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1、第第2章章 平面杆件体系的平面杆件体系的几何构造分析几何构造分析结构力学构力学2.2 几何构造分析的基本概念几何构造分析的基本概念2.1 概述概述2.3 平面几何不平面几何不变变体系的体系的组组成成规规律律2.4 应应用用举举例例第第2章章 平面杆件体系平面杆件体系的几何构造分析的几何构造分析2.5 平面杆件体系的平面杆件体系的计计算自由度算自由度2.6 结结构的静定性与几何构的静定性与几何组组成的关系成的关系2.2 几何构造分析的基本概念几何构造分析的基本概念2.1 概述概述第第2章章 平面杆件体系平面杆件体系的几何构造分析的几何构造分析第第2章章 平面杆件体系的几何构造分析平面杆件体系的几
2、何构造分析【内容提要】主要介绍几何构造分析的基本概念、平面几何不变体系的组成规律、平面几何体系的计算自由度等内容。其中，平面几何不变体系的组成规律是本章的重点。学习要求熟练掌握几何构造分析的基本概念和平面几何不变体系的组成规律，并能灵活应用其对给定的平面几何体系进行组成分析。结构要能承受荷载的作用，首先要求它的几何构造应当合理，也就是说，结构本身应是几何稳固的，要能够使其位置和几何形状保持不变。几何构造分析是从运动学的角度，研究杆件如何连接和布置才能组成牢固的结构。它是进行结构方案选择、结构布置和计算的必备知识，几何构造分析又称为几何组成分析。结构在任意荷载作用下，材料会产生应变，杆件会发生变
3、形。由于这种变形一般是很微小的，所以在几何构造分析中，将不考虑这种由材料应变所引起的变形，即假设杆件是刚性体。在这一假设条件下，可以将杆件体系分为以下两类。2.1概述 (1)几何不变体系:在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的。图2-1 a)所示的铰接体系是一个几何不变体系。(2)几何可变体系:在不考虑材料应变的条件下，体系的位置或形状是可以改变的。图2-1 b)所示的铰接体系是一个几何可变体系。2.1概述 在建筑工程中，结构一般都必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系。几何构造分析的一个主要目的就是要检查并设法保证结构的几何不变性。除此之外，进行几何构造分析的意义还在于:
4、(1)了解结构各部分之间的构造关系，以提高和改善结构的性能;C2)确定结构各部分之间的支承与传荷关系，以简化结构计算;(3)掌握超静定结构的几何组成特性，为其内力计算奠定基础。2.1概述2.2.1刚片 在几何构造分析中，由于不考虑材料的变形，可以把杆件当作刚性体，并称之为刚片。在平面杆件体系中，除了可以把杆件视为刚片以外，还可以把一个几何不变体系视为一个刚片，也可以把支承结构的基础视为一个刚片。2.2几何构造分析的基本概念2.2.2自由度 平面内一点在平面内有两种独立运动方式，即可以沿x轴方向和Y轴方向移动，如图2-2所示。换句话说，要确定平面内一点的位置，需要确定两个独立的坐标(Cx坐标与Y
5、坐标)。因此，平面内一点在平面内有两个自由度。如图2-3所示，平面内一个刚片在平面内有三种独立运动方式，即沿x轴方向移动、沿Y轴方向移动以及发生转动。或者说，要确定平面内一刚片的位置，需要确定三个独立的坐标(坐标x,y,B)。因此，平面内一刚片在平面内有三个自由度。一般地，如果一个体系有n种独立运动方式(或者确定一个体系的位置需要n个独立坐标)，则称这个体系有n个自由度。也就是说，一个体系的自由度等于这个体系的独立运动方式(或者确定这个体系的位置所需独立坐标)的数目。显而易见，几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的体系都是几何可变体系。2.2几何构造分析的基本概念2.2.3约束 一个体系
6、的自由度会因加入限制运动的装置而减少，把减少自由度的装置称为约束，不同的约束对自由度的影响是不同的。如图2-4(a)所示，刚片AB用一根链杆与基础相连。没有安装链杆时，刚片AB在平面内有三个自由度，加上链杆以后，刚片AB只有两种运动方式，即沿水平方向平动、绕A点转动。在图2-4(b)中，刚片AB和刚片BC用铰B连接在一起。连接前，两个孤立的刚片在平面内共有六个自由度;用铰连接以后，自由度变为4。图2-4(c)所示为两个刚片AB和BC在B点刚性连接成一个整体。连接前，刚片AB和BC在平面内共有六个自由度，刚性连接成整体以后，只有三个自由度，自由度减少三个2.2几何构造分析的基本概念2.2.3约束
7、 一般来说，根据约束在体系中所起作用的不同，可以将约束分为以下两类。(1)必要约束:能减少体系自由度的约束。如图2-5(a)所示，自由点A在平面内有两个自由度，如果用两根不共线的链杆1和2把A点与基础相连，则A点即被固定。由此可见，链杆1和2都起到了减少体系自由度的作用，都是必要约束。(2)多余约束:不能减少体系自由度的约束。如果在图2-5(a)的基础上再增加一根链杆3，如图2-5(b)所示，体系仍只减少了两个自由度。由此可见，链杆3没有起到减少体系自由度的作用，故属于多余约束。2.2几何构造分析的基本概念2.2.3约束【知识探讨】在图2-5(b)中，多余约束一定是链杆3吗?2.2几何构造分析
8、的基本概念2.2.4瞬变体系 如图2-5(a)所示，用两根不共线的链杆可以把平面内的一个自由点A完全固定起来。但是，要特别注意图2-5(c)所示两根链杆彼此共线的情况，这种体系具有以下一些特点。(1)从微小运动的角度来看，这是一个几何可变体系，即A点可沿图中两圆弧的公切线方向做微小的运动。(2)当A点沿公切线方向发生微小位移后，两根链杆不再彼此共线，此时体系也就不再是几何可变体系，而变成几何不变体系。这种本来是几何可变而经过微小位移后又变成几何不变的体系称为瞬变体系。瞬变体系是几何可变体系的一种特殊情况。(3)在图2-5(c)中，自由点A在平面内有两个自由度，增加两根共线的链杆1和2把A点与基
9、础连接以后，A点仍然有一个自由度。由此可见，在链杆1和2这两个约束中有一个是多余约束。因此，瞬变体系中必然存在多余约束。2.2几何构造分析的基本概念2.2.5虚铰(瞬铰)如图2-6(a)所示，刚片I在平面内有三个自由度。如果用两根彼此不平行的链杆1和2把它与基础相连接，则此体系仍有一个自由度。下面就来分析一下这个体系的运动特点。由于链杆的约束作用，A点的微小位移应与链杆1垂直，C点的微小位移应与链杆2垂直。以O点表示两根链杆轴线的交点，显然刚片I可以发生以O点为中心的微小转动，O点称为瞬时转动中心，这时刚片I的瞬时运动情况与刚片I在O点用铰与基础相连接时的运动情况完全相同。因此，从瞬时微小运动
10、角度来看，两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用。这个铰称为虚铰，有时也称为瞬铰。同时还可以看到，在体系运动的过程中，与两根链杆对应的虚铰的位置也在不断改变。应当注意的是，用虚铰替换对应的两个链杆约束，这种约束的等效变换只适用于瞬时微小运动。2.2几何构造分析的基本概念2.2.5虚铰(瞬铰)特殊情况下，如果用两根平行的链杆1和2把刚片I与基础相连接(见图2-6(b)，由于两根链杆的交点在无穷远处，因此两根链杆所起的约束作用相当于无穷远处的虚铰所起的约束作用。由于虚铰在无穷远处，因此刚片I绕虚铰的微小转动就退化为平动，即沿两根链杆的正交方向产生平动(在图2-6(b)中，A
11、点和C点的微小位移都垂直于两根链杆)。无穷远虚铰是虚铰的一个特例，当应用其进行几何组成分析时，可以应用射影几何中关于二点和二线的一些基本结论。如:(1)每个方向有一个二点(即该方向各平行线的交点);(2)不同方向有不同的二点;(3)各二点都在同一直线上，此直线称为二线;(4)各有限点都不在二线上。2.2几何构造分析的基本概念本节主要讨论无多余约束的平面几何不变体系的基本组成规律。2.3.1三刚片规律 规律1:平面内三个刚片用不共线的三个单铰两两铰连，则组成的体系为无多余约束的几何不变体系。在图2-7所示铰接三角形中，每一根杆件均视为一个刚片，每两个刚片间均用一个单铰相连，故称为“两两铰连”。由
12、铰接三角形的性质可知，这样组成的体系是几何不变的，且无多余约束。图2-8所示为三铰拱结构，其左、右两个拱臂可分别视为刚片I、刚片1l，整个基础可视为刚片111。故此体系是由三个刚片用不在同一条直线上的三个单铰A.B.C两两铰接而成的，所以该体系是无多余约束的几何不变体系。2.3平面几何不变体系的组成规律2.3.3二元体规律 规律3:在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何组成性质。图2-11所示体系是按上述三刚片规律组成的。但如果把三个刚片中的一个作为刚片，而把另外两个看作链杆，则又可以认为此体系是这样组成的:在一个刚片上增加两根链杆，要求这两根链杆不在同一直线上，且两根链杆的另一
13、端用单铰相连。我们把这种由两根不共线的链杆连接形成一个新铰结点的构造称为二元体。显然，在刚片I上增添一个二元体后，体系仍为几何不变体系，体系的几何组成性质没有发生改变。图2-12所示为一铰接体系，对其进行几何组成分析时，可任选一个铰接三角形(如ABF)为基础，通过增加一个二元体生成结点G，从而得到几何不变体系ABGF;再以其为基础，增加一个二元体生成结点H，如此依次增添二元体直至最后形成整个体系，由此可知，该铰接体系是一个几何不变体系。由于在一个体系上增加二元体与拆除二元体是一对可逆的过程。因此，对于图2-12所示的铰接体系，也可以通过拆除二元体的方式进行几何组成分析，此处不再赘述。上述三个组
14、成规律，虽然表述方式不同，但实际上可归纳为一个基本规律，即如果三个铰不共线，则一个铰接三角形的形状是不变的，且没有多余约束。这个基本规律可称为三角形规律。2.3平面几何不变体系的组成规律2.3.4讨论(l)在一个刚片上增加二元体时，若构成二元体的两杆共线，则形成瞬变体系(图2-5(c)o (2)两个刚片用三根链杆相连时，若三根链杆交于同一点O(图2-13(a)，则两刚片可绕交点O作相对转动，但发生微小转动后三根链杆一般便不再交于同一点，故此体系为瞬变体系;若三根链杆彼此平行，则可以认为它们在无穷远处相交，故亦属交于同一点的情况，此时两刚片可沿与链杆垂直的方向作相对平动;其中，当三根链杆平行且不
15、等长时(图2-13(b)，两刚片发生微小相对移动后三根链杆便不再全平行，则体系为瞬变体系;当三根链杆平行且等长时(图2-13(c)，则运动可一直继续下去，此体系称为常变体系。(3)在三刚片规律中，如果三个铰共线，则体系为瞬变体系(图2-5(c)o 值得注意的是，瞬变体系和常变体系都属于几何可变体系，因此二者都不能作为结构在工程中应用。2.3平面几何不变体系的组成规律上一节介绍了平面杆件体系的基本组成规律，本节主要介绍这些规律的具体应用。【例2-1 试分析图2-14所示多跨静定梁的几何组成。2.4应用举例2.4应用举例 解:方法一:把地基作为一个刚片，观察各段梁与基础的连接情况。首先可以看出，A
16、BF段梁与基础是用三根链杆按“两刚片规律”相连的，为无多余约束的几何不变体系。这样，就可以把基础与ABF段梁一起看成一个扩大了的刚片。再看FCG段梁，它与上述扩大了的刚片之间又是用一铰一杆按“两刚片规律”相连的，于是这个“大刚片”就继续扩大到包含FCG段梁。同样，GDH段梁与上述大刚片又是按“两刚片规律”相连的，HE段梁亦可作同样分析。因此可知，整个体系为几何不变体系，且无多余约束。方法二:按照“二元体规律”，从体系的右侧出发，依次通过“拆二元体”的方法，可以将体系中的所有杆件拆掉，最终只剩下基础，即体系为无多余约束的几何不变体系。【例2-2】试分析图2-15所示体系的几何组成。2.4应用举例
17、 解:(1)分析图2-15 Ca)所示的体系。方法一:把铰接三角形AFI视为一个刚片，在AFI基础上，增加一个二元体，得到结点C，由此可知，刚片AFCL为无多余约束的几何不变体系。同理，刚片BGCE也是一个无多余约束的几何不变体系。刚片AFCD与刚片BGCE通过铰C和链杆AB相连，且链杆AB不通过铰C，由“两刚片规律”可知，整个上部体系为一个无多余约束的几何不变体系，可视为一个大刚片。此大刚片与基础之间通过三根链杆1,2,3相连，符合“两刚片规律”，因此整个体系是几何不变的，且没有多余约束。2.4应用举例 解:(1)分析图2-15(a)所示的体系。方法二:如上分析，刚片AFCD,BGCE皆为无
18、多余约束的几何不变体系，故可以将刚片AFCD,BGCE各等效为一根杆件。这样，原来的上部铰接体系就等效为一个铰接三角形，这个等效的铰接三角形与基础之间的连接满足“两刚片规律”。由此可知，原体系为无多余约束的几何不变体系。(2)分析图2-15(b)所示的体系。先把折线杆AC和BD用虚线表示的链杆2和3来替换，于是T形刚片DE由三根链杆1,2,3与基础相连。如果三个链杆相交于同一点，则体系是瞬变的;否则为无多余约束的几何不变体系。2.4应用举例 2.4应用举例 解:(1)分析图2-16 Ca)所示体系。分别将杆AEC、杆BFZ和基础视为三个刚片，杆AEC与基础之间用铰A相连，杆BFD与基础之间用铰
19、B相连，杆AEC与杆BFL之间用两根链杆D,EF才目连，两根链杆的交点O相当于一个虚铰，由于A.B.O三个铰不共线，所以整个体系是无多余约束的几何不变体系。2.4应用举例 解:(2)分析图2-16(b)所示体系。选择杆件DF作为刚片工、三角形BCE作为刚片II、基础作为刚片III，如图2-16 Cb)所示。此时，刚片工与刚片III用链杆1和AD相连，虚铰在F点;刚片II与刚片III用链杆2和AB相连，虚铰在C点;刚片工与刚片II用链杆BD.EF相连，因为此两杆平行，故虚铰O在此两杆延长线的无穷远处。由于虚铰O在EF的延长线上，故C,F,O三铰在同一直线上。因此，原体系是一个瞬变体系。【知识探讨
20、对图2-16(b)所示体系进行几何组成分析时，为什么只能把三角形BCE看作刚片，而不能把三角形ABD看作刚片?2.4应用举例 【例2-4试分析图2-17(a)所示体系的几何组成。解:图2-17 Ca)所示体系的上部与基础之间是通过一个铰和一根链杆连接的，因此去掉支座后得到的体系(见图2-17 Cb)的几何组成与图2-17 Ca)所示体系的几何组成完全相同。将图2-17(b)中的“二元体”拆除后，得到图2-17(c)所示体系。在图2-170，则so，体系为几何可变的。w=o，则s=n，如果无多余约束，则体系是几何不变的;如果有多余约束，则体系是几何可变的。(3)W0，体系中存在多余约束。2.5.
21、3计算自由度的计算方法 下面由式(2-2导出计算自由度W的具体计算方法。在推导之前，还需对式(2-2中的部件作进一步的说明。在式(2-2)中，部件可以是点，也可以是刚片。应该注意的是，在式(2-2)中，作为部件的刚片是指内部无多余约束的刚片。如果遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的刚片，它的附加约束在计算体系的约束总数时应当考虑进去。图2-18(a)是内部没有多余约束的刚片，而图2-18 Cb),(c),(d)则是内部分别有1,2,3个多余约束的刚片。它们可看作在图2-18(a)的刚片内部分别附加一根链杆、一个单铰结点、一个单刚结点。2.5平面杆件体系的计算自由度2.5.3计
22、算自由度的计算方法 约束可分为单约束和复约束。两个刚片间的结合称为单结合(如单刚结点、单铰结点)，三个及三个以上刚片的结合称为复结合(如复刚结点、复铰结点)。一般来说，n个刚片间的复结合相当于(n-1)个单结合。连接两个铰结点的链杆称为单链杆，相当于一个约束;连接三个或三个以上铰结点的链杆称为复链杆，如图2-19所示。一般地，连接n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。2.5平面杆件体系的计算自由度2.5.3计算自由度的计算方法 对于一个给定的体系，我们可以把它看作由多个刚片通过铰结点、刚结点和链杆等连接而成的。如以m表示体系中刚片的个数，则刚片的自由度总和为3m。计算约束总数时，体系中
23、如有复约束，则应先把它折算成单约束;刚片内部如有多余约束，也应把它们计算在内;如以g代表单刚结点个数，以h代表单铰结点个数，以b代表单链杆根数，则约束总数为(3g+2h+b)。因此，体系的计算自由度W可表示为 W=3m一(3g+2h+b)(2-4)对于铰接体系，设体系中铰结点的总数为j，单链杆总数为b。由于平面内一个结点有两个自由度，一个单链杆相当于一个约束，则铰接体系的计算自由度W也可表示为 W=2j一b (2-5)式(2-4)与式(2-5)都是在式(2-2)的基础上导出的，只是选取部件的对象有所不同。在式(2-4)中选取的部件是刚片，式(2-5)中选取的部件则为铰结点。2.5平面杆件体系的
24、计算自由度 2.5平面杆件体系的计算自由度 解:把图2-20 a)所示体系的全部支座去掉以后，剩下的是一个内部有多余约束的刚片。如果在截面G和H处切开，就变为无多余约束的刚片，如图2-20(b)所示。按式(2-4)计算，刚片数m=1，单链杆数b=4，单铰结点数h=0，单刚结点数g=4因此 W=3m一(3g+2h+b)=3x1一(3x4+4)=-13 由图可知体系为几何不变体系，故其自由度S=0，则根据式(2-3可得多余约束数为 n=S一W=0一(一13)=13 故该体系为一个具有13个多余约束的几何不变体系。【知识探讨请用其他方法计算图2-20(a)所示体系的计算自由度W，并与例2-5的计算方
25、法进行对比。2.5平面杆件体系的计算自由度 【例2-6 试求图2-21所示体系的计算自由度W.解:按式(2-4)计算，将每一根杆件作为一个刚片，则刚片数m=10，单铰结点数h=13，单链杆数b=4，单刚结点数g=0。因此 W=3m一(3g+2 h+b=3x10一(2x13+4=0 按式(2-5)计算，铰结点数j=7，单链杆数b=14，则 W=2 j一b=2x7一14=0 可见两种方法计算结果一致，但按式(2-5)计算较简便。2.6结构的静定性与几何组成的关系 除了可以判断体系是否几何可变外，几何组成分析还有一个重要作用，就是通过判定几何不变体系是否含有多余约束，来判定结构是静定结构还是超静定结
26、构。静定结构是无多余约束的几何不变体系。图2-22 a)为无多余约束的几何不变体系，共有三个支座反力，可以由平面一般力系的三个静力平衡条件唯一确定，支座反力确定后，就可以进一步利用静力平衡条件确定任一截面的内力，所以此体系是静定的。超静定结构是有多余约束的几何不变体系。图2-22(b)为有多余约束的几何不变体系，若去掉任一根竖向支座链杆，体系仍可保持几何不变。它共有四个支座反力，但所能建立的独立平衡方程只有三个，因此无法完全确定四个支座反力，所以此体系是超静定的。综上所述，静定结构是无多余约束的几何不变体系，其力学特点是全部的支座反力和内力都可以由静力平衡条件唯一确定;超静定结构是有多余约束的几何不变体系，其力学特点是全部的支座反力和内力不能由静力平衡条件唯一确定。本章小结 本章小结 思考题THE END