《数列中的知识交汇和创新型问题-2024年高考数学邯郸.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列中的知识交汇和创新型问题-2024年高考数学邯郸.pdf（66页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1数列中的知识交汇和创新型问题1 王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，
2、试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素)参考数据1.0031191.428，1.0031801.433，1.0031211.4372 佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.数列中的知
3、识交汇和创新型问题-2024年高考数学2(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列 an的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m(mN*)项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a1、3a2、4a3、m+1am(m+1am表示高度为am的方体连续堆叠m+1层的总高度)，请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.33在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值
4、b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1:表1次数消费者还价商家讨价第一次b1=12ac1=b1+12(a-b1)第二次b2=c1-12(c1-b1)c2=b2+12(c1-b2)第三次b3=c2-12(c2-b2)c3=b3+12(c2-b3)第n次bn=cn-1-12(cn-1-bn-1)cn=bn+12(cn-1-bn)消费者每次的还
5、价bn(nk)组成一个数列 bn.(1)写出此数列的前三项，并猜测通项bn的表达式并求出limn+bn；(2)若实际价格b与定出a的价格之比为b:a=0.618:1，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润?4近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a万元，再将剩余资金继续投入直播平合.(1)若a=100，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底除运营成
6、本后资金达到3000万元？(结果精确到0.1万元)45甲、乙两人同时分别入职A,B两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量(精确到1元)(2)设甲、乙两人入职第n年的月基础工资分别为an、bn元，记cn=an-bn，讨论数列 cn的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由6治理垃圾是S市改善环境的重要举措去年S市产生的垃圾量为20
7、0万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n nN*的表达式；(2)设An为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由57为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后(滤除之前)这种药物在人体内的含量是an
8、毫克，(即a1=m).(1)已知m=12，求a2a3；(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.8保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署2021年7月，国务院办公厅发布 关于加快发展保障性租赁住房的意见 后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米(1)到哪一年底，该市历年所建
9、保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?69某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少05万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列 an，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列 bn，完成下列表格，并
10、写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=a4=b1=2b2=3b3=b4=(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？10市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；等额本息：每月的还款额均相同银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款)已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510
11、元，试计算该笔贷款的总利息(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)参考数据：1.0042.61(3)对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式711流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1 9k29,kN*日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.(1)若k
12、=9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；(2)若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.12某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为13，并且规定若第i i=1,2,n-1题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为13；第i i=1,2,n-1题正确选项
13、为三个，则第i+1题正确选项为三个的概率为13.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第n题正确选项为两个的概率；(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：E Y1718.813甲乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3乙胜的概率为0.2.(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；(3)若Pii=0,1,6表示“在甲所得筹码为i枚
14、时，最终甲获胜的概率”，则P0=0,P6=1.证明：Pi+1-Pii=0,1,2,5为等比数列.14已知数列 an的前n项和为Sn,a1=2，对任意的正整数n，点 an+1,Sn均在函数 f x=x图象上.(1)证明：数列 Sn是等比数列；(2)问 an中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.915如果数列 an对任意的nN*，an+2-an+1an+1-an，则称 an为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列 an的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列 an为“速增数列”，且任意项anZ，a1=1，a2=3，ak=2023，求正整数k的最大值.16设数列 an的前n项和为
15、Sn，若12an+1an2 nN*，则称 an是“紧密数列”.(1)若an=n2+2n4n，判断 an是否是“紧密数列”，并说明理由；(2)若数列 an前n项和为Sn=14n2+3n，判断 an是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列 an是公比为q的等比数列.若数列 an与 Sn都是“紧密数列”，求q的取值范围.1017已知 an和 bn是各项均为正整数的无穷数列，若 an和 bn都是递增数列，且 an中任意两个不同的项的和不是 bn中的项，则称 an被 bn屏蔽已知数列 cn满足1c1+3c2+2n-1cn=n nN*(1)求数列 cn的通项公式；(2)若 dn为首项与公比均为c1+1
16、的等比数列，求数列 cndn的前n项和Sn，并判断 Sn能否被cn屏蔽，请说明理由18设y=f(x)是定义域为R的函数，如果对任意的x1、x2R x1x2,f x1-f x20时，sinxx恒成立)(2)若函数y=f(x)是“平缓函数”，且y=f(x)是以 1为周期的周期函数，证明:对任意的x1、x2R，均有 f x1-f x21 使得函数y=Ag(x)为“平缓函数”.现定义数列 xn满足:x1=0,xn=g xn-1(n=2,3,4,)，试证明:对任意的正整数n,g xnA|g(0)|A-1.1119若项数为N N3的数列AN:a1,a2,aN满足：a1=1,aiN*i=2,3,N，且存在M
17、2,3,N-1，使得an+1-an1,2,1nM-1-1,-2,MnN-1，则称数列AN具有性质P.(1)若N=3，写出所有具有性质P的数列A3；若N=4,a4=3，写出一个具有性质P的数列A4；(2)若N=2024，数列A2024具有性质P，求A2024的最大项的最小值；(3)已知数列AN:a1,a2,aN,BN:b1,b2,bN均具有性质P，且对任意i,j 1,2,N，当i j时，都有aiaj,bibj记集合T1=a1,a2,aN，T2=b1,b2,bN，求T1T2中元素个数的最小值.20在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”
18、.如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn.(1)若a=1,b=2,c=3，求P2，S2；(2)设满足Pn2023的n的最小值为n0，求n0及Sn03(其中x是指不超过x的最大整数，如 1.2=1，-2.6=-3)；1221已知Q：a1,a2,ak为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的n 1,2,m,在Q中存在ai,ai+1,ai+2,ai+jj0,使得ai+ai+1+ai+2+ai+j=n,则称Q为m-连续可表数列.(1)判断Q：2,1,4,2是否为7-连
19、续可表数列？是否为8-连续可表数列？说明理由；(2)若Q：a1,a2,ak为8-连续可表数列,求证：k的最小值为4.22已知有限数列 an，从数列 an中选取第i1项、第i2项、第im项(i1i2im)，顺次排列构成数列 bk，其中bk=aik，1km，则称新数列 bk为 an的长度为m的子列规定：数列 an的任意一项都是 an的长度为1的子列，若数列 an的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列an为完全数列设数列 an满足an=n，1n25,nN*(1)判断下面数列 an的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列：3，5，7，9，11；数列：2，4，8，16(2)数列 an的子列 bk长度为
20、m，且 bk为完全数列，证明：m的最大值为6；(3)数列 an的子列 bk长度m=5，且 bk为完全数列，求1b1+1b2+1b3+1b4+1b5的最大值1323有穷数列an共m项(m3)其各项均为整数，任意两项均不相等bi=ai-ai+1i=1,2,m-1，bibi+1i=1,2,m-2(1)若an：0，1，a3求a3的取值范围；(2)若m=5，当5i=1ai取最小值时，求4i=1bi的最大值；(3)若1aim i=1,2,.,m，m-1k=1bk=m+1，求m的所有可能取值24如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第i行第 j列的数为a i,j，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公
21、比相同的等比数列.1620(1)若a i,j=100，求实数对 i,j；(2)证明：所有正整数恰在数表中出现一次.1425若数列 an满足 ak+1-ak=1 k=1,2,3,n-1 n2，则称数列 an为数列.记Sn=a1+a2+a3+an.(1)写出一个满足a1=a5=1，且S5=5的数列；(2)若a1=24,n=2000，证明：数列 an是递增数列的充要条件是an=2023；(3)对任意给定的整数n n3，是否存在首项为1的数列 an，使得Sn=1？如果存在，写出一个满足条件的数列 an；如果不存在，说明理由.26定义矩阵运算：abcdxy=ax+bycx+dy已知数列 an，bn满足a
22、1=1，且n11nanbn=n2+2nn 2n+1(1)证明：an，bn分别为等差数列，等比数列(2)求数列 a2n+3b2n-1+1的前n项和Sn1527将数列an按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为数列an的一个分群数列，an称为这个分群数列的原数列.如(a1,a2,ar)，(ar+1,ar+2,at)，(at+1,at+2,as)，(am+1,am+2,an)，是数列an的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群.已知数列an的通项公式为an=2n.(1)若数列an的一个分群数列每个群都含有3项，该分群数列第k群的最后一项为bk，求数列bn的通项公式.(2)若数列a
23、n的一个分群数列满足第k群含有k项，Ak为an的该分群数列第k群所有项构成的数集，设M=m|amAk,am+6Ak+2，求集合M中所有元素的和.28已知数列an3n 是以13为首项的常数列，Sn为数列 an的前n项和(1)求Sn；(2)设正整数m=b030+b131+bk3k，其中bi0,1,2,i,kN例如：3=030+131，则b0=0，b1=1；4=130+131，则b0=1，b1=1若 f(m)=b0+b1+bk，求数列 Sn f Sn的前n项和Tn1629已知 an是公比为q的等比数列对于给定的k(k=1,2,3n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak-1的等差数列 an，记T(k
24、)的第i项为b(k)i若b(1)1+b(2)1=b(2)2，且b(1)2=b(2)3(1)求 an的通项公式；(2)求ni=11b(2)ib(2)i+1；(3)求ni=1b(k)i30已知数列 an的前n项和为Sn，且Sn=2n+1(1)求 an的通项公式；(2)保持 an中各项先后顺序不变，在ak与ak+1之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 bn，记 bn的前n项和为Tn，求T100的值(用数字作答)1731若项数为k(kN*，k3)的有穷数列an满足：0a1a2a30(n=1,2,3,)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有anM？如果存在，写出一个满足条件的M；如
25、果不存在，说明理由.34设为整数有穷数列 an的各项均为正整数，其项数为m(m2)若 an满足如下两个性质，则称 an为P数列：am=1，且ai1(i=1,2,m-1)；an+1=an+1,an为奇数,an2,an为偶数(n=1,2,m-1)(1)若 an为P1数列，且a1=5，求m；(2)若 an为P-1数列，求a1的所有可能值；(3)若对任意的P1数列 an，均有m2log2a1+d，求d的最小值1935若数列 An满足An+1=A2n，则称数列 An为“平方递推数列”已知数列 an中，a1=9，点an,an+1在函数 f(x)=x2+2x的图象上，其中n为正整数，(1)证明：数列 an+
26、1是“平方递推数列”，且数列 lg an+1为等比数列；(2)设bn=lg an+1,cn=2n+4，定义a*b=a,ab,b,ab,，且记dn=bn*cn，求数列 dn的前n项和Sn36如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都大于2，则称这个数列为“G型数列”(1)若数列 an满足a1=1，an+1an=32n-1，求证：数列 an是“G型数列”(2)若数列 an的各项均为正整数，且a1=1，an为“G型数列”，记bn=an+1，数列 bn为等比数列，公比q为正整数，当 bn不是“G型数列”时，求数列 an的通项公式(3)在(2)的条件下，令cn=1anan+1，记 cn的前n项和为S
27、n，是否存在正整数m，使得对任意的nN*，都有1Sn m-1,m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由2037已知等差数列 an的前n项和为Sn，且a4=4，数列 bn的前n项之积为Tn，b1=13，且Sn=log3Tn(1)求Tn；(2)令cn=anbn，是否存在正整数n，使得“cn-1=cn+cn+1”与“cn是cn-1，cn+1的等差中项”同时成立？请说明理由38若无穷数列 an满足nN*，an-an+1=n+1，则称 an具有性质P1若无穷数列 an满足nN*，anan+4+1a2n+2，则称 an具有性质P2(1)若数列 an具有性质P1，且a1=0，请直接写出a3的所有可能
28、取值；(2)若等差数列 an具有性质P2，且a1=1，求a22+a23的取值范围；(3)已知无穷数列 an同时具有性质P1和性质P2，a5=3，且0不是数列 an的项，求数列 an的通项公式2139如果数列 an对任意的nN*，an+2-an+1an+1-an，则称 an为“速增数列”.(1)判断数列 2n是否为“速增数列”？说明理由；(2)若数列 an为“速增数列”.且任意项anZ，a1=1,a2=3,ak=2023，求正整数k的最大值；(3)已知项数为2k(k2,kZ)的数列 bn是“速增数列”，且 bn的所有项的和等于k，若cn=2bn，n=1,2,3,2k，证明：ckck+12.40已
29、知数表A2n=a11a12a1na21a22a2n中的项aij(i=1,2;j=1,2,n)互不相同，且满足下列条件：aij 1,2,2n；(-1)m+1a1m-a2m0(m=1,2,n).则称这样的数表A2n具有性质P.(1)若数表A22具有性质P，且a12=4，写出所有满足条件的数表A22，并求出a11+a12的值；(2)对于具有性质P的数表A2n，当a11+a12+a1n取最大值时，求证：存在正整数k 1kn，使得a1k=2n；(3)对于具有性质P的数表A2n，当n为偶数时，求a11+a12+a1n的最大值.1数列中的知识交汇和创新型问题1王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买
30、住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素)参考数据1.0031191.428
31、，1.0031801.433，1.0031211.437【答案】(1)290000元(2)王先生该笔贷款能够获批【分析】(1)由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息；(2)利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论.【详解】(1)由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列 an，Sn表示数列 an的前n项和.则a1=15000,a120=6500，故S120=15000+65002120=1290000.故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元.(2)设王先生每月还货额为x元，则有x+x(1+0
32、.003)1+x(1+0.003)2+x(1+0.003)119=1000000(1+0.003)120，即x1-1.0031201-1.003=1000000(1+0.003)120，故x=1000000(1+0.003)1200.0031.003120-19928.因为9928310，故新堆叠坊塔的高度可以超过310米.3在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上3二者差
33、价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1:表1次数消费者还价商家讨价第一次b1=12ac1=b1+12(a-b1)第二次b2=c1-12(c1-b1)c2=b2+12(c1-b2)第三次b3=c2-12(c2-b2)c3=b3+12(c2-b3)第n次bn=cn-1-12(cn-1-bn-1)cn=bn+12(cn-1-bn)消费者每次的还价bn(nk)组成一个数列 bn.(1)写出此数列的前三项，并猜测通项bn的表达式并求出limn+bn；(2)若实际价格b与定出a的价格之比为b:a=0.618:1，利用“对半还价法”讨价还价，
34、最终商家将能有百分之几的利润?【答案】(1)答案见解析(2)8%【分析】(1)根据条件即可得到数列 bn的通项公式，进而可直接计算limn+bn；(2)根据价格比得a,b关系，代入(1)中limn+bn计算即可.【详解】(1)b1=12a，b2=c1-12c1-b1=12a+14a-18a=-12a+-122a+-123a+a，b3=c2-12c2-b2=-12a+-122a+-125a+a，观察可得，bn=cn-1-12cn-1-bn-1=-12a+-122a+-122n-1a+a=-13a 1+122n-1+alimnbn=limn-13a 1+122n-1+a =-13a+a=23a.(
35、2)因为b:a=0.618:1，所以a=b0.618，故23a=2b30.6181.08b故商家将有约8%的利润.44近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a万元，再将剩余资金继续投入直播平合.(1)若a=100，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底除运营成本后资金达到3000万元？(结果精确到0.1万元)【答案】(1)936万元(2)3000万元【分析】(1)用
36、an表示第n年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据已知计算a1,a2,a3可得；(2)由已知写出a1,a2,a3,a6，然后由a63000求得a的范围【详解】(1)记an为第n年年底扣除运营成本后直播平台的资金，则a1=5001.4-100=600，a2=6001.4-100=740a3=7401.4-100=936故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.(2)a1=5001.4-a，a2=5001.4-a1.4-a=5001.42-1.4a-aa6=5001.46-1.45+1.44+1a=5001.46-a1-1.461-1.4由a63000，得a46.8，故运营成本最
37、多控制在46.8万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.5甲、乙两人同时分别入职A,B两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量(精确到1元)(2)设甲、乙两人入职第n年的月基础工资分别为an、bn元，记cn=an-bn，讨论数列 cn的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由【答案】(1)甲的基础工资
38、收入总量606000元；乙的基础工资收入总量603739元(2)单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析【分析】(1)易得甲的工资满足等差数列，乙的工资满足等比数列，再根据等差等比数列的求和公式求解即可5(2)根据题意可得cn=3400+300n-40001.05n-1，再求解cn+1-cn0分析 cn的单调性，并计算cn0，即1.05n-11.5，解得1n8所以当1n8时，cn递增，当n9时，cn递减又当cn0，即3400+300n40001.05n-1，解得5n14，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资6治理垃圾是S市改善环境的重要举措
39、去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n nN*的表达式；(2)设An为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由【答案】(1)an=200-20n,1n510034n-5,n6(2)有效，理由见详解【分析】(1)分别求出当n5时和n6时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；(2)先根据An
40、=Snn，利用作差法，可证明数列 An为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势【详解】(1)设治理n年后，S市的年垃圾排放量构成数列 an.当n5时，an是首项为a1=200-20=180，公差为-20的等差数列，所以an=a1+n-1d=180-20 n-1=200-20n；当n5时，数列 an是以a5为首项，公比为34的等比数列，所以an=a5qn-5=10034n-5，所以，治理n年后，S市的年垃圾排放量的表达式为6an=200-20n,1n510034n-5,n6(2)设Sn为数列 an的前n项和，则An=Snn由于An+1-An=Sn+1n+1-Snn=nSn+1-n+1Snn
41、n+1=n Sn+an+1-n+1Snn n+1=nan+1-Snn n+1=an+1-a1+an+1-a2+an+1-ann n+1由(1)知，1n5时，an=200-20n，所以 an为递减数列，n6时，an=10034n-5，所以 an为递减数列，且a6a5，所以 an为递减数列，于是an+1-a10,an+1-a20,.,an+1-an0因此An+1-An0，所以数列 An为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的7为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物
42、的80%，设第n次服药后(滤除之前)这种药物在人体内的含量是an毫克，(即a1=m).(1)已知m=12，求a2a3；(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.【答案】(1)a2=14.4，a3=14.88；(2)20毫克【分析】(1)由a2=m+a120%，a3=m+a220%计算可得(2)由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的20%可得递推关系式，变形后构造一个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可得【详解】(1)a2=m+a120%=12+120.2=14.4，a3=m+a220%=12+14.40
43、.2=14.88；(2)依题意，an+1=m+15an-1，7所以an+1-54m=15an-54m，a1-54m=-14m，所以 an-54m 是等比数列，公比为15，所以an-54m=-14m15n-1，an=54m-145n-1m，54m-145n-1m25，m2554-145n-1，数列54-145n-1 是递增数列，且54-145n-12554=20，即m20，所以m的最大值是20毫克8保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署2021年7月，国务院办公厅发布 关于加快发展保障性租赁住房的意见 后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿为
44、了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?【答案】(1)2030；(2)2026【分析】(1)设保障性租赁住房面积形成数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1=25，d=5，结合等差数列的前n项和公式，即可求解(2
45、)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知，bn是等比数列，其中b1=40，q=1.08，则可得bn的通项公式，通过求解an0.85bn不等式，即可求解【详解】(1)设保障性租赁住房面积形成数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1=25，d=5，则Sn=25n+n n-125=125n2+45n，令125n2+45n475，即n2+9n-1900，而n为正整数，解得n10，故到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米；(2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知，bn是等比数列，其中b1=40，q=1.08，8则bn=40(
46、1.08)n-1，由题意知，an0.85bn，则25+(n-1)540(1.08)n-1，满足上式不等式的最小正整数n=6，故到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%9某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少05万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列 an，每年发放电动型汽车牌
47、照数为构成数列 bn，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=a4=b1=2b2=3b3=b4=(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？【答案】(1)表格见解析，an=10.5-0.5n,n200,n21 nN*;bn=232n-1，n46.75,n5,nN*(2)2033年【分析】(1)由已知数列 an是等差数列，数列 bn是等比数列通过观察得到结果(2)利用等差、等比求和公式，分段将两部分分组求和后列出不等式关系求出结果【详解】(1)由已知，由已知数列 an是等差数列，数列 bn是等比数列因此列举前四项可填表如下a1=10a2=
48、9.5a3=9a4=8.5b1=2b2=3b3=4.5 b4=6.75由题意，当1n20时 an=10+(n-1)(-0.5)=10.5-0.5n当n21时，an=0因此an=10.5-0.5n,n200,n21 nN*;而根据题意a4+b4=15.2515因此数列 bn的通项公式为bn=232n-1，n46.75,n5,nN*(2)由(1)可知记Sn为数列 an的前n项和，Tn为数列 bn的前n项和,设累计各年发放的牌照数为Mn,则Mn=Sn+Tn=-14n2+41n4+2-232n1-32,n4,nN*-14n2+41n4+16.25+6.75 n-4,5n20105+124.25+6.7
49、5 n-20,n219由题意，Mn200，因此,可以得到当n=20时Mn=229.25，所以当n20时满足要求即2033年累计各年发放的牌照数开始超过200万张10市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；等额本息：每月的还款额均相同银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款)已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510
50、元，试计算该笔贷款的总利息(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)参考数据：1.0042.61(3)对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式【答案】(1)289200(元)；(2)小张申请该笔贷款能够获批；(3)小张应选择等额本金的还款方式【分析】(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；(2)根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小