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1、统考版2024届高考数学一轮复习第九章9.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理含解析20230423120第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【知识重温】一、必记4个知识点1直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系dr_；dr_；dr_.2圆的切线方程若圆的方程为x2y2r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2y2r2相切的切线方程为_.3直线与圆相交直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2_，即l2，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式4两圆位置关系的判断两圆(xa1)2(
2、yb1)2r(r0)，(xa2)2(yb2)2r(r20)的圆心距为d，则(1)dr1r2两圆_；(2)dr1r2两圆_；(3)|r1r2|dr1r2(r1r2)两圆_；(4)d|r1r2|(r1r2)两圆_；(5)0d|r1r2|(r1r2)两圆_.二、必明2个易误点1对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形2两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如
3、果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有2条()二、教材改编2若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1,3C3,1 D(，31，)3圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C外切 D相离三、易错易混4已知圆C：x2y29，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为_5若直线过点P且被圆x2y225截得的弦长是8，则该直线的方程为_四、走进高考62020天津卷已知直线xy80和圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点若|AB|6，则r的值
4、为_直线与圆的位置关系自主练透型12021山东新泰一中月考直线axbyab0(a2b20)与圆x2y220的位置关系为()A相离B相切C相交或相切 D相交22021大连市双基测试圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_悟技法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的切线与弦长问题互动讲练型考向一：直线与圆的相切问题例12020浙江卷已知直线ykxb(k0)与圆x2y21和圆(x4)2y2
5、1均相切，则k_，b_.考向二：与圆有关的弦长问题例22021遵义航天高级中学月考直线l：xay2被圆x2y24所截得的弦长为2，则直线l的斜率为()A. BC. D悟技法1.求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为yy0；若k0，则结合图形可直接写出切线方程为xx0；若k存在且k0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方
6、程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出3.求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，则|AB|2.(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在).变式练(着眼于举一反三)12021安徽皖东四校联考若直线l：4xay10与圆C：(x2)2(y2)24相切，则实数a的值为()A. B.C.或1 D.或12.2021湖北八校
7、联考已知圆C的圆心在y轴上，点M(3,0)在圆C上，且直线2xy10经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是()Ax2(y3)218 Bx2(y3)218Cx2(y4)225 Dx2(y4)225考点三圆与圆的位置关系互动讲练型例3已知两圆C1: x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长悟技法1.判断两圆位置关系的方程常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法2两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线
8、段构成直角三角形，利用勾股定理求解.变式练(着眼于举一反三)32021安徽黄山五校联考已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离4若圆(x1)2y2m与圆x2y24x8y160内切，则实数m的值为()A1 B11C121 D1或121第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【知识重温】相交相切相离相交相切相离r2d22外离外切相交内切内含【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.答案：C3解析：两圆圆心为(2,0)，(2,
9、1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d0，所以r5.答案：5课堂考点突破考点一1解析：由已知得，圆的圆心为(0,0)，半径为，圆心到直线的距离为，其中(ab)22(a2b2)，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交或相切，故选C.答案：C2解析：解法一将直线方程代入圆方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是16k212(k21)0，解得k(，)解法二圆心(0,0)到直线ykx2的距离d，直线与圆没有公共点的充要条件是d1，即1，解得k(，)答案：k(，)考点二例1解析：解法一：因为直线ykxb(k0)与圆x2y21，圆(x4)2y21都相切，所以1，得k，b.解法二：
10、因为直线ykxb(k0)与圆x2y21，圆(x4)2y21都相切，所以直线ykxb必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2kb0.设直线ykxb的倾斜角为，则sin ，又k0，所以，所以ktan，b2k.答案：例2解析：圆心(0,0)到直线l：xay20的距离d，因为直线l被圆x2y24所截得的弦长为2，所以224，解得a，所以直线l的斜率为.答案：D变式练1解析：根据题意，得圆心C(2,2)到直线l：4xay10的距离d2，解得a.故选A.答案：A2解析：设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为，因为直线2xy10经过线段CM的中点，所以210，解得b4，所以圆C的圆心坐标为(0,
11、4)，半径r|CM|5，所以圆C的标准方程是x2(y4)225，故选C.答案：C考点三例3解析：(1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|dr1r2，圆C1和C2相交(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x3y230，两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.圆心C2(5,6)到直线4x3y230的距离3，故公共弦长为22.变式练3解析：将圆M的方程化为x2(ya)2a2，则圆心M(0，a)，半径r1a.M到直线xy0的距离d，则22a2，得a2，故M(0,2)
12、，r12.又圆N的圆心N(1,1)，半径r21，所以|MN|，而|r1r2|MN|b0)上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2b2c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则ac|PF|ac.二、必明3个易误点1椭圆的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件，当2a|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2ab0)3注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，则
13、|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(6)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()二、教材改编2已知椭圆1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于()A
14、8B7C6D53过点A(3，2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1三、易错易混4若方程1表示椭圆，则m的取值范围是()A(3,5) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)5已知椭圆1(m0)的离心率e，则m的值为_四、走进高考62019全国卷已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1椭圆的定义及其标准方程自主练透型12021安徽省示范高中名校高三联考已知椭圆C：1(ab0)，F1，F2为其左、右焦点，|F1F2|2
15、，B为短轴的一个端点，三角形BF1O(O为坐标原点)的面积为，则椭圆的长轴长为()A4 B8C. D122021大同市高三学情调研测试试题在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中点为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为()A.1 B.1C.1 D.132021深圳市普通高中高三年级统一考试已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x21上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为()A2 B4C8 D16悟技法求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方
16、程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)考点二椭圆的几何性质分层深化型考向一：求离心率的值例12021长沙市高三年级统一模拟考试设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0tb)，已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.考向二：求离心率的范围例2已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)，P是椭圆上一点，|PF2|F1F2|2
17、c，若PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.悟技法求椭圆离心率的三种方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.考向三：最值(或范围)问题例3已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_悟技法求解最值、取值范
18、围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2BAP，则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.拓展练(着眼于迁移应用)42021湖南长沙一中月考已知椭圆1(abc0)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的一条切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是_考点三直线与椭圆
19、的位置关系互动讲练型例42020全国卷已知椭圆C：1(0m0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0)，把点A(3，2)代入得1，解得10或2(舍去)，故所求椭圆的方程为1.答案：A4解析：由方程表示椭圆知解得3m0)，则|AF2|2x，|AB|3x，|BF1|3x，|AF1|4a(|AB|BF1|)4a6x，由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a4x，所以|AF1|2x.在BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2|F2B|2|F1F2|22|F2B|F1F2|cosBF2F1，即9x2x2224xcosBF2F1，在AF1F2中，由余弦定理得|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF
20、2|F1F2|cosAF2F1，即4x24x2228xcosAF2F1，由得x，所以2a4x2，a，b2a2c22.故椭圆的方程为1.故选B.答案：B课堂考点突破考点一1解析：由题意可知c，SBF1Obcb，b，所以a4，所以长轴长为2a8，故选B.答案：B2解析：设椭圆的方程为1(ab0)，由e21，得a22b2，根据椭圆的定义可知ABF2的周长为4a，所以4a16，即a4，a216，b28，则椭圆的标准方程为1.答案：D3解析：由x21可知a2，b1，c，不妨令F1(0，)，F2(0，)，则|MF2|MN|NF2|，而|MF1|MN|，所以当N，M，F2三点共线时(M在线段NF2上)，|N
21、F2|取得最大值，此时|NF2|NM|MF2|MF1|MF2|2a4，选B.答案：B考点二例1解析：如图，连接PF1，EF1，则|EF1|EF2|.由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a，|PF2|2a|PF1|.PEF2的周长为|PE|PF2|EF2|PE|2a|PF1|EF2|2a|EF2|PE|PF1|2a|EF2|EF1|2a3b，椭圆C的离心率e，故选D.答案：D例2解析：根据题意有|PF1|2a2c，|PF2|F1F2|2c，则cosPF2F12，因为PF2F1，所以cosPF2F1，所以120.所以23e.故选D.答案：D例3解析：由椭圆的方程可知a2，由椭圆的定义可知，|AF2|
22、BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由椭圆的性质可知3.所以b23，即b.答案：同类练1解析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x，y)，则yx，由|AB|2c，可知|OA|c(O为坐标原点)，即c，解得xc，所以A，把点A坐标代入椭圆方程得1，又a2b2c2，整理得，8e418e290，即(4e23)(2e23)0，又0e1，所以e.答案：变式练2解析：椭圆1的长轴在x轴上，解得6mc)，|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为.依题意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac
23、3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.由，得e0)的距离_为非零常数2a(2a0，c0.()当_时，M点的轨迹是双曲线；()当_时，M点的轨迹是两条射线；()当_时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围_yR_xR对称性对称轴：_对称中心：_对称轴：_对称中心：_顶点顶点坐标：A1_，A2_顶点坐标：A1_，A2_渐近线_离心率e_，e(1，)其中c_实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|_；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|_；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线
24、的虚半轴长a、b、c关系c2_(ca0，cb0)3.双曲线中的4个常用结论(1)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为.(3)渐近线与离心率1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为.(4)若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|ca.二、必明4个易误点1双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|则轨迹不存在2双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a0，b0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同若ab0，则双曲线的离心率e(1，)；若ab0，则双曲线的离心率e；若0a.3
25、注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.4易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为，当焦点在y轴上，渐近线斜率为.【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，
26、e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()二、教材改编2若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.B5C. D23经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_三、易错易混4P是双曲线1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|9，则|PF2|_.5坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为_四、走进高考62020江苏卷在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率是_双曲线的定义及其标准方程互动讲练型考向一：双曲线的定义及应用例1
27、(1)2021河南非凡联盟联考已知双曲线C：1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x3y0垂直，点M在C上，且|MF2|6，则|MF1|()A2或14 B2C14 D2或10(2)2020全国卷设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1PF2P.若PF1F2的面积为4，则a()A1 B2C4 D8悟技法双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系注
28、意在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.考向二：双曲线的方程例22020天津卷设双曲线C的方程为1(a0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.1 Bx21C.y21 Dx2y21悟技法求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点
29、位置确定c的值.变式练(着眼于举一反三)1已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.22021太原市高三年级模拟试题已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线的方程为_考点二双曲线的几何性质分层深化型考向一：双曲线的离心率例32020全国卷已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_考向二：双曲线的渐近线例42021合肥市高三教学质量检测已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线C左支上的一个动点，若BPF周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C的渐近线方程为_悟技法1.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解2求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线1(a0，b0)的渐近线的方法是令0，即得两渐近线方程0.同类练(着眼于触类旁通)32021河南南阳