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1、2023-2024 学年度第一学期期末质量检测高三数学学年度第一学期期末质量检测高三数学2024.01注意事项：注意事项：1本试卷共本试卷共 4 页，共页，共 22 题，满分题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟2答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码3作答选择题时，用作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑4非选择题的答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液非选择题的答案写在答题卡各题目指定区域内相应
2、位置上，不准使用铅笔和涂改液5考试结束后，考生上交答题卡一、单项选择题：本题共考试结束后，考生上交答题卡一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 04,(3)(2)0AxxBx xx，则AB（）A0,1)B(1,3C0,2)D(2,32已知复数z满足z(i 1)2i，则z的共轭复数为（）A1 iB1 iC1 i D1 i 3双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线的倾斜角为110，则离心率为（）A1cos70B1sin70C2
3、sin70D2cos204已知,A B是平面上的点，11,A B是平面上的点，且11AABB，则“11AABB”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5设等比数列 na的前n项和为nS，已知*132,NnnSSn，则4S（）A80B160C121D2426已知iA是边长为 2 的正六边形123456A A A A A A的一个顶点，则142iA AA A 的取值范围是（）A 8,8B 4,8C 4,12D 8,127若函数()cos(0)6f xx在0,4有最小值，没有最大值，则的取值范围是（）广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高三上学期1月期末A4
4、0,3B4 16,33C10 16,33D10 22,338已知曲线:exE y 与y轴交于点A，设E经过原点的切线为l，设E上一点B横坐标为(0)m m，若直线ABl，则m所在的区间为（）A10m B01mC312mD322m二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9在正方体1111ABCDABC D中，用垂直于1AC的平面截
5、此正方体，则所得截面可能是（）A三角形B四边形C五边形D六边形10已知,a bR，直线12:(2)10,:220lxaylbxy，且12ll，则（）Aab的最大值是B22ab的最小值是45C24ab的最小值是 4D121ab的最小值是 311已知直线:l yx与圆22:(2)(1)1xkyk，下列说法正确的是（）A所有圆均不经过点(1,1)B若关于l对称，则1k C若l与相交于AB且2AB，则2k D存在圆与x轴与y轴均相切12定义在R上的函数()f x满足22(3)()1218,()fxf xxxfx是函数()f x的导函数，则（）A(0)(0)0ff B曲线()yf x在点(1,(1)f处
6、的切线方程为210 xy C()()mf xfx在R上恒成立，则2m D()()74eexf xfx 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13在5(2)(1)xy的展开式中，4x y的系数为_（用数字作答）14某同学收集了变量,x y的相关数据如下：x05233545y1y152y3y4y5y为了研究,x y的相关关系，他由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为17ybx，经验证回归直线正好经过样本点(2,15)，则51iiy_15已知抛物线2:2(0)xpy p的顶点为O，焦点为F，准线为l，过F的直线与在y轴右侧交于点E若
7、E在l上的射影为Q且3|4|FQFO，则直线EF的斜率为_16将正方形ABCD延对角线BD折起，当2 3AC 时，三棱锥ABCD的体积为4 33，则该三棱锥外接球的体积为_四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10 分）已知数列 na满足1111,nnnaaan（1）求 na的通项公式；（2）求数列11nnaa的前n项和nS18（12 分）正四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 6 的正方形，高为 4，点,M N分别在线段,PC AB上，且2,4,ANNB PCPM
8、E为PC的中点（1）求证：BE平面DMN；（2）求直线AC与平面DMN所成角的正弦值19（12 分）ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，ABC的面积为S，从条件coscos2 cos0bAaBcC；条件2 cos2cAab；条件22243Sabc中选择一个作为已知，并解答下列问题（1）求角C的大小；（2）点D是ABC外一点，3,1DCDA，若60ABC，求四边形ABCD面积的最大值20（12 分）在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病（血液样本化验呈阳性）的概率为(01)pp根据需要，居民每三人一组进行化验筛查，为节约资源，化验次数越少，则方法越优现对每组的 3
9、 个样本给出下面两种化验方法：方法 1：逐个化验；方法 2：3 个样本各取一部分混合在一起化验。若混合样本呈阳性，就把这 3 个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判断这 3 个样本均为阴性。（1）若0.4p，用随机变量Y表示 3 个样本中检测呈阳性的个数，请写出Y的分布列并计算()E Y（2）若0.25p，现要完成化验筛查，请问：哪种方法更优？（3）若要完成化验筛查，且已知“方法 2”比“方法 1”更优，求p的取值范围21（12 分）已知函数()eln(1)()xf xaxaR（1）若()f x的最值为a，求实数a的值；（2）当*1enanN时，证明：()(1)f xna22（12 分）在平
10、面直角坐标系中，已知12(1,0),(1,0),FFQ为动点，且24F Q，线段1FQ的垂直平分线交线段2F Q于点P，设P的轨迹是曲线C，射线12,PF PF分别与C交于,A B两点（1）求C的方程；（2）若111222,PFF A PFF B ，求证：12为定值参考答案参考答案一、单项选择题一、单项选择题题号12345678答案CBABACDD二、多项选择题二、多项选择题题号9101112答案ADBCABABD三、填空题三、填空题13-10 1469 153316323四、解答题四、解答题17解：（1）解法一、由11nnnaan得111nnannann，由累乘法得321112123121n
11、nnaaanaaanaaan解法二、由11nnnaan得11nnaann，则数列nan是各项为 1 的常数列，所以1nan，即nan（2）由（1）得11111nnnnaann，所以(21)(32)(1)1 1nSnnn 18证明：（1）方法一、在线段CD上取点F，使得2CFDF，连接EFBF、，因为4,PCPM E为PC的中点，所以CE2ME，所以EFDM，又EF 平面DMN,DM 平面DMN，所以EF平面DMN，在平行四边形ABCD中，因为2,CF2DFANNB，所以DFNB，且DFNB，所以四边形DFBN是平行四边形，所以DNFB，又BF 平面DMN,DN 平面DMN，所以BF平面DMN，
12、又,BF EF 平面EFB，且BFEFF，所以平面EFB平面DMN，又BE 平面EFB，所以BE平面DMN方法二、延长CBDN、交于点G，连接MG，在平行四边形ABCD中，因为2ANNB，由三角形相似，易证2GBCB，因为4,PCPM E为PC的中点，所以2CEME，所以EBMG，又BE 平面,DMN MG 平面DMN，所以BE平面DMN方法三、坐标法（略）（2）连接BD交AC于点O，连接PO，因为正四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，所以PO 平面ABCD，且OAOB，故以O为坐标原点，,OA OB OP所在直线依次为,x y z轴，建立空间直角坐标系如图所示，由已知可得3 2(3 2,
13、0,0),(0,3 2,0),(3 2,0,0),(0,3 2,0),0,3,(2,2 2,0)4ABCDMN，所以，3 2(6 2,0,0),(2,5 2,0),3 2,3,4ACDNDM 设平面DMN的一个法向量为(,)nx y z，由00DM nTJDN n 得25 203 23 2304xyxyz，取5x，则9 21,4yz，所以9 25,1,4n设直线AC与平面DMN的夹角为，则10 2sincos17AC nAC nAC n 19解：（1）选，方法一（射影定理），因为coscos2 cos0bAaBcC由射影定理coscoscaBcA得2 cos0ccC，即1cos2C，因为0C，
14、所以3C，方法二（边化角）因为coscos2 cos0bAaBcC，由正弦定理得sincossincos2sincos0bBAABCC，即sin()2sincos0ABCC，因为ABC，所以ABC，所以sin()2sincossin()2sincossin2sincos0ABCCCCCCCC，因为0C，所以1sin0,cos2CC，所以3C方法三（角化边）因为coscos2 cos0bAaBcC，由余弦定理得22222222220222bcaacbabcbacbcacab，即222abcab，所以2221cos22abcCab，因为0C，所以3C选，方法一（角化边）因为2 cos2cAab，由
15、余弦定理得222222bcacabbc，即222abcab，所以2221cos22abcCab，因为0C，所以3C方法二（边化角）因为2 cos2cAab，由正弦定理得2sincossin2sinCAAB，因为ABC，所以()BAC，所以2sincossin2sin()2sin()2sincos2sincosCAAACACCAAC，因为sin0A，所以1cos2C，因为0C，所以3C选，因为22243Sabc，由1sin2SabC得2222sin3abCabc，由余弦定理得，222sin33cos2abcCCab，即sintan3cosCCC，因为0C，所以3C（2）在,60,3ABCCBAC
16、，所以ABC为等边三角形，设,0ACx x，在ACD中，由余弦定理可得2222cosACADCDAD CDD，由于1,3DADC，代入上式可得2106cosxD，所以四边形ABCD的面积21133sin1 3sinsin23242ABCACDySSx xDxD 335 3(106cos)sin3sin4232DDD，因为0D，所以2333D，所以当56D时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为5 33220解：（1）Y的分布列为：Y0123p27125541253612581256()5E Y（2）采用方法 1，3 个样本需要试验次数为 3 次，或采用方法 2，以实验次数为随机变量X，则X的
17、可能取值为 1 或 4，且33327337(1),(4)1464464p Xp X，所以175()64E X，因为175()364E X，所以方法 2 更优（3）采用方法 2，设 3 个样本完成化验筛查的实验次数为随机变量X，则X的可能取值为 1 或 4，且33(1)(1),(4)1(1)p Xpp Xp，由已知得33(1)4 1(1)3pp解之得，1301 3p 所以p的取值范围为1301 3p 21解：（1）易知()f x的定义域为(1,)，且(1)e()e11xxaxafxxx，若0a，则()0fx，()f x为单调递增函数，无最值；若0a，令函数()(1)exg xxa，则()(2)e
18、xg xx，当(1,)x 时，()0,()g xg x为单调递增函数，又(1)0,()(1)e(1)10agag aaaaa ，()g x在区间(1,)a上存在唯一零点，不妨设其为0 x，则00g x，即001 e0 xxa（*），当01,xx 时，()0g x，即()0fx，()f x在区间01,x上单调递减；当0,xx时，()0g x，即()0fx，()f x在区间0,x 上单调递增，()f x存在唯一的最值（最小值），且最小值为000eln1xf xax，由题意可知，00eln1xaxa（*），00001 e0,e1xxaxax，代入（*），得00ln11aaxax，又0010,ln11
19、1axx，令函数1()ln(1)1h xxx，则211()0(1)1h xxx，()h x为单调递减函数，易知(0)1h，由001ln111xx可知00 x，由00e1xax可知1a，综上所述，若()f x的最值为a，则实数a的值为 1（2）由（1）可知，当*1enanN时，()f x的最小值为000eln1xf xax，且001 e0 xxa，00e1xax（*），对（*）式两边取对数，得000lnln1ln1xaxnx ，00ln1,xnx 00000001eln111,11xaf xaxa xnaxnxx由基本不等式，可知001121xx，000111(1),1f xaxnnax又0()
20、f xf x，()(1)f xna，证毕22（1）解：由已知得1|PFPQ，且122212|42PFPFPQPFQFFF，所以P的轨迹是以12(1,0),(1,0)FF为焦点的椭圆，且24,22ac，所以2222,1,3acbac，所以C的方程为22143xy（2）证明：设直线 PA 的方程为1xmy，联立2213412xmyxy，消去x得2234690mymy，因为0，所以设001122,P xyA x yP xy，则有2200001220001993412,34134xxymy yymxy ，同理可得0222009934134y ymxy 由111222,PFF A PFF B 得1200121212PFPFyyF AF Byy 222000001134349yxxyy22006861093xy，即12为定值