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1、统考版2024届高考数学一轮复习第九章9.1直线的倾斜角与斜率直线的方程学案理含解析20230423117第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【知识重温】一、必记2个知识点1直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_与直线l_之间所成的_叫做直线的倾斜角当直线和x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此，直线倾斜角的取值范围是_.(2)斜率的定义倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，常用k表示，即_.倾斜角是90的直线，斜率k不存在(3)斜率公式当直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，l的斜率k_.(4)直
2、线的方向向量经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的方向向量的坐标可记为_，当直线的斜率k存在时，方向向量的坐标可记为_.2直线方程的几种基本形式名称方程适用范围斜截式_不能表示垂直于x轴的直线点斜式_不能表示垂直于x轴的直线两点式_不能表示垂直于坐标轴的直线截距式_不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线一般式_能表示平面上任何直线二、必明4个易误点1利用两点式计算斜率时易忽视x1x2时斜率k不存在的情况2用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误3直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式4由一般式AxByC0确定
3、斜率k时易忽视判断B是否为0，当B0时，k不存在；当B0时，k.【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是45.()(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()二、教材改编2若过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1B4C1或3
4、D1或43已知ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A2xy120 B2xy120C2xy80 D2xy80三、易错易混4直线xya0(a为常数)的倾斜角是()A30 B60C120 D1505倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy106经过两点M(1，2)，N(3,4)的直线方程为_直线的倾斜角与斜率自主练透型12021河北衡水模拟过不重合的A(m22，m23)，B(3mm2,2m)两点的直线l的倾斜角为45，则m的值为()A1B2C1或2 D1或22
5、直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.3若直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是_悟技法1.斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率(90)(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率2斜率取值范围的三种求法(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定(2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化为线线、线面的位置关系，构造不等式求范围(3)利用斜率关于倾斜角的
6、函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.考点二直线的方程互动讲练型例1根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.悟技法求直线方程的关注点在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.变式练(着眼于举一反三)1求适合下列条件的直线方程(1)过点A(1，3)，斜率是直线y3
7、x的斜率的倍；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等考点三直线方程的综合应用分层深化型考向一：由直线方程求参数问题例2若直线x2yb0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A2,2 B(，22，)C2,0)(0,2 D(，)考向二：与直线方程有关的最值问题例3直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求l的方程悟技法直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立
8、目标函数，再利用基本不等式求解最值.变式练(着眼于举一反三)2在本例3条件下，若|PA|PB|最小，求l的方程第九章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【知识重温】正向向上方向最小正角0180正切值ktan (其中x1x2)(x2x1，y2y1)(1，k)ykxbyy0k(xx0)1AxByC0(A2B20)【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：由题意得1，解得m1.故选A.答案：A3解析：由中点坐标公式得M(2,4)，N(3,2)，则kMN2，MN所在直线的方程为：y22(x3)，即2xy80.故选C.答案：C4解析：由直线方程得yxa，所以斜率k，设倾斜角为.所
9、以tan ，又因为0180，所以60.故选B.答案：B5解析：直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1，即xy10.故选D.答案：D6解析：经过两点M(1，2)，N(3,4)的直线方程为，即3x2y10.答案：3x2y10课堂考点突破考点一1解析：过A(m22，m23)，B(3mm2,2m)两点的直线l的斜率k.直线l的倾斜角为45，k1，解得m1或m2.当m1时，A、B重合，故舍去，m2.故选B.答案：B2解析：直线的斜率k，1k0，则倾斜角的范围是.故选B.答案：B3解析：设直线l的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，在x轴上的截距为1.令313，解得k.答案：(，1)考点二
10、例1解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0)ktan ，故所求直线方程为y(x4)，即x3y40或x3y40.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.变式练1解析：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(2)由题意，所求直线的斜率k存在且k0，设直线方程为y2k(x3)，令y0，得x3，令x0，得y23k，由已知323k，解得k1或k，直线l的方程为y2(x3)或y2(x3)，即xy50
11、或2x3y0.考点三例2解析：令x0，得y，令y0，得xb，所以所求的三角形面积为|b|b2，且b0，因为b21，所以b24，所以b的取值范围是2,0)(0,2故选C.答案：C例3解析：解法一依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0)令y0，可得A；令x0，可得B(0,4k)|OA|OB|(4k)55549.当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时l的方程为2xy60.解法二依题意，l的截距都存在，且不为0，设l的方程为1过P(1,4)，1，|OA|OB|ab(ab)5529，当且仅当a3，b6时，取最小值这时l的方程为2xy60
12、.变式练2解析：|PA|PB| (1k2)48.(k0)当且仅当k且k0这一成立条件【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()二、教材改编2过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)243ABC的三个顶点分别为A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，则其外接圆的方程为_三、易错易混4若方程x2y2mx2y30表示圆，则m
13、的取值范围是()A(，)(，)B(，2)(2，)C(，)(，)D(，2)(2，)5若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1 B0a1或a0，解得m2.答案：B5解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1a)2(1a)24，即1a1，故选A.答案：A6解析：由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离d1，解得a，故选A.答案：A课堂考点突破考点一1解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2y21.答案：A2解析：因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆与y轴相
14、切，所以半径r2，设圆心坐标为(2，b)，则(21)2b24，b23，b，选D.答案：D3解析：由题意设圆心坐标为(a，a)，则有，即|a|a2|，解得a1.故圆心坐标为(1，1)，半径r，所以圆C的标准方程为(x1)2(y1)22.故选B.答案：B考点二例1解析：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.答案：例2解析：(1)由已知可得线段AB是圆x2y21的直径，且|AB|2，APB90.|PA|2|PB|2|AB
15、|24，由基本不等式可得22，当且仅当|PA|PB|时取等号，|PA|PB|2.即|PA|PB|的最大值是2.(2)由题意知P(2x，y)，P(2x，y)，所以PPx2y24.由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以PP(y3)21y246y12.由圆的方程x2(y3)21知2y4，所以当y4时，PP的值最大，最大值为12.答案：(1)B(2)12变式练1解析：x2y22y0可化为x2(y1)21，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时ABP的面积最小，直线AB的方程为1，即3x4y
16、120，圆心C到直线AB的距离d，又|AB|5，所以ABP的面积的最小值为5.答案：B2解析：由题意，得表示过点A(0，1)和圆(x2)2(y1)21上的动点(x，y)的直线的斜率当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值设切线方程为ykx1，即kxy10，则1，解得k，所以zmax，zmin.答案：考点三例3解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接O
17、N(图略)，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.变式练3解析：(1)设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1)悟技法变式练(着眼于举一反三)3已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程