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1、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分，共共 6060 分分在每小题给出的四在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z满足1 i2iz，则z（）A2B2C3D32.已知集合2,1,0,1,2U=-，0A，2|20Bx xx，则()UAB（）A1B 1C1,1,2D2,1,13.向量1,1,3abm，且abarrr，则m（）A2B1C0D14.若实数 x，y 满足约束条件20301xyxyy，则2zxy的取值范围为（）A3,2B 5,)C3,62D 3,65.设xR，则“21x”是“220 xx
2、”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达 200400 年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等 9 部门联合发布关于扎实推进污染物治理工作的通知明确指出，2021 年 1 月 1 日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为0ektyy，其中0y为初始量，k为光解系数.已知该品牌塑料袋 2 年西安中学 2023-2024 学年度第一学期期末考试高三 数学（理科）试题（时间：120 分钟满分：150 分）命题人：后残留量为
3、初始量的75%.该品牌塑料袋大约需要经过（）年，其残留量为初始量的 10%.（参考数据：lg20.301，lg30.477）A20B16C12D77.若3sincos233，则11cos6（）A33B13C13D338.已知正三棱锥PABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直，且1PAPBPC，以P为球心的球与底面ABC相切，则该球的半径为（）A36B33C32D2 339.关于函数 23sin22cos1fxxx有下述四个结论，其中结论错误的是（）A23fB fx的图象关于直线3x 对称C fx的图象关于7,024对称D fx在0,3上单调递增10.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有
4、“数学王子”的称号，用他名字定义的函数 f xx称为高斯函数，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如2.32，1.92，已知数列 na满足11a，25a，2145nnnaaa，若21lognnba，nS为数列18100nnbb的前 n 项和，则2025S（）A2026B2025C2024D202311.设1718a，1cos3b，13sin3c，则下列正确的是（）AbacBcabCbcaDcba12.已知O为坐标原点，点(2,1)A 在抛物线2:2C xpy(0)p 上，过点(0,1)B的直线交抛物线C于,P Q两点，其中正确结论的个数有（）抛物线C的准线方程为1y 直线AB与抛物线C相切OP
5、 OQ 为定值 52BPBQBAA1 个B2 个C3 个D4 个二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13.已知等差数列 na的前 5 项和535S，且满足5113aa，则等差数列 na的公差为14.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆22:24Mxy外切，写出一个圆C的标准方程：15.在边长为 2 的正三角形ABC中，D是BC的中点，2AEEB ，CE交AD于F则BF DE 16.已知函数 kf xxx的定义域为0,，其最小值为 2点M是函数图象上的任意一点，过点M分别作直线:l yx和y轴的垂线，垂足分别为,A B其中O为坐标原点给出下列四个结论：1k；不存在点M，使得2023
6、MA；MAMB的值恒为22；四边形OAMB面积的最小值为212其中，所有正确结论的序号是三、解答题：本大题共 7 小题，第 1721 题为必考题，第 22、23 题为选考题）（一）必考题：共 60 分17.（本小题满分 12 分）造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差 x（单位：cm）与树干最大直径偏差 y（单位：mm）之间的关系进行分析，随机挑选了 8 株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：树苗序号12345678高度偏差 x2015133251018直径偏差 y6
7、.53.53.51.50.50.52.53.5(1)若 x 与 y 之间具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程；(2)若这种树苗的平均高度为120cm，树干最大直径平均为31.5mm，试由（1）的结论预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为多少毫米参考数据：81324iiix y，8211256iix参考公式：回归直线方程yabx中斜率和截距的最小二乘估计：1221niiiniix ynxybxnx，aybx18.（本小题满分 12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且cossinBbAc(1)求角 A 的大小；(2)若2a，ABC 的面积为212
8、，求bc的值19.（本小题满分 12 分）设椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22，圆22:2O xy与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2 2.（1）求椭圆C的方程；（2）过圆O上任意一点作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O.20.（本小题满分 12 分）如 图 1 所 示，在 四 棱 锥PABCD中，四 边 形ABCD为 梯 形，/,CD AB ABBC PAPD，1,2BCCDPAPDAB，平面PAD 平面PBC(1)若PB的中点为N，求证：/CN平面PAD；(2)求二面角PADB的正弦值图 121.（本小题满分 12 分）已知
9、11xxf xex，1g xa x.(1)求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程;(2)当0a 时，若关于x的方程 0fxg x存在两个正实数根1212,x xxx，证明:2ae且1212x xxx.（二（二）选考题选考题：共共 1010 分分.请考生在请考生在 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做，则按所做则按所做的第一题计分的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为sin3cosxy（为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos()2
10、24.(1)写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；(2)设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值以及此时P的直角坐标.23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 131f xxx.(1)作出函数 fx的图象，并求 fx的值域；(2)若存在x，使得不等式 4f xxa成立，求实数a的取值范围.七模理科数学第 1页，共 7页西安中学 2023-2024 学年度第一学期期末考试理科数学理科数学答案答案一.选择题（本大题共 12 小题，共 6060 分）123456789101112AABDABCBCCDD二、填空题：二、填空题：(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题
11、5 分分)1313.3.314.14.2211xy（答案不唯一，只要方程满足2220 xayaa即可）15.71516.16.三、解答题（本大题共 7 小题，第 1721 题为必考题，第 22、23 题为选考题）（一）必考题：共 60 分17.(1)证明：（1）20 15 1332(5)(10)(18)582x ,56.53.53.5 1.50.5(0.5)(2.5)(3.5)988y ，（2 分）122215932481285412568()2niiiniix ynxybxnx ，91518422aybx，（5 分）故 y 关于 x 的线性回归方程为1142yx（6 分）（2）当树干高度为1
12、28cm时，高度偏差128 1208x(cm)，（8 分）1182.5(mm)42y ，所以树干直径约为2.531.534(mm)，（11 分）即预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为 34 毫米.（12 分）18.（本小题满分 12 分）（1）由已知及正弦定理得sincossin sinsinABBAC，（2 分）sinsinsin coscos sinCABABABsin sincos sinBAAB，sin0sincosBAA（4 分）0,A4A.（6 分）#QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=#七模理科数学第
13、2页，共 7页（2）1221sin242ABCSbcAbc22bc,（8 分）又2222cosabcbcA2222bcbc,（10 分）所以24,2bcbc（12 分）19.（本小题满分 12 分）解：（1）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为22，所以bc，2ab，椭圆C的方程可设为222212xybb.（2 分）易得2,0A，因为圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2 2，所以点2,2在椭圆上，所以222212bb，解得2263ab，所以椭圆C的方程为22163xy.（5 分）（2）当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x，由（1）知：2,2M，2,2N，则2,5O
14、M ，2,2ON，0OM ON ，OMON.（6 分）当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为ykxm，11,M x y，22,N xy，因为直线与圆相切，所以221mk，即2221mk.（7 分）联立直线和椭圆的方程得2226xkxm，222124260kxkxm，#QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=#七模理科数学第 3页，共 7页所以222122212244 122604212621kmkmkmxxkmx xk .（8 分）11,OMx y，22,ONxy，12121212OM ONx xy yx xkxm
15、kxm ，2212121kx xkm xxm，2222226412121mkmkkmmkk，222222212642121kmk mmkk，22222232 226636602121kkmkkk，OMON.（11 分）综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OMON.（12 分）20.（本小题满分 12 分）（1）设T是PA中点，连接,TN TD，如下图所示：在ABP中，TN为为中位线，所以：1,2TNAB TNAB，（2 分）又因为：1,2CDAB CDAB，所以：,TNCD TNCD，所以：四边形CDON为平行四边形，得：,TD CN TDCN，又因为：CN 平面,PAD
16、 DT 平面PAD，所以：/CN平面PAD.（5 分）（2）如图，延长AD和BC交于点Q，连接PQ.过点B作BMPQ，垂足为点M，连接DM.#QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=#七模理科数学第 4页，共 7页因为：平面PAD 平面PBC，平面PAD平面PBCPQ，所以：BM 平面BDM，（7 分）因为：,ADBD ADBM BDBMB，且,BM BD 平面BDM，所以：AD 平面BDM，所以：BDM为所求二面角的平面角，（8 分）在PDQ中，222cos5PQPDDQPD DQPDQ，得：22252 13cos225210P
17、QDQPQPQDPQ DQ，所以：24tan,33DMDQPQDMB，（11 分）所以：2 2sin3BMBDMBD.（12 分）21.（本小题满分 12 分）(1)解:2231xfxexx，01f，03f，曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为310 xy.（5 分）(2)证明:由 0fxg x存在两个正实数根1212,x xxx，整理得方程11xea xx存在两个正实数根1212,x xxx.由0a，知211xx，令 xh xeaxa，则 xhxea，当lnxa时，0hx，h x在ln,a 上单调递增;当lnxa时，0hx，h x在0,lna上单调递减.所以 minln2lnh xha
18、aaa.#QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=#七模理科数学第 5页，共 7页因为 xh xeaxa有两个零点，即2ln0aaa，得2ae.（7 分）因为实数1x，2x是1xea x的两个根，所以121211xxea xea x，从而12121211xxxxxexee.令11x，21x，则e，变形整理得lnln1.要证1212x xxx，则只需证1，即只要证101，结合对数函数lnyx的图象可知，只需要证,ln，11,ln两点连线的斜率要比,ln，,ln两点连线的斜率小即可.因为lnln1，所以只要证1lnln11，整理得12
19、ln0 01.（10 分）令 12ln01g xxxxx，则 22211210 xxgxxx ，所以 g x在0,1上单调递减，即 10g xg，所以12ln0 01成立，故1212x xxx成立.（12 分）（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做则按所做第一题计分22.（本小题满分 10 分）解：（1）由题意，在1sin:3cosxCy（为参数）中，化为普通方程为2213yx（3 分）在2:cos()2 24C中，cos cossinsin2 244，cos,sinxy，2:40Cxy.（5 分）（2）由题意及（1）得，#QQABRQCEogggAAIA
20、AAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=#七模理科数学第 6页，共 7页设点sin,3cosP，则P到直线40 xy的距离为：2sin()4sin3cos43 2,3 222d，（8 分）当且仅当sin()13，即2,Z32kk，52(Z)6kk时，min2PQ，此时13,22P.（10 分）23.（本小题满分 10 分）解：（1）已知 131f xxx，则 24,1,42,11,24,1,xxf xxxxx （3 分）则 fx的图象如图所示：由 fx的图象可知 fx的值域为,2.（5 分）（2）由 0fx，解得12x,或2x,（6 分）由40 xa，解得4ax.4,444,4axa xyxaaxa x，如下图，#QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=#七模理科数学第 7页，共 7页（8 分）若存在x，使得不等式 4fxxa成立，则由图象可知，1224a，解得28a求实数a的取值范围2 8,.（10 分）#QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=#