《2024版新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第1课时导数与函数的单调性学案含解析新人教B版202305182151.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024版新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第1课时导数与函数的单调性学案含解析新人教B版202305182151.doc（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2024版新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第1课时导数与函数的单调性学案含解析新人教B版202305182151第2节导数的应用第1课时导数与函数的单调性一、教材概念结论性质重现导数与函数的单调性的关系条件结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)内单调递增f(x)0在区间(a，b)上成立”是“f(x)在区间(a，b)上单调递增”的充分不必要条件二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f(x)0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区
2、间内不具有单调性( )(3)若在区间(a，b)内f(x)0且f(x)0的根为有限个，则f(x)在区间(a，b)内是减函数( )2已知函数f(x)的导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的图像可能是()A B C DC解析：由导函数f(x)的图像可知，函数yf(x)先减再增，可排除选项A，B；又f(x)0的根为正数，即yf(x)的极值点为正数，所以可排除选项D.故选C.3函数f(x)x33x1的单调递增区间是()A(1,1) B(，1)C(1，) D(，1)，(1，)D解析：f(x)3x23.由f(x)0得x1.故函数f(x)x33x1的单调递增区间是(，1)，(1，)故选D.4已知函数f
3、(x)，则()Af(2)f(e)f(3) Bf(3)f(e)f(2)Cf(3)f(2)f(e) Df(e)f(3)f(2)D解析：f(x)的定义域是(0，)因为f(x)，所以x(0，e)时，f(x)0；x(e，)时，f(x)f(3)f(2)5若函数f(x)sin xkx在(0，)上是增函数，则实数k的取值范围为_1，)解析：因为f(x)cos xk0，所以kcos x，x(0，)恒成立当x(0，)时，1cos x0，即8x0，解得x，所以函数y4x2的单调递增区间为.故选B.2函数f(x)3xln x的单调递减区间是()A. B.C. D.B解析：因为函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)
4、ln xxln x1.令f(x)0，解得0x，所以f(x)的单调递减区间是.3已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间为_，解析：f(x)sin xxcos xsin xxcos x令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为，.求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0，得函数f(x)的单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，则当x(，0)和时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减若a0，则f(x)在
5、(，)上单调递增若a0；当x时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上为增函数(2)当a0时，f(x)，则有：当x(0，)时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，)综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当a0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)解决含参数的函数单调性问题的注意点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点已知f(x)xexa(a0)，求函数f(x)的单调区间解：f(x)(x1)(exa)，令f(x)0，得
6、x1或xln a.(1)当a时，f(x)0恒成立，所以f(x)在R上单调递增(2)当0a时，ln a0，得x1，由f(x)0，得ln ax时，ln a1，由f(x)0，得xln a，由f(x)0，得1xln a，所以单调递增区间为(，1)，(ln a，)，单调递减区间为(1，ln a)综上所述，当a时，f(x)在R上单调递增；当0a时，f(x)的单调递增区间为(，1)，(ln a，)，单调递减区间为(1，ln a)考点3导数与函数单调性的简单应用综合性考向1利用导数解不等式若函数f(x)exexsin 2x，则满足f(2x21)f(x)0的x的取值范围是()A.B.(，1)C.D.(1，)B解
7、析：函数f(x)exexsin 2x，定义域为R，且满足f(x)exexsin(2x)(exexsin 2x)f(x)，所以f(x)为R上的奇函数又f(x)exex2cos 2x22cos 2x0恒成立，所以f(x)为R上的单调递增函数由f(2x21)f(x)0，得f(2x21)f(x)f(x)，所以2x21x，即2x2x10，解得x1或x.所以x的取值范围是(，1).故选B.利用导数解不等式的关键，是用导数判断函数的单调性，或者构造函数后使用导数同时根据奇偶性变换不等式为f(g(x)f(h(x)，利用单调性得出关于g(x)，h(x)的不等式，解此不等式得出范围考向2利用导数比较大小(多选题)
8、(2021山东新高考预测卷)定义在上的函数f(x)，已知f(x)是它的导函数，且恒有cos xf(x)sin xf(x)f B.f f Cf f D.f f CD解析：构造函数g(x)，则g(x)g，所以f f .同理，gg，即f f .故选CD.利用导数比较大小的方法利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并得到辅助函数的单调性，进而根据单调性比较大小考向3利用导数求参数的取值范围已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值
9、范围解：(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1，所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立由(1)知G(x)，所以aG(x)max.而G(x)21.因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.又因为a0，所以a的取值范围是(0，)本例第(2)问中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a
10、的取值范围解：若h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)0在1,4上有解，所以当x1,4时，a有解又当x1,4时，min1，所以a1.又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)根据函数的单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在区间(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)单调递增的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，要注意等号是否可以取到(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别分离参数后对应不同的最值类型1(2021八省联考)已知a5且a
11、e55ea，b4且be44eb，c3且ce33ec，则()Acba BbcaCacb DabcD解析：因为ae55ea，a0.同理，b0，c0.令f(x)，x0，则f(x).当0x1时，f(x)1时，f(x)0.故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增因为ae55ea，a5，所以，即f(5)f(a)而0a5，所以0a1.同理，0b1,0cf(4)f(3)，所以f(a)f(b)f(c)所以0abc0，且a1，函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是()A(1,5 B2,5C(1，) D(，5B解析：函数f(x)在R上单调递增，则a1.当x1时，f(x)x2aln x，则f(
12、x)2x.因为2x3ax40在1，)上恒成立，所以a2x2在1，)上恒成立因为y2x2在1，)上单调递减，所以ymax2，则a2.当x1时，a145.综上，实数a的取值范围是2,5故选B.3已知函数f(x)x2cos x，x，则满足f(x0)f的x0的取值范围为_解析：f(x)2xsin x当x时，f(x)0，所以f(x)在上单调递增由f(x0)f，知x0.又因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，所以x0，得x1；令f(x)0，得0x1.所以f(x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(0,1)(2)由题意g(x)x2aln x，g(x)2x.若函数g(x)为1，)上的单调递增函数，
13、则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立设(x)2x2.因为(x)在1，)上单调递减，所以(x)max(1)0，所以a0.若函数g(x)为1，)上的单调递减函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立因为(x)没有最小值，不满足题意，所以实数a的取值范围为0，)若函数f(x)x3ax21在区间1,2上单调递减，求实数a的取值范围四字程序读想算思求实数a的取值范围1.利用导数研究函数单调性的方法；2从什么角度列不等式求取值范围1.求f(x)；2解不等式f(x)0转化与化归、数形结合f(x)在1,2上单调递减由函数f(x)在区间a，b上单调递减可知f(x)0在区间
14、a，b上恒成立，列出不等式f(x)3x22ax x(3x2a)1.函数最值；2不等式恒成立；3一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关系思路参考：等价转化为f(x)0对x1,2恒成立，分离变量求最值解：f(x)3x22ax.由f(x)在1,2上单调递减知f(x)0，即3x22ax0在1,2上恒成立，即ax在1,2上恒成立故只需amax，故a3.所以a的取值范围是3，)思路参考：等价转化为f(x)0对x1,2恒成立，数形结合列不等式组求范围解：f(x)3x22ax.由f(x)在1,2上单调递减知f(x)0对x1,2恒成立所以解得a3.所以a的取值范围是3，)思路参考：分类讨论f(x)的单调
15、性，根据区间1,2是单调递减区间的子集求参数范围解：f(x)3x22ax.当a0时，f(x)0，故yf(x)在(，)上单调递增，与yf(x)在区间1,2上单调递减不符，舍去当a0时，由f(x)0，得0xa，即f(x)的单调递减区间为.由f(x)在1,2上单调递减得a2，得a3.综上可知，a的取值范围是3，)1本题考查函数的单调性与导数的关系，解法较多，基本解题策略是转化为不等式恒成立问题，即“若函数f(x)在区间D上单调递增，则f(x)0对xD恒成立；若函数f(x)在区间D上单调递减，则f(x)0对xD恒成立”或利用集合间的包含关系处理：若yf(x)在区间D上单调，则区间D是相应单调区间的子集
16、2基于课程标准，解答本题一般需要运算求解能力、推理论证能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养3基于高考数学评价体系，本题利用函数的单调性与导函数的关系，将所求问题转化为熟悉的数学模型，解题过程需要知识之间的转化，体现了综合性1已知函数f(x)2cos x(msin x)3x在(，)上单调递减，则实数m的取值范围是()A.1,1 B.C. D.B解析：f(x)2sin x(msin x)2cos x(cos x)3.因为f(x)在(，)上单调递减，所以f(x)0恒成立，整理得4sin2x2msin x50.设sin xt(1t1)，则不等式g(t)4t22mt50在区间1,1上恒成立于是有即故
17、实数m的取值范围是.故选B.2已知函数f(x)x3kx在(3,1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_(0,27)解析：(方法一：间接法)若f(x)x3kx在(3,1)上单调递增，则f(x)3x2k0在(3,1)上恒成立，即k3x2在(3,1)上恒成立，故k0.若f(x)x3kx在(3,1)上单调递减，则f(x)3x2k0在(3,1)上恒成立，即k3x2在(3,1)上恒成立，故k27.所以当函数f(x)x3kx在(3,1)上是单调函数时，实数k的取值范围是k0或k27，当函数f(x)x3kx在(3,1)上不是单调函数时，实数k的取值范围是0k0时，由f(x)3x2k0，得x0，得x，在，上f
18、(x)是增函数要满足函数f(x)x3kx在(3,1)上不是单调函数，由对称性得，3，所以k0，对于x0右侧附近的任意x，都有f(x)0对于x0左侧附近的任意x，都有f(x)0图像形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点(1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定(2)对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件2函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(
19、x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yf(x)在区间(a，b)上的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值(2)若函数f(x)在区间a，b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值；若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的
20、打“”，错的打“”(1)函数的极大值不一定比极小值大( )(2)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件( )(3)函数的极大值一定是函数的最大值( )(4)开区间上的单调连续函数无最值( )2(多选题)函数yf(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是()A(1,3)为函数yf(x)的单调递增区间B(3,5)为函数yf(x)的单调递减区间C函数yf(x)在x0处取得极大值D函数yf(x)在x5处取得极小值ABD解析：由函数yf(x)的导函数的图像可知，当x1或3x5时，f(x)5或1x0，yf(x)单调递增，所以函数yf(x)的单调递减区间为(，1)，(3,5)，单调
21、递增区间为(1,3)，(5，)函数yf(x)在x1,5处取得极小值，在x3处取得极大值，故选项C错误故选ABD.3函数f(x)2xxln x的极大值是()ABCeDe2C解析：f(x)2(ln x1)1ln x令f(x)0，得xe.当0x0；当xe时，f(x)0，f(x)为增函数当x(3,0)时，f(x)0，f(x)为减函数由f(4)14，f(3)25，f(0)2，f(2)50，故函数f(x)2x39x22在4,2上的最大值和最小值分别是50，2.故选C.5函数f(x)2x32x2在区间1,2上的最大值是_8解析：f(x)6x24x2x(3x2)由f(x)0，得x0或x.因为f(1)4，f(0
22、)0，f ，f(2)8，所以最大值为8.考点1利用导数求函数的极值综合性考向1根据函数的图像判断函数的极值(多选题)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图所示，则()A函数f(x)有极大值f(2)B函数f(x)有极大值f(2)C函数f(x)有极小值f(2)D函数f(x)有极小值f(2)BD解析：由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值根据函数的图像判断极值的方法根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型
23、考向2已知函数解析式求极值已知函数f(x)ln xax(aR)(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数解：(1)当a时，f(x)ln xx，定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，解得x2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数f(x)在(0，)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；当a0，x时，f(x)0，x时，f(x)0时
24、，函数f(x)有一个极大值点，且为x.求函数极值的一般步骤(1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数(2)求f(x)0的根(3)判断在f(x)0的根的左、右两侧f(x)的符号，确定极值点(4)求出函数f(x)的极值考向3已知函数的极值求参数设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围解：(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex，f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.所以a的值为1.(2)由(1)
25、得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.已知函数极值点或极值求参数的两个关键(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证该点左右两侧的正负1(多选题)定义在区间上的函数f(x)的导函数f(x)的图像如图所示，则()A函数f(x)在区间(0,4)上单调递增B函数f(x)在区间上单调递减C函数f(
26、x)在x1处取得极大值D函数f(x)在x0处取得极小值ABD解析：根据导函数图像可知，f(x)在区间上，f(x)0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x0处取得极小值，没有极大值所以A，B，D选项正确，C选项错误故选ABD.2(2020青岛一模)已知函数f(x)(e2.718为自然对数的底数)若f(x)的零点为，极值点为，则()A1B0C1D2C解析：当x0时，f(x)3x9为增函数，无极值令f(x)0，即3x90，解得x2，即函数f(x)的一个零点为2；当x0时，f(x)xex0，无零点，f(x)exxex(1x)ex，则当1x0.当x1时，f(
27、x)0，所以当x1时，函数f(x)取得极小值综上可知，2(1)1.故选C.3函数f(x)的极小值为_解析：f(x).令f(x)0，得x1；令f(x)0，得2x1.所以f(x)在(，2)，(1，)上单调递减，在(2，1)上单调递增，所以f(x)极小值f(2).考点2利用导数求函数的最值应用性(2020北京卷)已知函数f(x)12x2.(1)求曲线yf(x)的斜率等于2的切线方程；(2)设曲线yf(x)在点(t，f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值解：(1)因为f(x)12x2，所以f(x)2x.设切点为(x0,12x)，则2x02，即x01，所以切点为(1,1
28、1)由点斜式可得切线方程为y112(x1)，即2xy130.(2)显然t0，因为yf(x)在点(t,12t2)处的切线方程为y(12t2)2t(xt)，即y2txt212.令x0，得yt212；令y0，得x.所以S(t)(t212)，t0，显然为偶函数只需考察t0即可(t0，得t2；由S(t)0，得0t0，f(x)xeax1(2ax)a.由f(1)ea1(2a)a2，得ea1(2a)(a2)0，即(ea11)(2a)0，解得a1或a2.当a1时，f(1)e012，此时直线y2x恰为切线，舍去所以a2.(2)当b2时，f(x)x2eax12ln xax，x0.设tx2eax1(t0)，则ln t
29、2ln xax1，故函数f(x)可化为g(t)tln t1(t0)由g(t)1，可得g(t)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)，所以g(t)的最小值为g(1)1ln 112.此时，t1，函数f(x)的值域为2，)问题转化为：当t1时，ln t2ln xax1有解，即ln 12ln xax10，得a.设h(x)，x0，则h(x)，故h(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)，所以h(x)的最小值为h()，故a的最小值为.求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，函数的解析式含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，
30、不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值1(2021福建三校联考)若方程8xx26ln xm仅有一个解，则实数m的取值范围为()A(，7)B(156ln 3，)C(1261n 3，)D(，7)(156ln 3，)D解析：方程8xx26ln xm仅有一个解等价于函数m(x)x28x6ln xm(x0)的图像与x轴有且只有一个交点对函数m(x)求导得m(x)2x8.当x(0,1)时，m(x)0，m(x)单调递增；当x(1,3)时，m(x)0，m(x)单调递增，所以m(x)极大值m(1)m7，m(x)极小值m(3)m6ln 3
31、15.所以当x趋近于0时，m(x)趋近于负无穷，当x趋近于正无穷时，m(x)趋近于正无穷，所以要使m(x)的图像与x轴有一个交点，必须有m(x)极大值m70，即m156ln 3.故选D.2已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解：(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值为f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在 1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.