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1、2024版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第1节任意角与蝗制及三角函数的概念学案含解析新人教B版202305182158第4章 三角函数与解三角形课程标准命题解读1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化2借助单位圆理解任意角三角函数的定义，能够利用定义推导出诱导公式3理解同角三角函数的基本关系式sin2xcos2x1，tan x.4能画出三角函数的图像，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值5了解yAsin(x)的实际意义6会推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式7能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.考查形式：一般为一个选择题或一个填空题和一个解答题考查内容
2、：三角函数的定义、图像与性质、同角三角函数基本关系、诱导公式、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理备考策略：(1)熟练应用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换公式化简、求值(2)重视对三角函数图像和性质的研究，注意将问题和方法进行归纳、整理(3)加强正弦定理、余弦定理应用方面的训练核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算.第1节任意角与弧度制及三角函数的概念一、教材概念结论性质重现1角的概念(1)分类(2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和2弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧
3、所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.(2)公式弧度与角度的换算：3602 rad,180 rad，.弧长公式：lr.扇形面积公式：S扇形lr和S扇形r2.说明：公式中的必须为弧度制有关角度与弧度的注意点角度与弧度的换算的关键是180，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3任意角的三角函数(1)定义：在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r0)一般地，称为角的正弦，记作sin ；称为角的余弦，记作cos ；称为角的正切，记作tan .(2)三角函数与单位圆：角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan ，则角
4、的终边与单位圆的交点为P(cos_，sin_)(3)三角函数值在各象限内的符号(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)小于90的角是锐角( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然( )(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等( )(4)三角形的内角必是第一、第二象限角( )2已知角的终边经过点(4，3)，则cos ()A B CDD解析：记P(4,3)，则x4，y3，r|OP|5.故cos .故选D.3已知sin A0且tan A0，所以角A为第一或第二象限角；因为tan A0，所以角A为第二或第四象限角，所以角A
5、为第二象限角4在与2 020终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_解析：2 02012，所以与2 020终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为.5已知扇形的圆心角为60，其弧长为2，则此扇形的面积为_6解析：设此扇形的半径为r.由题意得r2，所以r6.所以此扇形的面积为266.考点1象限角及终边相同的角基础性1(多选题)下列四个命题中，正确的是()A是第二象限角B是第三象限角C400是第四象限角D315是第一象限角BCD解析：是第三象限角，故A错误；，从而是第三象限角，故B正确；40036040，是第四象限角，故C正确；31536045，是第一象限角，故D正确2集合中的角所表示的范围(阴
6、影部分)是()C解析：当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边在内；当k2n1(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边在内，结合选项知选C.3设集合M，N，那么() AMNBMNCNMDMNB解析：由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN.故选B.4若角是第二象限角，则是第_象限角一或三解析：因为是第二象限角，所以2k2k，kZ，所以kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角(1)判断象限角的两种方法图像法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几
7、象限角转化法先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)确定k，(kN*)的终边位置的步骤用终边相同的角的形式表示出角的范围；写出k或的范围；根据k的可能取值确定k或的终边所在的位置考点2扇形的弧长、面积公式综合性已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)因为60，所以lR10(cm)(2)由题意得解得(舍去)或故扇
8、形的圆心角为.(3)由已知得l2R20(cm)(方法一)SlR(202R)R10RR2(R5)225.所以，当R5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l10 cm，2.(方法二)SlRl(2R)225，当且仅当l2R10，即R5时，Smax25 cm2，此时2.若本例(1)条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积解：lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin 10102(cm2)应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，也可以通过“配凑”法
9、利用均值不等式求最值1已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2Bsin 2 CD2sin 1C解析：如图，AOB2弧度，过O点作OCAB于点C，并延长OC交于点D.则AODBOD1弧度，且ACAB1.在RtAOC中，AO，即r，从而的长为lr.故选C.2若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A B C3 DD解析：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角AOB，作OMAB，垂足为M.在RtAOM中，AOr，AOM，所以AMr，ABr.所以弧长lr.所以圆心角.考点3三角函数的定义及应用应用性考向1三角函
10、数的定义(1)已知点M在角终边的反向延长线上，且|OM|2，则点M的坐标为()A(2cos ，sin )B(2cos ，2sin )C(2cos ，2sin )D(2cos ，2sin )C解析：由任意角的三角函数定义，可知角的终边上的点M的坐标为(2cos ，2sin )，其中|OM|2.因为|OM|2，所以点M和点M关于原点对称，所以点M的坐标为(2cos ，2sin )(2)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()AB CDA解析：因为角的终边过点P(8m，6sin 30)(8m，3)，cos 0，|OP|.由cos ，解得m(m0)三角函数定义的应用策略(
11、1)已知角终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程(注意分为两条射线)，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解(3)已知角的某个三角函数值，求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值考向2三角函数值的符号(1)(2020全国卷)若为第四象限角，则()Acos 20Bcos 20Dsin 20D解析：因为是第四象限角，所以2k2k，kZ，所以4k24k，kZ，所以角2的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上，所以sin 20，cos 2可正、可负、可为零故选D.(2)sin
12、 2cos 3tan 4的值()A小于0B大于0C等于0D大于等于0A解析：因为234，所以sin 20，cos 30，tan 40.所以sin 2cos 3tan 40.故选A.(3)若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C解析：由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，则为第三或第四象限角综上可知，为第三象限角(1)三角函数值符号及角的终边位置判断已知角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在
13、坐标轴上的特殊情况(2)三角函数值的符号规律一全正、二正弦、三正切、四余弦1设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan ()A B CDD解析：因为是第二象限角，所以cos x0，即x0，则实数a的取值范围是()A(2,3B(2,3)C2,3)D2,3A解析：因为cos 0，sin 0，所以角的终边在第二象限或y轴的正半轴上所以所以2a3.故选A.第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式一、教材概念结论性质重现1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(R)(2)商数关系：tan .(1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值
14、，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号(2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化(3)掌握变形公式：sin21cos2，cos21sin2，sin tan cos ，sin2，cos2.2诱导公式公式sin(k2)sin ，cos(k2)cos ，tan(k2)tan ，其中kZ公式sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 公式sincos ，cossin 公式sincos ，cossin (1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”
15、“偶”指的是“k(kZ)”中的k是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在“k(kZ)”中，将看成锐角时，“k(kZ)”的终边所在的象限(2)利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤：也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐”二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)对任意角，sin23cos231都成立( )(2)诱导公式中的角可以是任意角( )(3)若cos(n)(nZ)，则cos .( )(4)已知sin ，cos ，其中，则m5或m3.( )2若tan ，则
16、sin4cos4的值为()ABCDD解析：因为tan ，所以sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2).故选D.3已知cos 31a，则sin 239tan 149的值是()A BCDB解析：sin 239tan 149sin (27031)tan(18031)cos 31(tan 31)sin 31.4若sin ，则tan _.解析：因为，所以cos ，所以tan .5化简sin()cos(2)的结果为_sin2解析：原式(sin )cos sin2.考点1同角三角函数基本关系的应用应用性考向1知弦求切(2020福州一模)已知3sin tan 80，则tan _.2解析：因为3
17、sin tan 80，所以80，整理可得3cos28cos 30，解得cos 或cos 3(舍去)所以sin .所以tan 2.若本例的条件改为“2，”求tan 的值解：因为2，所以sin 22cos .两边平方，得sin248cos 4cos2，即1cos248cos 4cos2，整理得，5cos28cos 30，解得cos 1或cos .当cos 1时，1cos 0，无意义；当cos 时，sin ，所以tan .本例为已知sin ，cos ，tan 中的一个求另外两个的值解决此类问题时，直接套用公式sin2cos21及tan 即可，但要注意的取值范围，即三角函数值的符号考向2知切求弦已知1
18、，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin cos 2.解：由已知得tan .(1).(2)sin2sin cos 2222.利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一为正切的表达式，进行求值常见的结构：sin ，cos 的齐次式(如asin2bsin cos ccos2)；sin ，cos 的齐次分式.(2)切化弦：利用公式tan ，把式子中的正切化成正弦或余弦一般单独出现正切、余切时，采用此技巧考向3“sin cos ，sin cos ”之间的关系已知x0，sin xcos x，求sin xcos x的值解：由已知，得sin xcos x，两边平方得sin
19、2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.因为(sin xcos x)212sin xcos x，所以sin xcos x.由x0知，sin x0，又sin xcos x0.所以sin xcos x0.故sin xcos x.本例中若将条件“x0”改为“0x”，求sin xcos x的值解：因为0x0，cos x0，故sin xcos x.“sin cos ，sin cos ”关系的应用sin cos 与sin cos 通过平方关系联系到一起，即(sin cos )212sin cos ，sin cos ，sin cos .因此在解题时已知一个可求另外两个1已知(0，
20、)，cos ，则tan ()AB CDD解析：因为cos 且(0，)，所以sin ，所以tan .故选D.2已知sin xcos x，x(0，)，则tan x()A B CDD解析：因为sin xcos x，且x(0，)，所以12sin xcos x1，所以2sin xcos x0，所以x为钝角，所以sin xcos x，结合已知解得sin x，cos x，则tan x.3(2020化州二模)已知曲线f(x)x3在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则的值为_解析：由f(x)x3得f(x)2x2，所以f(1)2，故tan 2.所以.考点2诱导公式的应用基础性(1)(多选题)在ABC中，下列关系
21、恒成立的是()Atan(AB)tan C Bcos(2A2B)cos 2CCsinsin DsincosBD解析：对于A，由于tan(AB)tan(C)tan C，故A错误；对于B，由于cos(2A2B)cos 2(C)cos 2C，故B正确；对于C，sinsincos，故C错误，D正确(2)已知cosa，则cossin的值是_0解析：因为coscoscosa，sinsin cosa，所以cossin0.(1)利用诱导公式解题的一般思路化绝对值大的角为锐角；角中含有的整数倍时，用公式去掉的整数倍(2)常见的互余和互补的角互余的角与；与；与互补的角与；与提醒：对给定的式子进行化简或求值时，要注意
22、给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错1已知sin()，则tan()A2B2 CD2D解析：因为sin()，所以sin ，cos ，所以tan2.故选D.2(2020北京卷)已知，R，则“存在kZ使得k(1)k”是“sin sin ”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件C解析：当存在kZ使得k(1)k时，若k为偶数，则sin sin(k)sin ；若k为奇数，则sin sin(k)sin(k1)sin()sin ，充分性成立；当sin sin 时，
23、2n或2n，nZ，即k(1)k(k2n)或k(1)k(k2n1)，亦即存在kZ使得k(1)k，必要性成立所以，“存在kZ使得k(1)k”是“sin sin ”的充要条件故选C.已知3cos x4sin x5，求tan x的值四字程序读想算思求tan x的值1.同角的正弦、余弦和正切有什么关系？23cos x4sin x的最大值是多少？3由已知条件联想点A(cos x，sin x)在哪条直线上1.求sin x和cos x；2辅助角公式1.方程思想；2数形结合；3转化与化归3cos x4sin x51.sin2xcos2x1，tan x；23cos x4sin x的最大值为5；3点A(cos x，
24、sin x)在直线3x4y5上1.联立3cos x4sin x5与sin2xcos2x1；23cos x4sin x5sin(x)1.tan x可看作直线的斜率；2将已知条件变为cos xsin x1思路参考：解方程组解：由消去cos x，整理得(5sin x4)20.解得sin x，cos x.故tan x.思路参考：注意到3cos x4sin x的最大值为5，利用辅助角公式推出x与辅助角的关系解：3cos x4sin x55sin(x)5，其中cos ，sin .所以tan .所以x2k(kZ)于是tan xtan.思路参考：令tan xt，借助已知条件用t表示sin x和cos x.解：
25、令tan xt，即tcos xsin x，代入3cos x4sin x5，得3cos x4tcos x5，所以cos x，sin x.再代入sin2xcos2x1，得221，解得t，即tan x.思路参考：设P(m，n)为角x终边上任意一点，r，利用三角函数的定义解：设P(m，n)为角x终边上任意一点，点P到原点O的距离为r，则r.把sin x，cos x代入已知等式得345.即(3m4n)2(5r)225(m2n2)整理得(4m3n)20，所以4m3n.显然m0，故tan x.思路参考：设点A(cos x，sin x)是直线3x4y5与单位圆x2y21的切点，而tan xkOA.解：由3co
26、s x4sin x5可知点A(cos x，sin x)在直线3x4y5上，同时也在单位圆x2y21上，所以点A为直线3x4y5与单位圆的切点由于直线3x4y5的斜率为，所以OA的斜率为，即tan x.思路参考：m(cos x，sin x)，n，证明mn.解：因为cos xsin x1，不妨令m(cos x，sin x)，n，可知|m|1，|n|1.所以m，n均为单位向量，且mn1.由|m|n|mn|，等号成立的条件为mn，则有cos xsin x，即tan x.1基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握运算求解能力，转化与化归的能力，体现数学运算的核心素养2基于高考数学评价体系，本题的多种解法中涉及同角三角函数基本关系式、方程、辅助角公式、直线与圆、向量等知识，渗透着函数与方程、等价转换、数形结合等思想方法，对提升思维的灵活性起到了积极的作用已知是第一象限角，若sin 2cos ，求sin cos 的值解：因为sin 2cos ，所以sin 2cos .所以2cos21.所以5cos2cos 0，即0.又因为为第一象限角，所以cos ，所以sin ，所以sin cos .