知可得(1,2,4),(0,2,1)BABC ，0440BA BC ，A 正确；由于BABC，所以CA 在CB 上的投影向量即为(0,2,1)CB ，B 正确；若BE 在平面ABC内，则存在实数,x y，使得BExBAyBC ，而(1,0,6)BE ，(1,2,4)BA，(0,2,1)BC 所以1,022,64,xxyxy上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C 错误；由(0,2,1)BC ，故2 555(0,)555BC，且2222 550()()
28、155，所以 D 正确.故选 ABD11已知nS，nT分别是数列 na，nb的前n项和，12a，1nnSa(2)n，21221loglognnnbaa，则A12nnaB24S C221nbnD101011T【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式，数列的前n项和等基础知识；考查运算求解#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 8页（共 29 页）推理论证能力等；考查转化与化归思想等；体现基础性，综合性，导向对逻辑推理，数学运算等核心素养的关注【试题解析】由11nnnnSaSa可得1nnnaaa即12,(2)nna
29、an，故12,12,2nnnan,故A错误；令2n，得122Sa，故2124Saa,故B正确；211(1)nbnnnn，由于2102nnn恒成立，故221nbn，故 C 正确；21221111loglog(1)1nnnbaannnn,121011111110(1)122310111111bbb,故 D 正确.故选 BCD.12已知曲线:C210 xaxy（a为非零常数），则A原点是C的对称中心B直线yxt与C恒有两个交点C当1a 时，直线yx是C的渐近线D当3a 时，直线3yx为C的对称轴【命题意图】本小题主要考曲线与方程，直线与曲线位置关系等基础知识；考查直观想象、运算求解、推理论证能力等；
30、考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性，综合性，导向对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】在C上任取一点(,)x y，则点(,)xy代入方程得22()()()110 xaxyxaxy，故点(,)xy在C上，所以C关于原点对称，故 A 正确；联立方程2,10,yxtxaxy 得2(1)10a xatx，2 24(1)a ta，当12a，1t 时704 ，故 B 错误；当1a 时，曲线:C210 xxy，(0)x 整理为1yxx，在C上任取一点#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 9页
31、（共 29 页）11(,)M x y，11(,)N x x，则 M 到直线yx的距离1221|22|dMNx，当1|x逐渐增大时，d逐渐减小，当1|x无限增大时，d无限接近 0，则直线yx是C的渐近线；故 C 正确；当3a 时，曲线C整理为31()3yxx，在C上任取一点11(,)M x y，则 M 关于直线3yx的对称点为111133(,)22yxxyN，且11131()3yxx，即11113yxx，111111143)23(122233xxyxxx，即11111(,2)(323)2Nxxx，当112xx时，1112(323)xxy，所以点N在C上，所以直线3yx为C的对称轴；所以 D 正确
32、，故选 ACD.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。将答案填在答题卡相应位置。分。将答案填在答题卡相应位置。13直线:(1)240l xmym 恒过定点_【命题意图】本小题主要考查直线的方程等基础知识；考查运算求解等能力；考查函数与方程思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注【试题解析】直线:(1)240l xmym，可化为(4)(2)0 xym y，由Rm可得40,20,xyy所以2,2,xy即直线l恒过定点(2,2).故答案为：(2,2)14已知P是抛物线:C24 2yx上纵坐标为4的点，则P与C的焦点的距离为_【命题
33、意图】本小题主要考查抛物线的方程及性质等基础知识；考查直观想象，运算求解能力等；考查数形结合思想等；体现基础性，综合性，导向直观想象，数学运算#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 10页（共 29 页）等核心素养的关注【试题解析】由C：24 2yx可得P的横坐标为2162 24 24 2PPyx，抛物线C的焦点坐标为(2,0)F，由抛物线的性质可得，P与F的距离|PF 2 223 2.故答案为：3 2.15在空间直角坐标系中，若平面过点0000(,)P xyz，且以向量(,)a b c u（a，b，c 不全为
34、零）为法向量，则平面的方程为000()()()0a xxb yyc zz.已知平面ABC的方程为21 0 xyz ，则点(1,2,3)P到平面ABC的距离为_【命题意图】本小题主要考查平面的法向量、点到平面的距离等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化思想；体现创新性和应用，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】由已知可得平面ABC过点(0,0,1)Q，且其法向量为(1,2,1)n，(1,2,2)PQ ，点(1,2,3)P到平面的距离为|142|62|6PQ nhn .故答案为：6216已知nS是数列na的前n项和，11a，且11233nnnanaan为偶数，为奇数，.若1
35、00(,1)Sm m，mN，则m _【命题意图】本小题主要考查递推数列、通项公式与数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等思想，体现综合性，导向对发展数学运算、数学建模等核心素养的关注【试题解析】由已知可得2122121112(23)1333kkkkaaaa，kN#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 11页（共 29 页）所以22121231223(3)()3()33323kkkkaaaa，于是21223()(1 3)2()33kkka 故2122()33kka ，即211232()
36、3kka，所以2211122232(32)394()()33kkkkaa，所以100139924100()()Saaaaaa5050222 1()4 1()33(150)(450)221133 50258218()(582,583)3故答案为：582m 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 题，共题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10 分）已知(1,0)A，(3,0)B，(1,2)C，圆为ABC的外接圆（1）求圆的方程；（2）若过点(0,3)的直线l被截得的弦长为2 3，求直线l的方程【命题意图】本小题主要考查了
37、圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解等能力；考查函数与方程、数形结合等思想；体现基础性、综合性；导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注.【试题解析】（1）法一：设圆的方程为22220(40)xyDxEyFDEF，1 分#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 12页（共 29 页）把点(1,0)A，(3,0)B，(1,2)C代入方程得10,930,520,DFDFDEF2 分解得2,0,3.DEF 【求对两个 1 分，求对三个 2 分】4 分故圆的方程为22230 xyx5 分法二：线段AB的中
38、垂线为1x，1 分线段BC的中垂线为1yx，2 分联立方程11xyx，解得1,0.xy 3 分所以圆心为(1,0)，半径1 12r ，【半径分】4 分故圆的方程为22(1)4xy5 分法三：直线AC的斜率2011 1ACk，1 分直线BC的斜率2011 3BCk，2 分所以1ACBCkk，即直线ACBC，故线段AB为圆的直径3 分故圆心为(1,0)，半径1 12r ，4 分所以圆的方程为22(1)4xy 5 分（2）法一：当直线l的斜率不存在时，则l的方程为0 x，此时，直线l与圆相交于点(0,3)和(0,3)，#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAI
39、sAAASBNABAA=#高二数学试题第 13页（共 29 页）所以直线l与圆相交的弦长为2 3，符合题意6 分当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为3ykx，圆的方程22(1)4xy，所以圆心为(1,0)，半径2r，因为直线l：30kxy与圆：22(1)4xy相交的弦长为2 3，所以设圆心(1,0)到直线l的距离d,则2223231kdk，【距离公式与弦长计算公式各 1 分】8 分即22(3)1kk，解得33k ，9 分综上，直线l的方程为0 x 或333 30 xy10 分法二：（同法一）6 分当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为3ykx，联立方程223230ykxxyx
40、，得22(1)(2 32)0kxkx，7 分所以2(2 32)0k，即33k，设直线l与圆相交P，Q两点，其中11(,)P x y，22(,)Q xy，所以1222 321kxxk，1 20 x x，故212121 222 32()41kxxxxx xk，因为21212 3PQkxx，【弦长公式分】8 分所以2212122 32kk#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 14页（共 29 页）解得33k ，满足：33k，【计算分】9 分综上，直线l的方程为0 x 或333 30 xy10 分法三：O为原点，设点
41、P的坐标为(0,3)，直线l被截得的弦长为PQ，因为圆的方程22(1)4xy，所以圆心为(1,0)，半径2r 由于22(01)34，故P在圆上，6 分由2 34PQ 知满足条件的直线l有2条，7 分如下图：由(0,3)P，圆与y轴交于(0,3)Q可知2 3PQ，所以直线1l：0 x 符合题意8 分因为圆与x轴正半轴交于(0,3)Q，则在RtPOQ中，22392 3PQOPOQ，所以直线PQ也符合题意，解得直线:133xyPQ即333 30 xy 9 分综上，直线l的方程为0 x 或333 30 xy10 分(说明：本题答案正确且有相应解答步骤即可给满分)#QQABYQQAgggAQgAAAQg
42、CQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 15页（共 29 页）18（12 分）已知数列na为递增的等差数列，510a，4a为2a和8a的等比中项（1）求数列na通项公式；（2）若2nanb，求数列nnab的前n项和为nS【命题意图】本小题考查等差数列通项公式、等比中项和数列求和等基础知识；考查运算求解等能力；考查函数与方程、化归转化等思想，体现基础性、综合性，导向对数学运算等核心素养的关注.【试题解析】（1）法一：设递增等差数列na的公差为d，则0d，由题意得，5242820aaaa，【等比中项概念】1 分即12111410(3)()(7)adada
43、d ad，【通项公式】2 分于是121410ada dd，解得12ad【计算分，求对 1 个 1 分】4 分所以，1(1)2()Nnaandn n【通项公式与化简答案】5 分法二：设递增等差数列na的公差为d，则0d，由题意得，2555(3)(3)adad ad，【等比中项与通项公式】2 分即55da，得2d，3 分所以，5(5)2()naandn nN【通项公式 2 与化简答案】5 分（2）122222(2)2nannnnb，6 分#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 16页（共 29 页）设1222=nn
44、nnnanncb，7 分1231nnnSccccc，221123(1)12222nnnnnS，8 分2311231222222nnnSnn，9 分由得23111111222222nnnSn，10 分11112222122212-=nnnnSnn，11 分所以1242nnnS12 分19（12 分）已知动圆M过点(1,0)F且与直线1x 相切，记该动圆圆心M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）若过点(2,0)H的直线l交C于A，B两点，且2AHHB ，求OAB的面积【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力等；考查数形结合思想、化归与
45、转化思想等，体现基础性，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】（1）设(,)M x y，【直接法求轨迹方程的第一步】1 分动圆M的半径22(1)1rxyx，【两点间距离公式与点线距离各 1 分】3 分整理可得24yx.【方程的化简运算】5 分故曲线C的方程为24yx.5 分（2）法一：#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 17页（共 29 页）设11(,)A x y，22(,)B xy，不妨设点A在x轴上方，由2AHHB 可得122yy，6 分由已知直线l斜率必不为0，故可设直线:2l xty，
46、7 分联立方程24,2yxxty可得2480yty，8 分故21212121632,4,8,2tyytyyyy 9 分分解得121224,2,42,163236yyyytt ，故(4,4)A，(1,2)B 10 分1211|2 6622OABOHAOHBSSSOHyy.【公式 1 分，计算 1 分】12 分法二：设11(,)A x y，22(,)B xy，不妨设点A在x轴上方，由2AHHB 可得1222(2)xx，2126xx，6 分若直线l的斜率不存在，则AHHB，不符合题意，舍去；7 分设直线:(2)l yk x，#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGx
47、AAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 18页（共 29 页）联立方程24,(2)yxyk x可得22224(1)40k xkxk，8 分122121244,4,26xxkxxxx，9 分解得(4,4)A，(1,2)B，10 分22|363 5AB，122454xxk，解得24k.原点O到直线l的距离2|2|44 5551kdk，11 分故OAB的面积114|3 56225ABd.12 分20（12 分）三棱台ABCDEF中，2ABDE（1）若AE与BD交于点M，2BNNF，求证：MN平面ABC；（2）若平面ABED 平面ABC，ADAB，2AB，2 5BC，4 2AC，CF与底面AB
48、C所成角的正切值为2，求平面AEF与平面BCFE夹角的余弦值#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 19页（共 29 页）【命题意图】本小题主要考查线面平行的判定、面面垂直的性质定理、线面角的定义、二面角的求解及空间向量的运算与应用等基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】（1）法一：证明：连接CE，设CE与BF交于点N，在三棱台ABCDEF中ABDE因为2ABDE，所以
49、2AMME 1 分同理2BNN F，2CNN E2 分因为2BNNF，所以N与N重合，即2CNNE 3 分在AEC中，MNAC 4 分又AC 平面ABC，MN 平面ABC，【MN 不在面内的说明】5 分所以MN平面ABC6 分#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBNABAA=#高二数学试题第 20页（共 29 页）法二：证明：在三棱台ABCDEF中，易知ABDE因为2ABDE，所以2ABDE,1 分同理2BCEF ，2 分1111()()333312111()()33333MNMEEFFNAEEFFBBEBAEFBEEFBAEFBABCA
50、C ，所以MNAC，【向量运算的中间过程，可有 1 分】4 分又AC 平面ABC，MN 平面ABC，【MN 不在面内的说明】5 分所以MN平面ABC6 分法三：证明：在线段BE上取点P，使得2BPPE,连接MP，NP,在三棱台ABCDEF中，ABDE因为2ABDE，所以2AMME1 分因为2BPPE，所以MPDE，即MPAB，2 分又AB 平面ABC，MP 平面ABC，所以MP平面ABC，3 分同理NP平面ABC，4 分因为MPNPP，MP 平面MPN,NP 平面MPN所以平面MPN平面ABC5 分#QQABYQQAgggAQgAAAQgCQw34CgEQkBGACAoGxAAIsAAASBN