《幂函数、指数函数与对数函数专题-2024年高中数学竞赛讲义含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《幂函数、指数函数与对数函数专题-2024年高中数学竞赛讲义含答案.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描知识方法扫描一、指数函数及其性质一、指数函数及其性质形如y=ax(a0,a1)的函数叫作指数函数，其定义域为R R，值域为(0,+)当0a1时，y=ax为增函数，它的图像恒过定点(0,1)二、分数指数幂二、分数指数幂a1n=na,amn=nam,a-n=1an,a-mn=1nam三、对数函数及其性质三、对数函数及其性质对数函数y=logax(a0,a1)的定义域为(0,+)，值域为R R，图像过定点(1,0)它是指数函数y=ax(a0,a1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出当0a1时，y=logax为增函数四、对数的运算性质四、对数的运算性质(
2、M0,N0)(1)alogMa=M(这是定义)；(2)loga(MN)=logMa+logaN；(3)logaMN=logaM-logaN；(4)logaMn=nlogaM；(5)logab=logcblogca(a,b,c0,a,c1)(换底公式)由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)logambn=nmlogab；2)logab=1logba典型例题剖析典型例题剖析1 1已知x1是方程x+lgx=10的根，x2是方程x+10 x=10的根，求x1+x2的值2 2 已知a0，b0，log9a=log12b=log16(a+b)，求ba的值幂函数、指数函数与对数函数专题-2024年
3、高中数学竞赛讲义含答案23 3已知函数 f(x)=1x+1+log13x2-x，试解不等式 f x x-12124 4设方程lg(kx)=2lg(x+1)仅有一个实根，求k的取值范围5 5解不等式：log12(x+3x)log64x36 6已知1abc证明：logab+logbc+logcalogba+logcb+logac7 7设函数 f(x)=|lg(x+1)|，实数 a，b(a 1)，且 f lglog81000=8，则 f(lglg2)的值是()A.8B.4C.-4D.-83如果 f(x)=1-logx2+logx29-logx364，则使 f(x)0的x的取值范围为()A.0 x1B
4、.1x1D.x834若 f(x)=lg x2-2ax+a的值域为R R，则a的取值范围是()A.0a1B.0a1C.a1D.a0或a1二、填空题二、填空题5设 f(x)=log3x-4-x，则满足 f(x)0的x的取值范围是6设0a1，04，x=(sin)logasin，y=(cos)logatan，则x与y的大小关系为7设 f(x)=12x+5+lg1-x1+x，则不等式 f x x-120,a1)的反函数是y=f-1(x)，而且函数y=g(x)的图像与函数y=f-1(x)的图像关于点(a,0)对称(1)求函数y=g(x)的解析式；(2)若函数F(x)=f-1(x)-g(-x)在xa+2,a
5、+3上有意义，求a的取值范围10设 f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a)，其中a0且a1若在区间a+3,a+4上 f(x)1恒成立，求a的取值范围611解方程组xx+y=y12yx+y=x3，(其中 x,yR R*12已知 f(x)=lg(x+1)-12log3x(1)解方程 f(x)=0；(2)求集合M=n f n2-214n-19980,nZ Z的子集个数713已知a0，a1，试求使得方程loga(x-ak)=logax2-a2有解的k的取值范围14已知0.301029lg20.301030，0.477120lg30.477121，求20001979的首位数字815已知3a
6、+13b=17a，5a+7b=11b，试判断实数a与b的大小关系，并证明之16解不等式log2x12+3x10+5x8+3x6+10,a1)的函数叫作指数函数，其定义域为R R，值域为(0,+)当0a1时，y=ax为增函数，它的图像恒过定点(0,1)二、分数指数幂二、分数指数幂a1n=na,amn=nam,a-n=1an,a-mn=1nam三、对数函数及其性质三、对数函数及其性质对数函数y=logax(a0,a1)的定义域为(0,+)，值域为R R，图像过定点(1,0)它是指数函数y=ax(a0,a1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出当0a1时，y=logax为增函数四、对数的运算性
7、质四、对数的运算性质(M0,N0)(1)alogMa=M(这是定义)；(2)loga(MN)=logMa+logaN；(3)logaMN=logaM-logaN；(4)logaMn=nlogaM；(5)logab=logcblogca(a,b,c0,a,c1)(换底公式)由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)logambn=nmlogab；2)logab=1logba典型例题剖析典型例题剖析1 1已知x1是方程x+lgx=10的根，x2是方程x+10 x=10的根，求x1+x2的值【解法解法1 1】由题意得lgx1=10-x110 x2=10-x2，表明x1是函数y=lgx与y=1
8、0-x的交点的横坐标，x2是函数y=10 x与y=10-x的交点的横坐标因为y=lgx与y=10 x互为反函数，其图像关于y=x对称，由y=10-xy=x 得，x=5y=5，所以x1+x22=5，所以x1+x2=10【解法解法2 2】构造函数 f(x)=x+lgx，由x1+lgx1=10知 f x1=10，x2+10 x2=10即10 x2+lg10 x2=10，则f 10 x2=10，于是 f x1=f 10 x2，又 f(x)为(0,+)上的增函数，故x1=10 x2，x1+x2=10 x2+x2=10【解法解法3 3】由题意得x1=1010-x110-x2=10 x2，两式相减有x1+x
9、2-10=1010-x1-10 x2若x1+x2-100，则1010-x1-10 x20，得10-x1x2，矛盾；若x1+x2-100，则1010-x1-10 x20，得10-x10，b0，log9a=log12b=log16(a+b)，求ba的值2【解法解法1 1】设log9a=log12b=log16(a+b)=k，则a=9k，b=12k，a+b=16k由于9k16k=12k2故(a+b)a=b2，解得：ba=1+52(负根舍去)【解法解法2 2】设log9a=log12b=log16(a+b)=k，则a=9k，b=12k，a+b=16kba=12k9k=43k，而9k+12k=16k，故
10、1+12k9k=16k9k，即43k2-43k-1=0，故ba=43k=1+52(负根舍去)【评注评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理3 3已知函数 f(x)=1x+1+log13x2-x，试解不等式 f x x-1212【分析分析】本题为分式不等式与对数不等式混合初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键【解解】易证函数y=f(x)在其定义域(0,2)内是单调减函数并且 f(1)=12，所以原不等式即为f x x-12 f(1)等价于x x-1210 x x-122x12x1+174 或1-174x0 x+10
11、x2+(2-k)x+1=0 时原方程仅有一个实根，对方程使用求根公式，得x1,x2=12k-2k2-4k=k2-4k0k0或k4当k0时，由方程，得x1+x2=k-20,所以x1，x2同为负根又由方程程知x1+10,x2+14时，由方程，得x1+x2=k-20,x1x2=10.所以x1，x2同为正根，且x1x2，不合题意，舍去综上所述可得k0 x+10 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k0时，k=x+1x+2在x0范围内有唯一实数根，则有k=4；(2)当k0时，k=x+1x+2在-1x0范围内有唯一实数根，则有k0综上可得klog64x【分析分析】若考虑到去根号，可设x=y6
12、(y0)，原不等式变为log12y3+y2log6446=log2y，即2log12y+log2(y+1)log2y，陷入困境原不等式即6log12(x+3x)log2x2log12x+log121+x166log2x，设t=log2x，则log12x=1logx12=12logx2+logx3，同样陷入困境下面用整体代换y=log64x【解解】设y=log64x，则x=64y，代人原不等式，有log128y+4yy，8y+4y12y，23y+13y1，由指数函数的单调性知y=log64x1，则0 x64故原不等式的解集为(0,64)6 6已知1abc证明：logab+logbc+logcal
13、ogba+logcb+logac【证法1 1】注意到 logab+logbc+logca-logba+logcb+logac=lnblna+lnclnb+lnalnc-lnalnb+lnblnc+lnclna=ln2blnc+ln2clna+ln2alnb-ln2blna+ln2clnb+ln2alnclnalnblnc=-(lna-lnb)(lnb-lnc)(lnc-lna)lnalnblnc【证法证法2 2】设logba=x，logcb=y，则logac=1xy，于是原不等式等价于x+y+1xy1x+1y+xy，即x2y+xy2+1y+x+x2y2，即xy(x+y)-(x+y)+1-x2y
14、20，也即(x+y-1-xy)(xy-1)0也即(x-1)(y-1)(xy-1)0，由1abc知x1,y1，所以(x-1)(y-1)(xy-1)0，得证因为10，(lna-lnb)(lnb-lnc)(lnc-lna)0所以logab+logbc+logca-logba+logcb+logac0即logab+logbc+logcalogba+logcb+logac【评注评注】若令x=lna，y=lnb，z=lnc则原不等式等价于：设0 xyz，求证：x2y+y2z+z2xxy2+yz2+zx27 7设函数 f(x)=|lg(x+1)|，实数 a，b(a b)满足 f(a)=f-b+1b+2，f(
15、10a+6b+21)=4lg2，求 a、b 的值【分析分析】利用已知条件构建关于a、b的二元方程组进行求解【解解】因为 f(a)=f-b+1b+2，所以|lg(a+1)|=lg-b+1b+2+1=lg1b+2=|lg(b+2)|所以，a+1=b+2或(a+1)(b+2)=1，又因为ab，所以a+1b+2，所以(a+1)(b+2)=1又由于0a+1b+1b+2，于是0a+111，4从而f(10a+6b+21)=lg 6(b+2)+10b+2=lg 6(b+2)+10b+2，又 f(10a+6b+21)=4lg2，所以lg 6(b+2)+10b+2=4lg2，故6(b+2)+10b+2=16解得b
16、=-13或b=-1(舍去)把b=-13代故(a+1)(b+2)=1，解得a=-25所以，a=-25,b=-13同步训练同步训练一、选择题一、选择题1已知a、b是方程log3x3+log27(3x)=-43的两个根，则a+b=()A.1027B.481C.1081D.2881【答案答案】C【解析解析】原方程变形为log33log3(3x)+log3(3x)log327=-43，即11+log3x+1+log3x3=-43令1+log3x=t，则1t+t3=-43，解得t1=-1,t2=-3所以1+log3x=-1或1+log3x=-3，方程的两根分别为19和181，所以a+b=1081故选C2已
17、知函数 f(x)=1ax-1+12x2+bx+6(a,b为常数，a1)，且 f lglog81000=8，则 f(lglg2)的值是()A.8B.4C.-4D.-8【答案答案】B【解析解析】由已知可得f lglog81000=f lg33lg2=f(-lglg2)=8，又1a-x-1+12=ax1-ax+12=-1+11-ax+12=-1ax-1-12，令F(x)=f(x)-6，则有F(-x)=-F(x)从而有f(-lglg2)=F(-lglg2)+6=-F(lglg2)+6=8，即知F(lglg2)=-2，f(lglg2)=F(lglg2)+6=43如果 f(x)=1-logx2+logx2
18、9-logx364，则使 f(x)0的x的取值范围为()A.0 x1B.1x1D.x83【答案答案】B【解析解析】显然x0，且x15f(x)=1-logx2+logx29-logx364=1-logx2+logx3-logx4=logx38x要使 f(x)1时，38x1，即1x83；当0 x1，此时无解由此可得，使得 f(x)0的x的取值范围为1x83应选B4若 f(x)=lg x2-2ax+a的值域为R R，则a的取值范围是()A.0a1B.0a1C.a1D.a0或a1【答案答案】D【解析解析】由题目条件可知，(0,+)y|y=x2-2ax+a，故=(-2a)2-4a0，解得a0或a1选D二
19、、填空题二、填空题5设 f(x)=log3x-4-x，则满足 f(x)0的x的取值范围是【答案答案】3,4【解析解析】定义域(0,4在定义域内 f(x)单调递增，且 f(3)=0故 f(x)0的x的取值范围为3,46设0a1，04，x=(sin)logasin，y=(cos)logatan，则x与y的大小关系为【答案答案】xy【解析解析】根据条件知，0 sin cos 1，0 sin tan 1，因为 0 a logatan0，于是x=(sin)logasin(sin)logatan(cos)logatan=y.7设 f(x)=12x+5+lg1-x1+x，则不等式 f x x-1215的解集
20、为【答案答案】1-174,012,1+174【解析解析】原不等式即为 f x x-12 f(0)因为 f(x)的定义域为(-1,1)，且 f(x)为减函数所以-1x x-120.解得x1-174,012,1+1748设 f(x)=11+2lgx+11+4lgx+11+8lgx，则 f(x)+f1x=【答案答案】3【解析解析】f(x)+f1x=11+2lgx+11+4lgx+11+8lgx+11+2-lgx+11+4-lgx+11+8-lgx=3三、解答题三、解答题9已知函数 f(x)=ax+3a(a0,a1)的反函数是y=f-1(x)，而且函数y=g(x)的图像与函数y=f-1(x)的图像关于
21、点(a,0)对称(1)求函数y=g(x)的解析式；(2)若函数F(x)=f-1(x)-g(-x)在xa+2,a+3上有意义，求a的取值范围【解析解析】(1)由 f(x)=ax+3a(a0,a1)，得 f-1(x)=loga(x-3a)又函数y=g(x)的图像与函数y=f-16(x)的图像关于点(a,0)对称，则 g(a+x)=-f-1(a-x)，于是，g(x)=-f-1(2a-x)=-loga(-x-a)，(x0,x-a0.又a0，故x3a由题设F(x)在xa+2,a+3上有意义，所以 a+23a，即a1于是，0a0且a1若在区间a+3,a+4上 f(x)1恒成立，求a的取值范围【解析解析】f
22、(x)=logax2-5ax+6a2=logax-5a22-a24由x-2a0 x-3a0,得 x 3a，由题意知 a+3 3a，故 a 0，故函数g(x)=x-5a22-a24在区间a+3,a+4上单调递增若0a1，则 f(x)在区间a+3,a+4上单调递减，所以 f(x)在区间a+3，a+4上的最大值为 f(a+3)=loga2a2-9a+9在区间 a+3,a+4 上不等式 f(x)1 恒成立，等价于不等式 logloga2a2-9a+9 1 恒成立，从而 2a2-9a+9a，解得a5+72或a5-72结合0a1，得0a1若1a32，所以不符合综上所述，a的取值范围为(0,1)11解方程组
23、xx+y=y12yx+y=x3，(其中 x,yR R*【解析解析】两边取对数，则原方程组可化为(x+y)lgx=12lgy(x+y)lgy=3lgx 把式代入式，得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0由lgx=0，得x=1；代入式，得y=1由(x+y)2-36=0 x,yR R*得x+y=6代入式得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0又 y 0，所以 y=2,x=4所以方程组的解为x1=1y1=1，x2=4y2=2 12已知 f(x)=lg(x+1)-12log3x(1)解方程 f(x)=0；(2)求集合M=n f n2-214n-19980,n
24、Z Z的子集个数【解析解析】(1)任取0 x1x1x2，所以lgx1+1x2+1lgx1x2故f x1-f x2=lgx1+1x2+1-log9x1x2lgx1x2-lgx1x2lg9，因为0lg91，lgx1x2lgx1x2-lgx1x2=0，f(x)为(0,+)上的减函数，注意到 f(9)=0，当x9时，f(x)f(9)=0；当x f(9)=0，所以 f(x)=0有且仅有一个根x=9(2)由 f n2-214n-19980 f n2-214n-1998 f(9)所以n2-214n-19989n2-214n-19980 n2-214n-20070n2-214n-19980(n-223)(n+
25、9)0(n-107)21998+1072=134471152-9n223n222或n0，a1，试求使得方程loga(x-ak)=logax2-a2有解的k的取值范围【解析解析】由对数性质知，原方程的解x应满足(x-ak)2=x2-a2x-ak0 x2-a20(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x-ak)2=x2-a2x-ak0.由式(1)可得2kx=a 1+k2(4)当k=0时，式(4)无解；当k0时，式(4)的解是x=a 1+k22k，代人式(2)，得1+k22kk若k1，所以k0，则k21，所以0k1综上所述，当k(-,-1)(0,1)时，原方程有
26、解14已知0.301029lg20.301030，0.477120lg30.477121，求20001979的首位数字【解析解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)所以6532.736391lg200019796532.73837故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970lg50.6989710.778149lg60.778151 lg50.7363910.738371猜想ab下面用反证法证明：若ab，则13a13b,5a5b，所以817a=3a+13b3a+13a,11b=5a+7b5b+7b，即317a
27、+1317a1,511b+711b1，而函数 f(x)=317x+1317x和g(x)=511x+711x在R R上均为减函数，且f(1)=317+1317=16171g(b)所以a1这与ab矛盾，故ab16解不等式log2x12+3x10+5x8+3x6+11+log2x4+1【解析解析】原不等式等价于log2x12+3x10+5x8+3x6+1log22x4+2由于y=log2x为单调递增函数，于是x12+3x10+5x8+3x6+1x6+3x4+3x2+1+2x4+2=x2+13+2 x2+1构造函数g(t)=t3+2t，则上述不等式转化为g1x2g x2+1.显然g(t)=t3+2t在R R上为增函数于是以上不等式等价于1x2x2+1，即 x22+x2-10，解得x25-12故原不等式的解集为-5-12,5-12