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1、2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线方程学案含解析新人教A版20230519165第8章 平面解析几何课程标准命题解读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2.掌握直线方程的几种形式，能根据两条直线的斜率及直线方程判定这两条直线平行或垂直3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离4.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程5.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系6.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质7.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们简单的几何性质.考查形式：一般为两个选择题或填空题和一个
2、解答题考查内容：直线和圆的位置关系，圆锥曲线标准方程的求解，椭圆、双曲线离心率的计算等几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，最值与范围问题，定点与定值问题，探索性问题或证明问题备考策略：(1)熟练掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线方程的求法(2)深刻理解圆锥曲线的定义，并能应用定义解决相关问题(3)在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，要加强运算的训练，重视“设而不求”的思想方法的应用(4)掌握最值和范围、定点与定值、探索性问题等的一般解法和思想核心素养：数学抽象、数学运算.第一节直线方程一、教材概念结论性质重现1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向
3、上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线的倾斜角的取值范围为0a180.2斜率公式(1)我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan .(2)倾斜角是90的直线没有斜率，倾斜角不是90的直线都有斜率(3)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则直线l的斜率k.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换就是说，如果分子是y2y1，那么分母必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，那么分母必须是x1x2.3直线方程的五种形式名称方程适用
4、范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)所有的直线都适用(1)求直线方程时，若不能判断直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论(2)“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(4)不经过原
5、点的直线都可以用1表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()2直线xy10的倾斜角为()A30B45 C120D150B解析：由题得，直线yx1的斜率为1.设其倾斜角为，则tan 1.又0180，故45.故选B.3如果AC0，且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限4已知A(3,5)，B(4,7)，C(1，x)三点共线，则x_.3解析：因为A，B，C三点共线，所以kABkAC，所以，所以x3.5过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为_3x2y0或xy50解析
6、：当纵、横截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5，直线方程为xy50.考点1直线的倾斜角与斜率基础性1若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk2k30，k20，k3k2.综上可知k2k3k1.故选D2直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率k的取值范围是()A BC(，1) D(，1)D解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，直线在x轴上的截距为1.令313，解不等式得k.3已知直线的方程为xsin y10，R，则直线l的倾斜角的取值范围
7、是()ABC DB解析：因为直线l的方程为xsin y10，所以yx，即直线的斜率k.由1sin 1，得k.又直线的倾斜角的取值范围为0，)，由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为.4若直线l经过A(3,1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是_解析：直线l的斜率k1m21，所以ktan 1.又ytan 在上单调递增，因此.1倾斜角与斜率k的函数关系ktan ，求倾斜角或斜率范围时，可结合图象解题2斜率的两种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据公式
8、k(x1x2)求斜率考点2求直线的方程基础性根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (00，b0)因为直线l经过点P(4,1)，所以1.(1)因为12，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立所以，当a8，b2时，AOB的面积最小此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1(a0，b0)，所以|OA|OB|ab(ab)5529，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最
9、小值时，直线l的方程为1，即x2y60.求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤(1)设出直线方程，建立目标函数(2)利用基本不等式、一元二次函数求解最值，得出待定系数(3)写出直线方程考向2由直线方程求参数的值或范围已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24.当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a4.又0a2，所以当a时，四边形的面积最小由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项(1)注意寻找等
10、量关系或不等关系注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解(2)注意直线恒过定点问题1如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一根电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为_米10解析：如图，建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y4k(x3)(k0)，所以A，B(0,43k)，所以ABO的面积S(43k).因为k0，所以9k224，当且仅当9k，即k时取等号此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行
11、道的长度为10(米)2设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_5解析：由直线xmy0求得定点A(0，0)，直线mxym30，即y3m(x1)，得定点B(1，3)当m0时，两条动直线垂直；当m0时，因为m1，所以两条动直线也垂直因为P为直线xmy0与mxym30的交点，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，所以|PA|PB|的最大值是5.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程 四字程序
12、读想算思ABO的面积的最小值及此时直线l的方程1.三角形面积的表达式；2以谁为变量？用适当的变量表示面积S，并求其最小值和此时的直线方程转化与化归直线过定点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点1.Sah；2.Sabsin C；3.点的坐标作变量；4.直线的斜率作变量1.Sab12；2.S122(1212)121.均值不等式；2.三角函数的性质思路参考：设出直线的截距式方程，利用基本不等式求出ab的最小值，即可求出直线方程，得到面积的最小值解：设直线方程为1(a0，b0)将点P(3,2)代入得12，得ab24.从而SABOab12，当且仅当时等号成立，这时k.从而所求直线方程为2x3y12
13、0.所以ABD的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x3y120.思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程解：设直线方程为1(a0，b0)，将点P(3,2)的坐标代入得1.令sin2，cos2，则a，b，所以SABOab.因为0b，b0)，则1.所以abab2ba2，于是ab8，所以|OA|OB|ab8，即|OA|OB|的最小值为8，当且仅当a2b，即a4，b2时取得等号故所求直线的方程为x2y40.(2)显然直线的斜率存在，设其方程为y1k(x2)(k0)，则A，B(0，12k)所以|PA|PB|4，当且仅当k2，即k1时取等号，所以|PA|PB|的
14、最小值为4时，直线的方程为xy30.第二节两条直线的位置关系一、教材概念结论性质重现1两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2.l1l2k1k2l1l2k1k21特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1l2.当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1l2.(2)利用方程判断l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A2，B2，C2均不为0)，l1l2l1l2A1A2B1B20l1与l2重合特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断(3)两直线相交交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20
15、的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解(1)与直线AxByC0(A2B20)垂直的直线可设为BxAym0；(2)与直线AxByC0(A2B20)平行的直线可设为AxByn0.2三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行直线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：(1)将方程化为最简的一般形式(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程
16、中x，y的系数分别对应相等二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为()2两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为()A B C7 DD解析：由题意知a6，直线3x4y120可化为6x8y240，所以两平行直线之间的距离为.3若直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A2 B3 C2或3 D2或3C解析：若直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.4
17、圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A1 B2 C D2C解析：圆(x1)2y22的圆心坐标为(1,0)由yx3得xy30，则圆心到直线的距离d.5已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.1解析：由题意知1，所以m42m，所以m1.考点1直线的平行与垂直基础性1已知直线l1：(a1)x(a1)y20和l2：(a1)x2y10互相垂直，则a的值为()A1 B0 C1 D2A解析：(方法一)a1时，方程分别化为x10,2y10，此时两条直线相互垂直，因此a1满足题意a1时，由于两条直线相互垂直，可得1，解得a1(舍去)综上a1.(方法二)由l1l2得(a1
18、)(a1)2(a1)0，整理得a22a10，解得a1.2经过两条直线2x3y10和3xy40的交点，并且平行于直线3x4y70的直线方程是_3x4y0解析：联立直线的方程得到两直线的交点坐标.设平行于直线3x4y70的直线方程为3x4yc0，则34c0，解得c，所以直线的方程为3x4y0.3过点的直线l满足原点到它的距离最大，则直线l的一般式方程为_2x4y50解析：设点A，过坐标系原点O作OBl于点B，连接OA，如图，则OB为原点O到直线l的距离在直角三角形AOB中，OA为斜边，所以有OB0且a1)恒过点A(m，n)，则点A到直线xy30的距离为_解析：由题意，可知曲线yax(a0且a1)恒
19、过点(0,1)，所以A(0,1)所以点A到直线xy30的距离d.2直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_x3y50或x1解析：(方法一)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，解得k.所以直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意(方法二)当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为(1,4)所以直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.考点3对称问题应用性考向1
20、中心对称问题过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_x4y40解析：设l1与l的交点为A(a,82a)由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.中心对称问题的解法(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P(x，y)，则(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决考向2轴对称问题(1)直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30 Bx2y30Cx2y10 Dx2y10
21、A解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于xy20的对称点为P(x0，y0)由得因为点P(x0，y0)在直线2xy30上，所以2(y2)(x2)30，即x2y30.(2)已知点A的坐标为(4,4)，直线l的方程为3xy20，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_(2,6)解析：设点A的坐标为(x，y)，由题意可知解得所以点A的坐标为(2,6)轴对称问题的解法(1)若点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点为A(m，n)，则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决1直线axy3a10恒过定点N，则直线2x3y60关于点N对称的直线方程为()A2x3y120B2x3y120C2x3y120D2x3y120B解析：由axy3a10可得a(x3)y10.令可得x3，y1，所以N(3，1)设直线2x3y60关于点N对称的直线方程为2x3yc0(c6)，则，解得c12或c6(舍去)故所求直线方程为2x3y120.故选B.2如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，光线所经过的路程是()A2 B6 C3 D2A解析：由题意知直线AB的方程为xy4.设P关于直线AB的对称点Q(a，b)，则解得即Q(4,2)又P关于y轴的对称点为T(2,0)，所以|QT|2.