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1、第九章 质点动力学的基本方程 同学们好，本次课我们来讲质点的运动微分方程。目目 录录 1 矢量形式矢量形式 2 直角坐标形式直角坐标形式 3 自然轴系自然轴系 4 质点动力学的两类问题质点动力学的两类问题 本节我们要建立质点运动微分方程的三种形式，矢量形式、直角坐标形式和自然轴系形式。在这个基础上，来解决动力学的两类问题。a a a M 则有则有 1niimaF 或或 RmaF 1.矢量形式的质点运动微分方程矢量形式的质点运动微分方程 若 质 点若 质 点 M 的 质 量 为的 质 量 为 m，受受 n 个 力个 力 作用作用，,根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 12nF,F,FiFnF1FR
2、Farx o z y ijk首先来看，矢量形式的质点运动微分方程。假若质点M的质量为m，受 n个力作用，做这样的运动轨迹，M点的位置矢径为r。那么根据牛顿第二定律，质点的质量m与加速度的成绩应当等于这n个力的矢量和。对于汇交力学，这n个力的矢量和就是他们的合力，因此又可以写成。12nF,F,F a a a M iFnF1FRFarx o z y ijk22ddrat 而而 221ddniirmFt 则则 1niimaF 由点的运动学我们知道，点的加速度等于位置矢径r的二阶导数，因此，上述表达式又可以改写成质量与位置矢径二阶导数的乘积，等于质点所受外力的矢量和。这个表达式就是质点运动微分方程的矢
3、量形式。rxiyjzkiixiyizFF iF jF k2.直角坐标形式的质点运动微分方程直角坐标形式的质点运动微分方程 在矢量表达式的基础上，我们再来看直角坐标形式的运动微分方程。首先将表达式中的位置矢径和外力写成解析表达式的形式，假设质点的坐标为x,y,z，那么位置矢径r就等于。，外力Fi可以表示为。221ddniirmFt 将式将式 向坐标轴投影，得向坐标轴投影，得 1niimaF 222222ddddddixiiyiizixmxmFtymymFtzmzmFt 221ddniirmFt 将上述解析表达式代入到矢量形式的运动微分方程中，注意i,j,k为常矢量，求导之后等于0，通过分离坐标，
4、可以得到直角坐标系下的运动微分方程，三个坐标方向对应三个投影方程。也就是说，质量与某个坐标方向的加速度乘积，等于所有外力在该方向投影的代数和。根据点的运动学知，质点的加速度在运动根据点的运动学知，质点的加速度在运动 轨迹的密切面内，即轨迹的密切面内，即 2ddtnvvaa a nnt 3.自然轴系的质点运动微分方程自然轴系的质点运动微分方程()()m Fa nb再来看自然轴系下的质点运动微分方程。在曲线轨迹上任意时刻位置建立自然轴系，为切线方向，n为主法线方向，b为副法线方向。在力F作用下，产生加速度为a，根据点的运动学知，质点的加速度在运动轨迹的密切面内，副法线方向没有加速度。因此，加速度只
5、有切向和主法线方向。其中切线方向的加速度a等于。，法向加速度等于。所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，则则 1ddntiivmFt 21nniivmF 10nbiiF 由于加速度在密切面内，那么作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内。将加速度和外力向三个坐标方向投影可以得到三个投影表达式。其中外力在副法线方向投影的代数和应该等于0.4.质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题 第一类基本问题：已知质点的运动，求此质点所受的力。第一类基本问题：已知质点的运动，求此质点所受的力。特点：特点：如果知道质点的运动规律，通过导数运算
6、，求出该质点的速度和如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点的速度和 加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。下面我们来分析质点动力学的两类基本问题。第一类基本问题是已知质点的运动，求该质点所受的力。根据质点动力学微分方程可知。如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点的速度和 加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求出外力。如：万有引力定律的发现。如：万有引力定律的发现。哥白尼（哥白尼（14731543）的日心学说）的日心学说 开普勒（开普勒（15711630）的三大定）的三大定律律 牛牛
7、 顿（顿（16421727）的牛顿定律和万有引力定律）的牛顿定律和万有引力定律 比如万有引力定律的发现就是典型的已知运动求力的问题。万有引力定律是牛顿在1687年在自然哲学的数学原理著作上发表的。科学史上普遍认为，这一成果应该归功于伟大的牛顿。但是哥白尼日心说和开普勒的三大定律实际上是牛顿有能力确定运动定律和万有引力定律的基石。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。特点：特点：归结为解微分方程或求积分问题。只有在一些比较特殊的情况下，能归结为解微分方程或求积分问题。只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；
8、更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。算的方法，获得近似解或数值解。所谓已知力是指：力可以表示成所谓已知力是指：力可以表示成 的已知函数的已知函数 ()FF v,r,t 质点动力学的第二类基本问题是已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。这一类问题归结为解微分方程或求积分问题。实际上，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。这里要知道，所谓的已知力不一定非得是确定的力，如果可以表示成速度，位置和时间等运动量的函数
9、，也视为已知力。如：上个世纪末，预测到小行星撞击木星的时间；如：上个世纪末，预测到小行星撞击木星的时间；确定飞行器返回舱着陆的时间和地点等。确定飞行器返回舱着陆的时间和地点等。比如上个世纪末，预测到小行星撞击木星的时间，如果没有木星，地球恐怕没有这么繁荣。再比如，确定飞行器返回舱着陆的时间和地点等，这都属于动力学的第二类问题。两类问题综合：已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动。两类问题综合：已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动。已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。待求：地面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。待求：地
10、面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。还有一类问题，是两类问题的综合，即已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动。比如，已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。来求解地面约束力，车身的运动（比如前行速度，上下振动）。求解动力学问题的基本步骤：求解动力学问题的基本步骤：1.对研究对象进行受力分析，画其受力图；对研究对象进行受力分析，画其受力图；2.根据运动的特点，选取坐标系；根据运动的特点，选取坐标系；3.建立矢量形式的微分方程；（可选）建立矢量形式的微分方程；（可选）4.将矢量方程投影到坐标轴上（标量形式的微分方程），并写出相应的初将矢量方程投影到坐标轴上（标量形式的微分方程）
11、，并写出相应的初始条件；始条件；5.求解微分方程（积分或数值解）；求解微分方程（积分或数值解）；6.分析讨论数学结果的物理含义。分析讨论数学结果的物理含义。动力学问题如何来解决呢？我们可以用以下步骤来解决。第一步。2.求质点的加速度求质点的加速度 y x o 解：解：1.求质点的轨迹方程：求质点的轨迹方程：22221xybd 例题例题1 质点质点M的质量为的质量为m，运动方程是，运动方程是x=bcost,y=dsint，其中，其中b,d,为常量。求作用在此质点上的力。为常量。求作用在此质点上的力。从运动方程中消去从运动方程中消去 t，得得 2222dcosdxxabtx,t 2222ddsin
12、dyyatyt M y x ijr所以所以，质点所受的力可表示为质点所受的力可表示为 力的方向永远指向椭圆中心力的方向永远指向椭圆中心，为有心力；为有心力；力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。易知：易知：22()xyFF iF jmxiyjmr y x o M y x FxFyFijr3.求质点所受的力求质点所受的力 由由 2222ddddxiyixymF,mFtt得得 22xxyyFmamx,Fmamy 0n 例题例题2 粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带
13、着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在=0时才时才掉下来。求滚筒每分钟的转数掉下来。求滚筒每分钟的转数 n。研究对象：研究对象：运动分析：运动分析：铁球在滚筒的带动下沿圆弧向上运动，当运动到一定高度时，将铁球在滚筒的带动下沿圆弧向上运动，当运动到一定高度时，将脱离筒壁沿抛物线下落。脱离筒壁沿抛物线下落。铁球（视为质点）铁球（视为质点）【分析分析】质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度，即质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度，即 解：解：受力分析：受力分析：质点在上升过程中受力有重力质点在上升过程中受力有重力mg、由由 nnma
14、F 有有 30nvR 2NcosvmFmgR 筒壁的法向反力筒壁的法向反力FN、筒壁的切向反力筒壁的切向反力FS。解得解得 12N30cosRnFmgR m n mg SFNFv当当=0 时，铁球将落下，此时时，铁球将落下，此时 FN=0，得，得 00cos9 549gn.R 讨论：讨论：若若n n0，则，则0，若若n n0，则，则0，对离心浇铸，则要求对离心浇铸，则要求 n ncr。即铁球在低处落下；即铁球在低处落下；即铁球在高处落下；即铁球在高处落下；若若 时，时，=0，cr9 549gn.R 则铁球不再脱离筒壁落下。则铁球不再脱离筒壁落下。已求得滚筒转速为已求得滚筒转速为 1230cosNRnFmgR m PPT模板下载： We have many PowerPoint templates that has been specifically designed to help anyone that is stepping into the world of PowerPoint for the very first time.企业推介 项目展示 计划总结 商业融资 YOURLOGO