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1、试卷第 1页，共 4页济宁一中高三 2 月份定时检测数学试题济宁一中高三 2 月份定时检测数学试题（时间：120 分钟，满分 150 分）一、单选题（共 8 题，每题 5 分，共 40 分）（时间：120 分钟，满分 150 分）一、单选题（共 8 题，每题 5 分，共 40 分）1抛物线2:4C yx 的准线方程为（）A116x B116y C=1xD18y 2函数 e2xf xx的零点所在的区间是（）A3 4，B2 3，C12，D01，3若复数20231i1 iaaR为纯虚数，则a（）A-1B0C1D24已知圆221:2880Cxyxy和圆222542:5Cxy，则圆1C与圆2C的公切线有
2、（）A1 条B2 条C3 条D4 条5已知函数31xy 的定义域为,a b，值域为10,3，则ba的最大值为（）A34log3B3log 2C32log3D26三棱锥PABC中，PA 平面ABC，ABC为等边三角形，且3AB，2PA，则该三棱锥外接球的表面积为（）A8B16C323D127已知函数 sinfxx，其中0，为实数，若 fx相邻两条对称轴之间的距离为2，且 6f xf对xR恒成立，且 2ff，则12f的值为（）A12B32C12D328已知双曲线2222:1xyCab(0,0ab)，以双曲线 C 的右顶点 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，
3、N 两点，若60MAN，则双曲线的离心率为（）A2B43C2 33D2#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#【九省联考模式】2024届山东济宁一中高三上学期2月期末数学试题试卷第 2页，共 4页二二、多选题多选题（共共 3 3 小题小题，每题每题 6 6 分分，全部选对得全部选对得 6 6 分分，部分选对得部分分部分选对得部分分，有选错的有选错的得得0 0 分分）9已知 S 为圆锥的顶点，AB为该圆锥的底面圆O的直径，45,SABC为底面圆周上一点，60,2BACSC，则（）A该圆锥的体积为3B3AC C该圆锥的侧面展开图的
4、圆心角大于180D二面角ABCS的正切值为210若12nxx展开式的二项式系数之和为 64，则下列结论正确的是（）A该展开式中共有 6 项B各项系数之和为 1C常数项为 60D只有第 4 项的二项式系数最大11已知定义域为R的函数 fx满足022fxf x，当0 x 时，214541,017log,1216xxxf xxx，则下列说法正确的是（）A函数 fx在2 2,5 5上单调递减B若函数 fx在0,p内 1f x 恒成立，则40,5pC对任意实数k，方程 0f xkx至多有 6 个解D 方程 0f xm m有 4 个解，分别为1x，2x，3x，4x，则12346710 xxxx 三、填空题
5、三、填空题（共共 3 3 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 1515 分分）12已知,2，5sin5，则tan413已知等差数列 na的前 n 项和为nS，1591aa，则使得0nS 成立的最大的自然数 n 为14已知对任意xR，均有不等式20axbxc成立，其中0b.若存在Rt使得11230t at bc成立，则t的最小值为.#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#试卷第 3页，共 4页四、解答题四、解答题（共共 5 5 题，共题，共 7777 分分）15（13 分）从某校高二年级随机抽取 100 名学生的期中考试的数
6、学成绩进行研究，发现他们的成绩都在50,100分之间，将成绩分为五组50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100)，画出频率分布直方图，如图所示：(1)若该校高二年级有 750 名学生，估计该年级学生的数学成绩不低于 80 分的学生有多少名？并估计高二段学生的数学成绩的中位数；(2)用分层抽样的方法在区间70,100中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看作一个总体，从中抽取 2 名学生的数学成绩，求这两名学生中至少有一人的数学成绩在区间70,0)8的概率.16（15 分）已知函数 lnmfxxx.（）若1m，求函数 fx的单调区间；（）若 1f xmx 在1,上恒成立
7、，求实数m的取值范围.17（15 分）在四棱锥PABCD中，E 为棱 AD 的中点，PE平面ABCD，/ADBC，90ADC，2EDBC，3EB，F 为棱 PC 的中点(1)求证：/PA平面BEF；(2)若二面角FBEC为60，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#试卷第 4页，共 4页18（17 分）已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点(1,0)F，离心率为22，过F作两条互相垂直的弦,AB CD，设,AB CD的中点分别为,M N(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线MN必过定
8、点，并求出此定点坐标；(3)若弦,AB CD的斜率均存在，求FMN面积的最大值19（17 分）将所有平面向量组成的集合记作2R，f是从2R到2R的映射，记作()yf x 或1212,y yf x x，其中12,xx x，12,yy y，1x，2x，1y，2y，都是实数.定义映射f的模为：在22121xxx的条件下y 的最大值，记作f.若存在非零向量2xR，及实数使得 f xx，则称为f的一个特征值.(1)若12121(,)(,)3f x xx x，求f；(2)如果121212(,)(2,)f x xxx xx，计算f的特征值，并求相应的x；(3)若121 1221 122,f x xa xa
9、x b xb x，要使f有唯一的特征值，实数1a，2a，1b，2b应满足什么条件？试找出一个映射f，满足以下两个条件：有唯一的特征值；f，并验证f满足这两个条件.#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#高三数学高三数学参考答案：参考答案：1B【分析】把抛物线方程化为标准形式，结合准线方程的特点进行求解即可.【详解】抛物线 C 的标准方程为214xy，所以其准线方程为116y，故选：B2D【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】因为 e2xf xx，且函数连续不间断，所以 00e200f，11e2 10f，22e220f，3
10、3e230f，44e240f所以 010ff，120ff，230ff，340ff，由零点存在性定理得函数 e2xf xx的零点所在的区间为0,1，故选：D.3A【分析】利用复数的除法运算法则以及纯虚数的定义求解.【详解】因为 20231i 1 i11 i1i1i1 i1 i1 i 1 i2aaaaa为纯虚数，所以10,10,aa 解得1a ，故选：A.4C【分析】分析两圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案【详解】根据题意，圆221:2880Cxyxy，即221425xy，其圆心11,4C ，半径5R，圆222542:5Cxy，其圆心25,4C，半径=5r，两圆的圆心距22
11、125 14410C CrR，因此两圆外切；#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#则圆1C与圆2C的公切线有 3 条故选：C5B【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，31,03131,0 xxxxyx，作出函数图象如图所示，令1313x，解得34log3x 或32log3x，则当34log3b，32log3a 时，ba取得最大值，此时33342logloglog 233ba.故选：B6B【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱
12、锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H为ABC外接圆的圆心，过点H作平面ABC的垂线，点D为PA的中点，过点D作线段PA的垂线，所作两条垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心，因为PA 平面ABC，且ABC为等边三角形，2,3PAAB，所以四边形AHOD为矩形，333AHAB，112OHPA，所以22312OA，即三棱锥外接球的半径2R，#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#则该三棱锥外接球的表面积为2416R.故选：B7D【分析】先根据条件得到周期和对称轴，结合 2ff可得函数 fx的解析式，代入12可求12f.【详解
13、】由 fx相邻两条对称轴之间的距离为2得222T，解得2，由 6f xf对xR恒成立可得6x 为对称轴，所以2sin166f，所以2,Z62k k，得,Z6k k，sin 26f xxk，Zk，又 2ff，所以sin sin 266kk，Zk当k为偶数时，sinsin66，该式不成立，当k为奇数时，sinsin66，该式成立，所以 sin 26fxx，所以n12123si262f .故选：D.8C#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#【分析】由题意得点 A 到渐近线距离为32b，结合点到直线的距离公式、平方关系以及离心率公式
14、即可得解.【详解】由于60MAN，因此点A到渐近线距离为32b，其中一条渐近线方程为0bxay，所以有2232abbab，可得22222 33,13cbab eaa.故选：C.9AC【分析】求得该圆锥的体积判断选项 A，求得AC的长度判断选项 B，求得该圆锥的侧面展开图的圆心角判断选项 C，求得二面角ABCS的正切值判断选项 D.【详解】如图，因为45SAB，所以SAB为等腰直角三角形，又2SC，则2SASB，所以222ABSASB，则1rAOSO，所以该圆锥的体积为21,A33VrSO正确；易知ABC为直角三角形，且90ACB，又60BAC，则30ABC，所以11,B2ACAB错误；该圆锥的
15、侧面展开图为一扇形，其弧长为2l，扇形半径为2RSA，设扇形圆心角为，所以2lR，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180,C正确；取BC的中点D，连接,SD OD，则,SDBC OD为ABC的中位线，所以11,22ODBC ODAC，所以ODS为二面角ABCS的平面角，易知SOD为直角三角形，所以tan2,DSOODSOD错误.#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#故选：AC.10BCD【分析】对 A：由二项式系数之和为2n可得n的值，即可得展开式中的项数；对 B：令1x 即可得各项系数之和；对 C：代入二项式通项公式计算
16、即可得；对 D：当n为偶数时，二项式系数最大项为第12n项即可得.【详解】因为二项式系数之和为 64，即有264n，所以6n，则该展开式中共有 7 项，A 错误；令1x，得该展开式的各项系数之和为 1，B 正确；通项366621661C21C2rrrrrrrrTxxx ，令3602r，得4r，442561C260T ，C 正确二项式系数最大的是36C，它是第 4 项的二项式系数，D 正确故选：BD.11BD【分析】由条件可得()f x为奇函数，由 20,5ff的值的大小可判断 A；作出函数 f x的图象，数形结合可判断 B；取32k=时，结合图形，求解判断直线32yx与函数()f x的图象交点
17、的个数可判断 C；选项 D，不妨设1234xxxx，根据图象可得1234,x x x x及m的范围，由二次函数的对称性可知2345xx，求出1x 时()f x的解析式，进而得14,x x的关系式，结合函数的单调性求出14xx的范围，即可判断 D.【详解】定义域为R的函数 f x满足220fxf x，即(2)(2)fxf x，所以函数()f x为奇函数，(0)0f，选项 A，2100,55ff，得 205ff，故 A 错误；作出函数 f x的图象，如图所示，#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#选项 B，若函数 f x在0,p
18、内 1f x 恒成立，由图可知，01p，由25411xx 解得0 x 或45x，所以405p，故 B 正确；选项 C，取32k=时，如图所示，当0,1x时，联立方程组232541yxyxx，化简得2101120 xx，设函数2()10112h xxx，因为2(11)4 10 2410(0)20(1)10hh ，且对称轴为,1120(0 1)x，所以方程2101120 xx在0,1上有两个不相等的实数根，所以直线32yx与函数()f x图象在0,1x有 2 个交点.设417()log()26321xm xx，(1,)x，则函数()m x在(1,)x上单调递增，31(1)2022m，111444(
19、2)3logloglog01664649136m，函数()m x在(1,)x上只有一个零点，所以直线32yx与函数()f x图象在(1,)x有 1 个交点，#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#所以当,()0 x时，直线32yx与函数()f x的图象有 3 个交点，因为函数32yx与函数()f x均为奇函数，所以当(,0)x 时，直线32yx与函数()f x的图象有 3 个交点，又当0 x 时，直线32yx与函数()f x的图象有 1 个交点，所以直线32yx与函数()f x图象有 7 个交点，故 C 错误；选项 D，当0m
20、 时，方程 0f xm m有 4 个解1234,x x x x，不妨设1234xxxx，根据图象可得12341,0,15,2512xxxx，因为 0f xm m有 4 个解，2155f，所以115m，所以44117log()15216x，解得15411172848x，所以1541487164x，由二次函数的对称性可知，2541xxm 的解23,x x满足2352542xx，因为函数 yf x为奇函数，且当1x 时，147()log216xf x，所以当1x 时，1x，则147()()log216xf xfx ，所以11144477log()log()216216xx，则4177()()1216
21、216xx，得41327878xx，#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#所以4144448732787832887xxxxxx，设154187,4164xtt，又因为函数328tyt在1514,164上单调递增，所以1448832321524txxt，所以1234146725150 xxxx ，故 D 正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：解决函数零点（方程的根）问题的方法：（1）直接解方程法（适用于方程易解的情形）；（2）利用零点存在性定理；（3）图象法：研究函数的图象与 x 轴的交点；转化为两个函数图象的交点问题1213
22、【分析】依题意，利用同角三角函数间的关系可求得sin1tancos2，利用两角和的正切即可求得答案【详解】5sin,52，22 5cos1 sin5 ，sin1tancos2，111tan12tan141tan312，故答案为：13139【详解】因为1591aa，所以1 92,4d 所以191202nSnn n,即 n，fx单调递增；当01x时，0fx，fx单调递减.所以函数 fx的单调递增区间为1,，单调递减区间为0,1.（）由 1f xmx，得ln10mxxmx 在1,上恒成立.#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#设
23、ln1mg xxxmx，则 22211mxxmgxxxx.设 21h xxxm x，当2m时，0h x，则()0g x在1,上恒成立，()g x在1,上单调递增，()(1)0g xg在1,恒成立，所以当2m时，ln10mxxmx 在1,上恒成立；当m2时，令 20h xxxm，得11142mx 或21142mx（舍去）.所以当1141,2mx 时，0gx，则 g x是1141,2m 上的减函数；当114,2mx 时，0gx，则 g x是114,2m 上的增函数.所以当1141,2mx 时，10g xg.因此当m2时，ln10mxxmx 不恒成立.综上所述，实数m的取值范围是,2.【点睛】本题考
24、查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.17(1)证明见解析(2)2 33【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）证明出,EB ED EP两两垂直，建立空间直角坐标系，设出0PEm，写出点的坐标，#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#由二面角大小求出m的值，进而利用三角函数求出正切值【详解】（1）连接AC交BE于点M，连接FM，/ADBC，且BCAE，AMMC，又PFFC，线段FM是PAC的中位线，/FMAP，FM 面BEF，PA
25、 平面BEF，/PA平面BEF；（2）/ADBC，EDBC，四边形BCDE是平行四边形，又90ADC，四边形BCDE是矩形，ADBE；又PE平面ABCD，,BE ED 平面ABCD，PEBE，PEED；以 E 为坐标原点，,EB ED EP所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设0PEm，则30,0,0,3,0,0,0,0,3,2,0,1,22mEBPmCF33,0,0,1,22mEBEF ，设平面 BEF 的一个法向量为,nx y z，由,3,0,03033,1,02222n EBx y zxmmn EFx y zxyz ；#QQABZQYUogCoAAIAAQhCA
26、wGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#解得0 x，令1z，得2my ，故0,12mn，取平面ABCD的一个法向量为0,0,1a，220,10,0,112cos,1144mn an anamm ，由二面角FBEC为60，得211214m，解得2 3m，负值舍去；PE平面ABCD，PBE就是直线PB与平面ABCD所成角，在RtPBE中，2 3tan3PEPBEBE，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为2 3318(1)2212xy(2)证明见解析；2,03；(3)19【分析】（1）根据题意求出2,a b的值，即可得答案；（2）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联
27、立椭圆方程，得根与系数关系式，进而求得 M，N 坐标，求出直线MN方程，化简即可得结论；（3）结合（2）求出FMN面积的表达式，利用换元法化简，构造函数，结合函数的单调性，求得最值.【详解】（1）由题意：21,2cca，则2222,1,1acbac，故椭圆的方程为2212xy；（2）证明：当,AB CD斜率均存在时，设直线AB方程为：(1)yk x，设1122(,),(,)A x yB xy，则1212(,(1)22xxxxMk，#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#联立得221220yk xxy，得2222)202142(
28、xk xkk，直线AB过椭圆焦点，必有0，则2122212241 2221 2kxxkkx xk，故2222(,)1212kkMkk，将上式中的k换成1k，则同理可得：222(,)22kNkk，如22222122kkk，得1k ，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点2(,0)3，设点2(,0)3为 P，下证动直线MN过定点2(,0)3P.若直线MN斜率存在，则22224222(33)3122222221122MNkkkkkkkkkkkkk，直线MN为22232()2212kkyxkkk，令0y，得222222212312232323kkxkkk，即直线MN过定点2(,0)3；当,AB CD斜
29、率有一条不存在时，不妨设 AB 斜率不存在，则 CD 斜率为 0，此时 M 即为 F，N 即为 O 点，直线MN也过定点2(,0)3，综上，直线MN过定点2(,0)3；（3）由第（2）问可知直线MN过定点2(,0)3P，故221111|23 1223 2FPMFMNFPNSSkkSkk2222421|(33)1|(1)6(2)(12)2252kkkkkkkk221(|)1|2225kkkk，#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#令1|2,)|tkk，21()22(2)5FMNStf tt21221tt，则2221 12()0
30、2(21)tf tt，则()f t在2,)t单调递减，故当2t 时，()f t取得最大值，此时FMNS取得最大值19，此时1k .【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定点定值问题，综合性较强；解答时要注意联立方程，利用根与系数的关系式化简求值，难点在于计算过程比较复杂，计算量较大，需要十分细心.19(1)1f(2)答案见解析(3)2122 140aba b，f xx，验证答案见解析【分析】（1）由新定义可得2222121219yyxx，利用22121xx，可得222121181199xxx，从而得出结论；（2）由特征值的定义可得1211222xxxxxx，由此可
31、知f的特征值，以及相应的x；（3）解方程组1 12211 1222a xa xxb xb xx，可得111222,0 xabxa b，从而可得1a、2a、1b、2b应满足的条件，当 f xx时，f有唯一的特征值，且f，再进行证明即可.【详解】（1）由于此时2222121219yyxx，又因为是在22121xx的条件下，有2222212121181199yyxxx（10 x 时取最大值），所以此时有1f.（2）由12121212,2,f x xxx xxx x，可得：1211222xxxxxx，即1212121xxxx 两式相比可得：112，从而3，当3时，解方程121122233xxxxxx,
32、此时这两个方程是同一个方程，#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#所以此时方程有无穷多个解，为31,1xm（写出一个即可），其中mR且0m，当3 时，同理可得，相应的13,1xm（写出一个即可），其中mR且0m.（3）解方程组1 12211 1222a xa xxb xb xx，即111222,0 xabxa b，从而向量11,ab与22,a b平行，则有1a，2a，1b，2b应满足：2122 140aba b，当 f xx时，f有唯一的特征值，且f.具体证明为：由f的定义可知：对任意的12,xx x有：121212,fx xxxx x，所以为特征值.此时1a，20a，10b，2b，满足：2122 140aba b，所以有唯一的特征值.在22121xx的条件下22212xx，从而有f.#QQABZQYUogCoAAIAAQhCAwGICAIQkBEAAAoOwEAIMAAASBNABAA=#