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1、代数系统练习题代数系统练习题 一、选择题一、选择题 1下列定义的实数集R上的运算*中，满足可结合的是 ()Abaaba；Bbaaba2；Cbba；Dbaba 其中，分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算.2下列哪个集合关于减法运算是封闭的 ()AN(自然数集)；B2|x xZ；C|12Zxx；D|x x是质数 3下列集合中对所给的二元运算不封闭的是 ()A整数集合Z上的普通加法运算；B非零整数集合上的普通除法运算；C设12,nAa aa，2n，,a bA，a bb；D设2An nZ，集合A上的普通加法和乘法运算 4 设AQ Q，其中Q是有理数集，定义A上的二元运算*为:(,)a b，Ayx),(
2、，(,)(,)(,)a bx yax ay b，则(1,2)(3,4)()A(3,10)B(5,1)C(6,8)D(3,6)5在自然数集合N上定义运算为：,a bN，a ba bab ，则下面说法正确的是 ()A,N是群；B,N是独异点但不是群；C,N是半群但不是独异点；D,N不是半群 6设,RZ分别是正实数集合和正整数集合，则,，分别为普通的实数加法、减法、乘法、除法，则下列代数系统是半群的是 ()A,Z；B,R；C,R；D,/R 7半群、群及独异点的关系为 ()A群独异点半群；B独异点半群群；C独异点群半群；D半群群独异点 8设代数系统,A，则下列命题成立的是 ()A如果,A是群，则,A是
3、阿贝尔群；B如果,A是阿贝尔群，则,A是循环群；C如果,A是循环群，则,A是阿贝尔群；D如果,A是阿贝尔群，则,A必不是循环群.9设,A是群，则下列陈述不正确的是 ()A11()aa；B nmn maaa；C111()a bab；D11()nnab aaba.10设,G是阶大于 1 的群，则下列命题中（）不真 A存在零元 B存在幺元 CG 中每个元素都有逆元 D运算是可结合的 11下列运算中，哪种运算关于整数集I不能构成半群？()Amax,a ba b Bbba Cabba2 Dbaba 二、判断题二、判断题 1、设,S是代数系统，Sa，若a的左、右逆元均存在，则必相等.()2、若,AB 都是
4、群,G的子群，则,AB也是,G的子群.()3、一个群可以有多个等幂元.()4、设InmGnm,23，则,G是群.()5、交换群一定是循环群.()6、设ba,是代数系统,A的元素，若(a bb ae e 为单位元），则1ab.()7、设,a b是是群,G的，则111()a bab.()三三、填空题、填空题 1 设 2,4,6 A，A上的二元运算定义为：max,a ba b，则在独异点,A中，单位元是 ，零元是 2 设 3,6,9 A，A上的二元运算定义为：min,a ba b，则在独异点,A中，单位元是 ，零元是 3代数系统,G是一个群，则G的等幂元是 4设,G是一个群，,a b cG，则(1)
5、若c ab，则c ；(2)若c ab a ，则c 5,H是,G的子群的充分必要条件是()。6群,G的等幂元有 个，是 ，零元有 个 7设是如下表定义的集合cbaA,上的运算：*cba a b c cba cab ccc 则*的单位元为_；零元为_；可逆元为_ 8设集合 1,2,3A，在 A 上定义二元运算 为：,a bA，min,a ba b，则 的运算表为 1 2 3 1 2 3 四、证明题四、证明题 1、设,S是一独异点，H是S中所有可逆元素的集合,证明,H是一个群.2、1设,G是群,aG令HxG a xx a .试证：,H是群,G的子群.3设群,G除单位元外每个元素的阶均为 2，则,G是交换群.4设半群,S中消去律成立，则,S是可交换半群当且仅当,a bS 222()a ba b.5设是集合S上的二元代数运算，且满足结合律，设,x y是S中任意元素，如果x yy x，则xy试证明满足等幂律 6,G是交换群,AB 是它的子群,BbAabaABC,，证明：,C也是,G的子群.