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1、2对称信息情况下的最优合同对称信息情况下的最优合同v委托代理模型是为分析非对称信息情况下的最优委托代理模型是为分析非对称信息情况下的最优合同而建立的。但作为分析的第一步，让我们首先合同而建立的。但作为分析的第一步，让我们首先讨论对称信息情况下的最优合同。，这种讨论对我讨论对称信息情况下的最优合同。，这种讨论对我们理解委托代理关系问题的实质是非常重要的。们理解委托代理关系问题的实质是非常重要的。特别地，因为委托代理关系的中心问题被认为是特别地，因为委托代理关系的中心问题被认为是“保险保险”和和“激励激励”的交替问题（的交替问题（trade-off），），在对称信息下，我们可以孤立的考虑最优的风险
2、分在对称信息下，我们可以孤立的考虑最优的风险分担问题；在完成这一步再引入非对称信息，我们就担问题；在完成这一步再引入非对称信息，我们就会明白为什么在存在激励问题时，一般来说，帕累会明白为什么在存在激励问题时，一般来说，帕累托最优的风险分担不能达到。托最优的风险分担不能达到。Cont假定代理人的行动假定代理人的行动a（或自然状态（或自然状态）时可观测的。）时可观测的。此时，委托人可以根据观测到的此时，委托人可以根据观测到的a对代理人实行惩，对代理人实行惩，就是说，激励合同可以建立在行动上，从而，激励就是说，激励合同可以建立在行动上，从而，激励相容约束时多余的，因为委托人可以涉及任意的相容约束时多
3、余的，因为委托人可以涉及任意的“强强制制合同合同”如果你选择如果你选择a*，我将付你，我将付你s(a*)=s*,否则我将付否则我将付你你ss*，使得下列条件成立：，使得下列条件成立：Contv只要只要s足够小，代理人绝不会选择足够小，代理人绝不会选择a不等于不等于a*。v我们分两步讨论对称信息情况。首先假定行动我们分两步讨论对称信息情况。首先假定行动a给定，讨论什么是产出给定，讨论什么是产出的最优分配方式；然后，的最优分配方式；然后，我们再讨论最优的行动选择我们再讨论最优的行动选择a。我们将证明，在。我们将证明，在对称信息下，帕雷托最有风险分担和帕累托最优对称信息下，帕雷托最有风险分担和帕累托
4、最优努力水平都可以达到。努力水平都可以达到。2-1最优风险分担合同最优风险分担合同v给定努力水平给定努力水平a，产出是一个简单的随机变量，产出是一个简单的随机变量，因此，问题简化为一个典型的风险分担问题因此，问题简化为一个典型的风险分担问题:选选择择s（）解下列最优化问题）解下列最优化问题Contv构造拉格朗日函数如下：构造拉格朗日函数如下：vv最优化的一阶条件是：最优化的一阶条件是：Contv这里拉格朗日乘数这里拉格朗日乘数是严格正的常数（因为参与约束的等是严格正的常数（因为参与约束的等式条件满足）。上述最优条件意味着，委托人和代理人式条件满足）。上述最优条件意味着，委托人和代理人收入的边际
5、效用之比应该等于一个常数，与产出收入的边际效用之比应该等于一个常数，与产出（和状（和状态变量态变量）无关。如果）无关。如果1和和2是任意的两个收入水平，是任意的两个收入水平，那么，下列等式应该满足：那么，下列等式应该满足：Contv就是说，在最优条件下，不同收入状态下的就是说，在最优条件下，不同收入状态下的边际替边际替代率对委托人和代理人是相同的代率对委托人和代理人是相同的。这是典型的帕雷。这是典型的帕雷托最优条件。托最优条件。v一般地，因为最优化条件（一般地，因为最优化条件（1）隐含地定义了最优化）隐含地定义了最优化支付合同支付合同s*（），通过使用隐函数定理，我们可以），通过使用隐函数定理
6、，我们可以得出最优支付合同与每一方风险规避度的关系。得出最优支付合同与每一方风险规避度的关系。v就条件（就条件（1）对）对求导，我们有：求导，我们有：Contv将将=v/u代入上式解得：代入上式解得：vv这里这里vContv分别代表委托人和代理人的阿罗帕拉特绝对风分别代表委托人和代理人的阿罗帕拉特绝对风险规避量（险规避量（Arrow-Prattmeasureofabsoluteriskaversion）。）。v式（式（3）意味着，代理人的支付）意味着，代理人的支付s*与产出与产出的关的关系完全由绝对风险规避度的比率决定。给定系完全由绝对风险规避度的比率决定。给定（即双方均为风险规避者），代理人
7、的（即双方均为风险规避者），代理人的支付支付s*随随的上升而上升，但上升的幅度小于的上升而上升，但上升的幅度小于上升的幅度。当上升的幅度。当时，时，Contvds*/d=1,s*的增幅与的增幅与相同。特别地，如果委托相同。特别地，如果委托人和代理人都具有不变的绝对风险规避度，即如人和代理人都具有不变的绝对风险规避度，即如果果p和和A与各自的收入水平无关，那么，最优与各自的收入水平无关，那么，最优合同是线性的。对（合同是线性的。对（3）积分得：）积分得：vContv是积分常数项（可能取正值也可能取负值）。当是积分常数项（可能取正值也可能取负值）。当然，不变的绝对风险规避度是非常特殊的。然，不变的
8、绝对风险规避度是非常特殊的。v一般来说，如果假定一般来说，如果假定p和和A随收入的增加而递减随收入的增加而递减（即收入越高越不害怕风险），最优合同（即收入越高越不害怕风险），最优合同s*（）是）是非线性的，其具体形式依赖于风险规避者的相对变非线性的，其具体形式依赖于风险规避者的相对变化。化。2-2最优风险分担合同最优风险分担合同v在以上的讨论中，我们假定代理人的努力水平在以上的讨论中，我们假定代理人的努力水平给定。现给定。现在我们来讨论最优努力水平的选择。为了简化我们使用状在我们来讨论最优努力水平的选择。为了简化我们使用状态空间模型化方法。因为态空间模型化方法。因为是可观测的，委托人可以强化是
9、可观测的，委托人可以强化代理人选择任意的代理人选择任意的，激励相容约束是多余的。使用状态，激励相容约束是多余的。使用状态控件模型化方法，委托人的问题是选择控件模型化方法，委托人的问题是选择和和s（）解下列）解下列问题：问题：Contv构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数：vv最优化的两个一阶条件分别为最优化的两个一阶条件分别为Contv其中第一个等式是其中第一个等式是s（）的一阶条件（与（）的一阶条件（与（1）相同），第二个等）相同），第二个等式是式是的一阶条件。使用第一个一阶条件的一阶条件。使用第一个一阶条件=v/u,第二个一阶条件可第二个一阶条件可以化简为：以化简为：vv或用期望值算子或用期
10、望值算子E：vContv其中其中v/可以解释为用委托人的效用单位度量的可以解释为用委托人的效用单位度量的努力水平努力水平的边际收益，的边际收益，c/可以解释为用委托可以解释为用委托人的效用单位度量的人的效用单位度量的的边际成本。注意，因为的边际成本。注意，因为是是在外生变量在外生变量实现之前选择的，最优的实现之前选择的，最优的独立于独立于。v上述分析的一个基本结论时，当委托人可以观测代上述分析的一个基本结论时，当委托人可以观测代理人的努力水平时，理人的努力水平时，风险问题和激励问题可以独立风险问题和激励问题可以独立解决，帕累托最优风险分担和帕累托最优努力水平解决，帕累托最优风险分担和帕累托最优
11、努力水平可以同时实现，可以同时实现，最优合同可以表述如下：最优合同可以表述如下：Contv即委托人要求代理人选择即委托人要求代理人选择*，委托人根据，委托人根据s*（*，）支付代理人；否则，代理人得到）支付代理人；否则，代理人得到s。只要。只要s足够小，足够小，代理人就不会选择代理人就不会选择*)。一个例子一个例子:信息对称情况下的应用信息对称情况下的应用v本节讨论一个参数化的委托代理模型，这个参数本节讨论一个参数化的委托代理模型，这个参数化的模型是霍姆斯特姆和米尔格罗姆（化的模型是霍姆斯特姆和米尔格罗姆（Holmstromandmilgrom,1987）模型的简化）模型的简化和扩张。和扩张。
12、v假定假定是一个一维努力变量，产出函数取如下线性是一个一维努力变量，产出函数取如下线性形式：形式：=+,其中其中是均值为是均值为0、方差为、方差为2的正态分的正态分布随机变量，代表外生的不确定性因素。因此，布随机变量，代表外生的不确定性因素。因此，E=E(+)=,var()=2,即代理人的努力水平决即代理人的努力水平决定产出的均值，但不影响产出的方差。定产出的均值，但不影响产出的方差。Contv假定委托人是风险中性的，代理人是风险规避的。考虑线假定委托人是风险中性的，代理人是风险规避的。考虑线性合同性合同s（）=+，其中，其中是代理人的固定收入（与是代理人的固定收入（与无关），无关），是代理人
13、分享的产出份额，即产出是代理人分享的产出份额，即产出每增加一每增加一个单位，代理人的报酬增加个单位，代理人的报酬增加单位。单位。=0意味着代理人不意味着代理人不承担任何风险，承担任何风险，=1意味着代理人承担全部风险。因为委意味着代理人承担全部风险。因为委托人是风险中性的，给定托人是风险中性的，给定s（）=+，委托人的期望，委托人的期望效用等于期望收入效用等于期望收入Contv假定代理人的效用函数具有不变绝对风险规避特假定代理人的效用函数具有不变绝对风险规避特征，即征，即,其中其中是绝对风险规避度量，是绝对风险规避度量，是实际货币收入。假定代理人努力的成本是实际货币收入。假定代理人努力的成本c
14、()可以等价于货币成本；进一步，为简化起见，假可以等价于货币成本；进一步，为简化起见，假定定c()=b2/2,这里这里b0代表成本系数；代表成本系数；b越大，越大，同样的努力同样的努力带来的负效用越大。代理人的实际带来的负效用越大。代理人的实际收入为：收入为：Contv确定性定价收入为：确定性定价收入为：vv其中，其中，E是代理人的期望收入，是代理人的期望收入，是代理人是代理人的风险成本；当的风险成本；当=0时，风险成本为时，风险成本为0。代理人最。代理人最大化期望效用函数大化期望效用函数等价于最大化上等价于最大化上述确定性等价收入。述确定性等价收入。Contv令令0为代理人的保留收入水平。那
15、么，如果确为代理人的保留收入水平。那么，如果确定性等价收入小于定性等价收入小于0,代理人将不接受合同。代理人将不接受合同。因此，代理人的参与约束可以表述如下：因此，代理人的参与约束可以表述如下：v首先考虑委托人可以观测代理人努力水平首先考虑委托人可以观测代理人努力水平的最的最优合同。此时，激励约束优合同。此时，激励约束IC不起作用，任何水不起作用，任何水平的平的都可以通过满足参与约束都可以通过满足参与约束IR的强制合同的强制合同实现。Contv因此，委托人的问题是选择（因此，委托人的问题是选择（，）和）和解下列解下列最优化问题：最优化问题：v因为在最优情况下，参与约束的等式成立（委托因为在最优
16、情况下，参与约束的等式成立（委托人没有必要支付代理人更多），将参与约束通过人没有必要支付代理人更多），将参与约束通过固定项固定项代入目标函数，代入目标函数，Contv上述最优化问题可以重新表述如下：上述最优化问题可以重新表述如下：vv因为因为0是给定的，上述表述意味着委托人实际上是给定的，上述表述意味着委托人实际上是在最大化总的确定性收入减去努力的成本。最是在最大化总的确定性收入减去努力的成本。最优化的一阶条件意味着：优化的一阶条件意味着：Contv将上述结果代入代理人的参与约束得：将上述结果代入代理人的参与约束得：vv这就是帕累托最优合同。因为委托人是风险中性这就是帕累托最优合同。因为委托人
17、是风险中性的，代理人是风险规避的，帕累托最优风险分担的，代理人是风险规避的，帕累托最优风险分担要求代理人不承担任何风险（要求代理人不承担任何风险（*=0），委托人支），委托人支付给代理人的固定收入刚好等于代理人的保留工付给代理人的固定收入刚好等于代理人的保留工资加上努力的成本；资加上努力的成本；Contv最优努力水平要求最优努力水平要求努力的边际期望利润努力的边际期望利润等于等于努力努力的边际成本的边际成本，即，即1=b,因此，因此，*=1/b。因为委托。因为委托人可以观测到代理人的选择人可以观测到代理人的选择，只要委托人在观，只要委托人在观测到代理人选择了测到代理人选择了1/b时就支付时就支
18、付，代理人就一定会选择代理人就一定会选择*=1/b，最优风险分担与激，最优风险分担与激励没有矛盾。励没有矛盾。一个例子一个例子:信息不对称情况下的应用信息不对称情况下的应用v但是，如果委托人不能观测到代理人的努力水平但是，如果委托人不能观测到代理人的努力水平，上述帕累托最优是不能实现的。这是因为，给，上述帕累托最优是不能实现的。这是因为，给定定=0，代理人将选择，代理人将选择最大化自己确定性等价收最大化自己确定性等价收入，一阶条件意味着：入，一阶条件意味着：=/b,于是于是a=0v就是说，如果代理人的收入与产出无关，代理人就是说，如果代理人的收入与产出无关，代理人将选择将选择a=0，而不是，而
19、不是=1/b。v现在让我们来考虑努力水平现在让我们来考虑努力水平不可观测时的最优合不可观测时的最优合同。因为给定（同。因为给定（，），代理人的激励相容约），代理人的激励相容约束意味着束意味着=/b，委托人的问题是选择（，委托人的问题是选择（，）,解下列最优化问题：解下列最优化问题：Contv将参与约束将参与约束IR和激励相容约束和激励相容约束IC代入目标函数，代入目标函数，上述最优化问题可以重新表述如下：上述最优化问题可以重新表述如下：vv一阶条件为：一阶条件为：Contv上述条件意味着，代理人必须承担一定的风上述条件意味着，代理人必须承担一定的风险。特别地，险。特别地，是是、2、和、和b的递
20、减函数。的递减函数。就是说，就是说，代理人越是风险规避，产出代理人越是风险规避，产出的方差的方差越大代理人越是害怕努力工作，他应该承担越大代理人越是害怕努力工作，他应该承担的风险就越小。的风险就越小。极端地，如果代理人是风险极端地，如果代理人是风险中性的（中性的（=0），最优合同要求代理人承担），最优合同要求代理人承担完全的风险（完全的风险（=1）。）。Contv/0和和/20结论是非常直观的。最优激励合同要结论是非常直观的。最优激励合同要在激励与保险之间求得平衡。对于给定的在激励与保险之间求得平衡。对于给定的，越大（或越大（或2越大），风险成本越高，因此，最优风险分担要求越大），风险成本越高
21、，因此，最优风险分担要求越小。越小。但但/b0有点有点“鞭打快牛鞭打快牛”的味道。的味道。v为什么代理人越是害怕努力工作，应该承担的风险越小呢？为什么代理人越是害怕努力工作，应该承担的风险越小呢？这又两方面的原因。这又两方面的原因。v第一，从激励角度看，即使没有信息不对称问题，第一，从激励角度看，即使没有信息不对称问题，b越大，越大，最优的最优的越小（因为越小（因为*=1/b）；）；v第二，从风险分担的角度看，第二，从风险分担的角度看，b越大，为诱使代理人选择同越大，为诱使代理人选择同样的努力水平要求的样的努力水平要求的越大（因为越大（因为=/b），委托人宁愿以较），委托人宁愿以较低的努力换取
22、风险成本的节约。低的努力换取风险成本的节约。Contv当委托人不能观测代理人的努力水平时，存在两类当委托人不能观测代理人的努力水平时，存在两类在对称信息下不存在的代理成本。在对称信息下不存在的代理成本。v一类是上面提到的由帕累托最优风险分担无法达到一类是上面提到的由帕累托最优风险分担无法达到而出现的风险成本，而出现的风险成本，v另一类是由较低的努力水平导致的期望产出的净损另一类是由较低的努力水平导致的期望产出的净损失减去努力成本的节约，简称为激励成本。失减去努力成本的节约，简称为激励成本。v因为委托人是风险中性的，努力水平可观测时委托因为委托人是风险中性的，努力水平可观测时委托人承担全部风险意
23、味着风险成本为零。当委托人不人承担全部风险意味着风险成本为零。当委托人不能观测代理人的努力水平时，代理人承担的风险为能观测代理人的努力水平时，代理人承担的风险为=1/(1+b2)，风险成本为：，风险成本为：Contv这是净福利损失。这是净福利损失。v为了计算激励成本，首先注意到，当努力水平为了计算激励成本，首先注意到，当努力水平可观测时，最优努力水平为可观测时，最优努力水平为=1/b；当努力水平；当努力水平不可观测时，委托人可诱使代理人自动选择的不可观测时，委托人可诱使代理人自动选择的最优努力水平为最优努力水平为：Contv就是说，非对称信息下的最优努力水平严格小于就是说，非对称信息下的最优努力水平严格小于对称信息下的努力水平。因为期望产出为对称信息下的努力水平。因为期望产出为E=，期望产出的净损失为：期望产出的净损失为：vv努力成本的节约为：努力成本的节约为：vContv所以，激励成本为：所以，激励成本为：v总代理成本为：总代理成本为：vv注意，当代理人为风险中性时，代理成本为零，注意，当代理人为风险中性时，代理成本为零，因为因为=1可以达到帕累托最优风险分担和最优激可以达到帕累托最优风险分担和最优激励。进一步，代理成本随代理人风险规避度励。进一步，代理成本随代理人风险规避度和产和产出方差出方差2（代表不确定性）的上升而上升。（代表不确定性）的上升而上升。