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1、特殊的群交换群：交换群：若群若群中的二元运算中的二元运算 是可交换的，是可交换的，则称群则称群为交换群，也称为交换群，也称阿贝尔群阿贝尔群。如：如：,都都是是 阿贝尔群。阿贝尔群。交换群元素的阶元素的阶(周期周期)：设：设群群，a G，使，使ak=e 成立成立 的最小正整数的最小正整数k 称为称为a的阶的阶(周期周期)。如：任何群的幺元如：任何群的幺元e 的阶都为的阶都为1，群，群中中2和和4 的阶是的阶是3，3的阶是的阶是2，1和和5的阶是的阶是6。循环群循环群：循环群：设设群群，如果，如果 a G，使得，使得 G=ak|k Z 则称为循环群，记则称为循环群，记G=，称称a为循环群为循环群的
2、生成元。的生成元。群群是循环群，其生成元是是循环群，其生成元是1或或5。循环群循环群具备下列基本性质：（1）循环群是n阶循环群，a为其生成元，则生成元的阶数也为n；（2）有限循环群，若|G|=n，则存在生成元a G，使得G=a，a2，a3，an1，an=e；（3）任何一个循环群都是交换群；（4）设是n阶循环群，正整数k能整除n（即k为n的一个 整除正因子），则有且仅有一个k阶子群。例 已知12阶循环群，其中Z12=0,1,2,11,表示模12 加法运算。求：（1）该循环群的生成元有哪些？（2）该循环群的所有子群？解 为12阶循环群，0为其幺元。（1）对于n阶循环群G=e，a1，a2，an-1，
3、其生成元为at 当且仅当t与n互质。而与12互质的数有1，5，7，11，所以其生成 元有1，5，7，11。循环群（2）2阶子群 A2=61，62=6，0，3阶子群 A3=41，4 2，43=4，8，0，4阶子群 A4=31，3 2，33，34=3，6，9，0，6阶子群 A6=2，4，6，8，10，0，12阶子群 A12=Z12，1阶子群 A1=0，n元置换元置换：设设S=1,2,n，S上的任何双射函数上的任何双射函数:S S 构成了构成了S上上n个元素的置换，称为个元素的置换，称为n元置换。元置换。记作：记作：如：如：S=1,2,3，令，令:S S且且(1)=2，(2)=3，(3)=1，则有一
4、个置换：，则有一个置换：置换群恒等置换恒等置换：称称 为恒等置换。记作：为恒等置换。记作：Is当当|S|=n时，时，S上共有上共有n!种不同的种不同的n元置换，将这些元置换，将这些置换构成的集合记作置换构成的集合记作Sn。置换群(3)任何置换任何置换 =的的逆置换逆置换 -1=就是就是 的的逆元逆元。因此，因此，构成一个群，称为对称群。构成一个群，称为对称群。的任何子群则称为置换群。的任何子群则称为置换群。对于代数系统对于代数系统，是函数的合成运算，则：是函数的合成运算，则：(1)集合集合Sn对运算对运算 封闭，且封闭，且 是可结合的。是可结合的。(2)Is是集合是集合Sn关于关于 运算的运算的幺元幺元。置换群THANK YOU