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1、2024版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第5节一元二次不等式及其解法学案含解析新人教B版202305182137第5节一元二次不等式及其解法一、教材概念结论性质重现1一元二次不等式一般地，形如ax2bxc0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a0.一元二次不等式中的不等号也可以是“0或(xa)(xb)0型不等式的解集不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(0对任意实数x恒成立或不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)不等式0的解集为1,2
2、()(2)若不等式ax2bxc0.()(3)若方程ax2bxc0(a0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0的解集为，则ab_.14解析：由题意知x1，x2是方程ax2bx20的两个根，则解得(经检验知满足题意)所以ab14.考点1一元二次不等式的解法综合性考向1不含参数的一元二次不等式的解法(1)函数y的定义域是_1,7解析：要使函数有意义，需76xx20，即x26x70，解得1x7.故所求函数的定义域为1,7(2)解不等式：0x2x24.解：原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3解一元二次不等式的一般方法和步骤考向2含参数的一元二
3、次不等式的解法解不等式x2(a1)xa0.解：原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a,1)将本例中不等式改为ax2(a1)x10)，求不等式的解集解：原不等式可化为(ax1)(x1)0，所以a(x1)1时，解得x1；当a1时，解集为；当0a1时，解得1x.综上，当0a1时，不等式的解集为.解含参数一元二次不等式的分类讨论依据提醒：含参数讨论问题最后要综上所述1(2019天津卷)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_解析：3x2x20变形为(x1)(3x2)0，解得1x，故使不等式成立的x的取值范围为
4、.2(2021江淮十校联考)已知函数f(x)则不等式x2f(x)x20的解集是_x|1x1解析：原不等式等价于或即或所以1xa2.解：因为12x2axa2，所以12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，0，不等式的解集为x|x0；当a，不等式的解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|x0；当a0的解集为，则不等式bx25xa0的解集为()ABCx|3x2Dx|x2C解析：由题意知a0，且，是方程ax25xb0的两根，所以解得所以不等式bx25xa5x25x300，即x2x60，解得3x0的解集是，则不等式x
5、2bxa0的解集是()Ax|2x0的解集是，所以ax2bx10的解是x1和x2，且a0，所以解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.所以不等式x2bxa0的解集是x|x2或x33若关于x的不等式axb0的解集是()A(，1)(3，) B(1, 3)C(1,3) D(， 1)(3，)C解析：由关于x的不等式axb0的解集是(1，)，可知ab0可化为(x1)(x3)0，解得1x3.所以不等式的解集是(1, 3)1. 一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值2给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系
6、数的关系求待定系数考点3一元二次不等式的恒成立问题应用性考向1在实数集R上的恒成立问题若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B2,2C(2,2 D(，2)C解析：当a20，即a2时，不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则即解得2a0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图像转化为等价不等式(组)求范围(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na.函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a
7、恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当xR时，x2ax3a0恒成立则a24(3a)0，即a24a120，解得6a2.所以实数a的取值范围是6,2(2)对于任意x2,2，f(x)a恒成立，即x2ax3a0对任意x2,2恒成立令g(x)x2ax3a，则有0或或解得6a2，解得a，解得7a1，故函数f(x)lnx的定义域为(1，)3若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图像可能是()B解析：A中函数的定义域不是2,2，C中图像不表示函数，D中函数的值域不是0,24已知函数f(x)，若f(a)3，则实数a
8、_.10解析：因为f(a)3，所以a19，即a10.5设f(x)若f(2)4，则a的取值范围为_(，2解析：因为f(2)4，所以2a，)，所以a2，所以a的取值范围为(，2.考点1函数的定义域基础性1(2020北京卷)函数f(x)ln x的定义域是_(0，)解析：要使函数有意义，需满足即x0，所以函数f(x)的定义域为(0，)2函数f(x)ln(x4)的定义域为_(4,1解析：要使函数f(x)有意义，需满足解得4x1，即函数f(x)的定义域为(4,13若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域为_0,1)解析：因为yf(x)的定义域为0,2，所以，要使g(x)有意义应满足解得0x
9、0，且a1)要满足f(x)0；(5)正切型tanf(x)要满足f(x)k，kZ.2求抽象函数定义域的方法考点2求函数的解析式综合性(1)已知f lg x，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式(3)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式解：(1)(换元法)令1t，得x.代入得f(t)lg.又x0，所以t1.故f(x)lg，x(1，)(2)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)由f(0)0，知c0，所以f(x)ax2bx.又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2
10、ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(3)(解方程组法)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x.2，得3f(x)2x12x，即f(x).故f(x)，xR.求函数解析式的三种方法待定系数法当函数的类型已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个关于f(x)的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过解方程组求出函数解析式1已知f ，则f(x)()A(x1)2B(x1)2Cx2x1Dx2x1C解析：f 21.令t，得f(t)t2t1
11、，即f(x)x2x1.2已知f(x)是一次函数，且f(f(x)4x3，则f(x)的解析式为_f(x)2x3或f(x)2x1解析：设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x3.所以解得或故f(x)2x3或f(x)2x1.3已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_.2x(x0)解析：2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x).联立可得解此方程组可得f(x)2x(x0)考点3分段函数应用性考向1分段函数求值(1)设f(x)则f(f(1)的值为()A2B3 C4D5B解析：因为f(x) 所以f(1)2213，所以f(f(1)f(3)log283. 故选
12、B.(2)设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.解析：当a0时，f(a)a20，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解综上可知，a.求分段函数的函数值的步骤(1)确定要求值的自变量所在区间(2)代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止提醒自变量的值不确定时，必须分类讨论；求值时注意函数奇偶性、周期性的应用；出现f(f(a)求值形式时，应由内到外或由外向内逐层求值考向2分段函数与方程、不等式(1)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1B(0，)C(1,0)D(，0)D解析：函数f(x)的图像如图所示结合图像知，要使f(x1)f(2x)，则需或所以x0.故选
13、D.(2)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a_.3解析：当a0时，由f(a)f(1)0得2a20，无实数解；当a0时，由f(a)f(1)0得a120，解得a3，满足条件求参数或自变量的值(范围)的解题思路(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可(2)如果分段函数的图像易得，也可以画出函数图像后结合图像求解1(2020天津南开中学高三月考)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)则f(f(15)的值为_解析：由f(x4)f(x)得函数f(x)的周期为4，所以f(15)f(161)f(1).因此f(f(15)f cos.2已知函数f(x)若f(a)f(a)0，则实数a的取值范围为_(，2)(2，)解析：当a0时，不等式f(a)f(a)0可化为a2a3a0，解得a2. 当a0可化为a22a0，解得a2. 综上所述，a的取值范围为(，2)(2，)3若函数yf(x)的图像上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数yf(x)的一对“和谐点对”已知函数f(x)则此函数的“和谐点对”有_对2解析：由题意可知，f(x)的“和谐点对”数可转化为yex(x0)和yx24x(x0)的图像的交点个数由图像知，函数f(x)有2对“和谐点对”