《题型12 5类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《题型12 5类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）含答案.pdf（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 12 5 类平面向量解题技巧类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法技法 01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”的应用及解题技巧知识迁移知识迁移形如ADxAByAC 条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y，使得ADxAByAC。则,B C D三点共线1xy当01xy，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC
2、之间当1xy，则D与A位于BC两侧 1xy时，当0,0 xy，则D在线段BC上；当0 xy，则D在线段BC延长线上技法 01 “爪子定理”的应用及解题技巧技法 02 系数和（等和线）的应用及解题技巧技法 03 极化恒等式的应用及解题技巧技法 04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧技法 05 范围与最值的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握mnABCDABCD更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型12 5类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）-备战
3、2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君ABCD（2）已知D在线段BC上，且:BDCDm n，则nmADABACmnmn 例 1-1（全国高考真题）设D为ABC所在平面内一点，且3BCCD ，则（）A.1433ADABAC B.1433ADABAC C.4133ADABAC D.4133ADABAC 解 析：由 图 可 想 到“爪 字 形 图 得：1344ACABAD，解 得：1433ADABAC 答案：A例 1-2 （2023 江 苏 模 拟）如 图，在ABC中，13ANNC，P是BN上 的 一 点，若211APmABAC ，则实数m的值为（）
4、A.911 B.511 C.311 D.211解：观察到,B P N三点共线，利用“爪”字型图，可得APmABnAN ，且1mn，由13ANNC可得14ANAC，所以14APmABnAC ，由已知211APmABAC 可得：12841111nn，所以311m 答案：C更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君1（2022全国统考高考真题）在ABC中，点 D 在边 AB 上，2BDDA记CAmCDn ，则CB（）A32mn B23mnC32mn D23mn2.（全国高考真题）在ABC中，ABc，ACb若点D满足2BDDC，则AD（）A2133bcB52
5、33cbC2133bcD1233bc3.（2020新高考全国 1 卷统考高考真题）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设ABa，ADb，则EF 等于（）A12abB12abC12baD12ab4（全国高考真题）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB A3144ABAC B1344ABAC C3144ABAC D1344ABAC 5（江苏高考真题）设D、E分别是ABC的边AB，BC上的点，12ADAB，23BEBC.若12DEABAC（12,为实数），则12的值是 技法技法 02 系数和（等和线）的应用及解题技巧系数和（等和线）的应用及解题技巧近
6、年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君知识迁移知识迁移如图，P为AOB所在平面上一点，过O作直线/lAB，由平面向量基本定理知：存在,x yR，使得OPxOAyOB 下面根据点P的位置分几种情况来考虑系
7、数和xy的值若Pl时，则射线OP与l无交点，由/lAB知，存在实数，使得OPAB 而ABOBOA ，所以OPOBOA ，于是=-=0 xy 若Pl时，（i）如图 1，当P在l右侧时，过P作/CDAB，交射线OAOB，于,C D两点，则OCDOAB，不妨设OCD与OAB的相似比为k由,P CD，三点共线可知：存在R使得：(1)(1)OPOCODk OAkOB 所以(1-)xykkk（ii）当P在l左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图 1 作P关于O的对称点P，由（i）的分析知：存在存在R使得：(1)(1)OPOCODk OAOB 所以-(1)OPk OAOB 于是-(1-)-xykkk
8、综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB 线性表示时，其系数和xy只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作AB边的垂线l，设点P在l上的射影为P，直线l交直线AB于点1P，则1|OPkOP(k的符号由点P的位置确定)，因此只需求出|OP的范围便知xy的范围例 2-1（全国高考真题）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 B
9、D 相切的圆上若AP=AB+AD，则+的最大值为A3B22C5D2【系数和】分析：如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，最大，此时33,AFABBEEFABABABAB故选 A.例 2-2（衡水中学二模）边长为 2 的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为 1，圆心在线段CD(含短点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量(,)APmABnAF m nR ，则mn的取值范围是（）5,3.5,2.6,5.2,1.DCBA更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君分析:如图，设APmABnAF ，由等和线结论，22AGABmnABA
10、B.此为mn的最小值；同理，设APmABnAF ，由等和线结论，5AHmnAB.此为mn的最大值.综上可知2,5mn.例 2-3已知ABC为边长为 2 的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上.若APABAC ，则2的取值范围是_【解析】如图,取AB中点为D,更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君2APABACADAC 显然,当P与C重合时,2取最小值 1.将CD平行移动至与O相切处,P为切点时,2取最大值.延长PO交CD于G,易知12OGOFFP.由等和线及平行截割定理,52,2EFAPFPAE.所以2的最大值为52.故2的取值范围是51,2
11、.1.在矩形ABCD中，1,2ABAD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD ，则+的最大值为()A 3 B 2 2 C 5 D 22.如图，正六边形ABCDEF，P是CDE内（包括边界）的动点，设(,)APABAFR ，则的取值范围是_ 3.如图在直角梯形ABCD中，/ABCD，ABAD，13ADDCAB，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设(,)APADABR 更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君则的取值范围是_4.若点C在以P为圆心,6 为半径的弧AB上,且PC xPAyPB ,则23xy的取值范围为_5.
12、（2023浙江高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，ABDC，2AB，1ADDC，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为12，且点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动若APxAByAC ，其中xyR，则4xy的取值范围是（）A3 22 34，B52 32，C253342，D17173322，技法技法 03 极化恒等式的应用及解题技巧极化恒等式的应用及解题技巧更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君知识迁移知识迁移极化恒等式极化恒等式22()()4ababa b恒等式右边有很直观的几何意义恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示
13、为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形 ABCD 中,ABa ADb 则 22()()4ABADABADa b 在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点,则对于三角形来说:2222()()|44ABADABADDBa bAM 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量
14、的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君例 3-1（全国高考真题）设向量满足，则A1B2C3D5由极化恒等式可得：2222()()144ababababa b，故选 A例 3-2（2023全国统考高考真题）正方形ABCD的边长是 2，E是AB的中点，则EC ED （）A5B3C2 5D5设 CD 中点为 O 点，由极化恒等式可得：22134EC EDE
15、ODC 故选：B.1（江苏高考真题）如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个三等分点，4 BA CA，1BF CF ，则BE CEuur uur 的值是 .2.如图,在ABC中,已知4,6,60ABACBAC,点,D E分別在边,AB AC上,且2,3ABAD ACAE ,若F为DE的中点,则BF DE 的值为_更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君3.（2022北京统考高考真题）在ABC中，3,4,90ACBCCP 为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PA PB 的取值范围是（）A 5,3B 3,5C 6,4D 4,6，则
16、25CM技法技法 04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧知识迁移知识迁移1.奔驰定理奔驰定理平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本技法我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的 logo 相似而
17、得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君如图，已知 P 为ABC内一点，则有0PBCPACPABSOASOBSOC .由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2.奔驰定理的证明奔驰定理的证明如图：延长OA与BC边相交于点D则BODABDBODABDACDCODACDCODAOCAOBSSSSSBDDCSSSSSDCBDODOBOCBCBC AOCAOBAOCAOBAOCAOBSSOBOCSSSS BODCODBODCODBOACOABOABOCAOCAOBCOASSSSSO
18、DOASSSSSSBOCAOCAOBSODOASS BOCAOCAOBAOCAOBAOCAOBAOCAOBSSSOAOBOCSSSSSS 0BOCAOCAOBSOASOBSOC 3.奔驰定理的推论及四心问题奔驰定理的推论及四心问题更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君推论O是ABC内的一点,且0 x OAy OBz OC ,则:BOCCOAAOBSSSx y z有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三
19、角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r.（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O在ABC内部，有以下四个推论：若O为ABC的重心，则0OAOBOC ；若O为ABC的外心，则sin2sin2sin20A OAB OBC OC ；或OAOBOC 若O为ABC的内心，
20、则0a OAb OBc OC ；备注：若O为ABC的内心，则sinsinsin0A OAB OBC OC 也对.若O为ABC的垂心，则tantantan0A OAB OBC OC ，或OA OBOB OCOC OA 例 4-1（宁夏高考真题）已知 O，N，P 在ABC所在平面内，且,0OAOBOC NANBNC，且PA PBPB PCPC PA，则点 O，N，P 依次是ABC的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A重心外心垂心B重心外心内心C外心重心垂心D外心重心内心更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君因为OAOBOC ，所以O
21、到定点,A B C的距离相等，所以O为ABC的外心，由0NANBNC ，则NANBNC ，取AB的中点E，则2NANBNECN ，所以2 NECN，所以N是ABC的重心；由PA PBPB PCPC PA ，得()0PAPCPB ，即0AC PB ，所以ACPB，同理ABPC，所以点P为ABC的垂心，故选 C.例 4-2（江苏高考真题）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足|ABACOPOAABAC ，,)0，则 P 的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【详解】OPOAAP ，()|ABACAPABAC 令|ABACAMABAC ，则AM 是以A为始
22、点，向量|ABAB 与|ACAC为邻边的菱形的对角线对应的向量，即AM在BAC的平分线上，APAM ，,AP AM 共线，故点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心，故选：B更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君例 4-3（2023全国高三专题练习）奔驰定理：已知点 O 是ABC内的一点，若,BOCAOCAOB的面积分别记为123,S SS，则1230S OASOBSOC “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”如图，已知 O 是ABC的垂心，且230OAOBOC
23、 ，则cosC=（）A3 1010B1010C2 55D55【详解】延长CO交AB于点 P，O是ABC的垂心，OPAB，1211:22SSOC BPOC AP :(tan):(tan)BP APOPPOBOPPOAtan:tantan():tan()tan:tanCOBCOAABAB同理可得13:tan:tanSSAC，231:tan:tan:tanSSSABC又1230S OASOBSOC ，tantantan0A OAB OBC OC 又230OAOBOC ，tan:tan:tan1:2:3ABC不妨设tan,tan2,tan3AkBkCk，其中0k tantantantan()1tant
24、anBCABCBC ，231 23kkkkk，解得1k 当1k 时，此时tan0,tan0,tan0ABC，则 A，B，C 都是钝角，不合题意，舍掉故1k，则tan30C，故 C 为锐角，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君22sin3cossincos1CCCC，解得10cos10C，故选：B1（2023 春上海长宁高三上海市延安中学校考期末）若O是ABC内一点，0OAOBOC ，则O是ABC的（）A内心B外心C垂心D重心2（2023江苏高三专题练习）在ABC中，若HA HBHB HCHC HA ，则点 H 是ABC的（）A垂心B重心C内心D
25、外心3（2023 春湖南株洲高三炎陵县第一中学校联考期末）（多选）如图.P为ABC内任意一点，角,A B C的对边分别为,a b c，总有优美等式0PBCPACPABSPASPBSPC 成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A若P是ABC的重心，则有0PAPBPC B若0aPAbPBcPC 成立，则P是ABC的内心C若2155APABAC ，则:2:5ABPABCSSD若P是ABC的外心，4A，PAmPBnPC ，则2,1mn 更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君技法技法 05 范围与最值的应用及解题技巧范
26、围与最值的应用及解题技巧例 5-1（浙江高考真题）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0acbc，则c的最大值是A1B2CD【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，则，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为 C例 5-2（四川高考真题）在平面内，定点 A，B，C，D 满足DA=DB=DC,DA DB=DB DC=DCDA 平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角
27、、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。本讲内容难度较大，需要综合学习。更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君=2，动点 P，M 满足AP=1，PM=MC，则2BM 的最大值是A434B494C376 34D372 334【详解】试题分析：由已知易得120,2ADCADBBDCDADBDC .以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则2,0,1,3,1,3.ABC设,P x y由已知1AP ，得()2221xy-+=，又1313 3,2222xyxyPMMCMBM 222+13 34xyBM，
28、它表示圆()2221xy-+=上的点xy，与点1,3 3的距离的平方的14，2222max14933 3144BM，故选 B.例 5-3（2023全国高三专题练习）若平面向量a，b，c满足1c，1a c ，3b c，2a b=，则a，b夹角的取值范围是（）A,6 2B,6C,3 2D,3【详解】设OAa，OBb，OCc，以 O 为原点，c方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系，10a c ，30b c，20a b，a，b，c三者直接各自的夹角都为锐角，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君1c，cos,1a caca c ，c s3o,b cbc
29、b c，cos,1aa c，,3cosbb c，即a在c上的投影为 1，b在c上的投影为 3，1,Am，3,Bn，如图1,am，3,bn32amnb 即1mn ，且222cos,19a ba babmn则2222222222244cos,9910919a bnmm nnmmn，由基本不等式得222292966nmnmmn，21cos,4a b，a与b的夹角为锐角，10cos,2a b，由余弦函数可得：a与b夹角的取值范围是,3 2，1（湖南高考真题）已知,a b 是单位向量，0a b .若向量c满足1,cabc则的取值范围是（）A2-1,2+1，B2-1,2+2，C1,2+1，D1,2+2，更
30、多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 12 5 类平面向量解题技巧类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法技法 01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”的应用及解题技巧知识迁移知识迁移形如ADxAByAC 条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y，使得ADxAByAC。则,B C D三点共线1xy当0
31、1xy，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间当1xy，则D与A位于BC两侧 1xy时，当0,0 xy，则D在线段BC上；当0 xy，则D在线段BC延长线上技法 01 “爪子定理”的应用及解题技巧技法 02 系数和（等和线）的应用及解题技巧技法 03 极化恒等式的应用及解题技巧技法 04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧技法 05 范围与最值的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握mnABCDABCD更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君（2）已知D在线段BC上，且:BDCDm
32、 n，则nmADABACmnmn 例 1-1（全国高考真题）设D为ABC所在平面内一点，且3BCCD ，则（）A.1433ADABAC B.1433ADABAC C.4133ADABAC D.4133ADABAC 解析：由图可想到“爪字形图得：1344ACABAD，解得：1433ADABAC 答案：A例 1-2 （2023 江 苏 模 拟）如 图，在ABC中，13ANNC，P是BN上 的 一 点，若211APmABAC ，则实数m的值为（）A.911 B.511 C.311 D.211解：观察到,B P N三点共线，利用“爪”字型图，可得ABCD更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
33、更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君APmABnAN ，且1mn，由13ANNC可得14ANAC，所以14APmABnAC ，由已知211APmABAC 可得：12841111nn，所以311m 答案：C1（2022全国统考高考真题）在ABC中，点 D 在边 AB 上，2BDDA记CAmCDn ，则CB（）A32mn B23mnC32mn D23mn【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出【详解】因为点 D 在边 AB 上，2BDDA，所以2BDDA ，即2CDCBCACD ，所以CB 3232CDCAnm 23mn 故选：B2.（全国高考真题）在ABC中，ABc，ACb
34、若点D满足2BDDC，则AD（）A2133bcB5233cbC2133bcD1233bc【答案】A【详解】试题分析：，故选A3.（2020新高考全国 1 卷统考高考真题）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设ABa，ADb，则EF 等于（）更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A12abB12abC12baD12ab【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC，则AC为ABC的中位线，111222EFACab，故选：A4（全国高考真题）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB
35、 A3144ABAC B1344ABAC C3144ABAC D1344ABAC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BEBABD ，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到BCBAAC ，之后将其合并，得到3144BEBAAC ，下一步应用相反向量，求得3144EBABAC ，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君111111222424BEBABDBABCBABAAC 1113124444BABAACBAAC ，所以3144EBABAC ，故选 A.
36、【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5（江苏高考真题）设D、E分别是ABC的边AB，BC上的点，12ADAB，23BEBC.若12DEABAC（12,为实数），则12的值是 【答案】12【详解】依题意，121212()232363DEDBBEABBCABACABABAC ，121263ABACABAC ，116，223，故12121632.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.技法技法 02 系数和（等和线）的应用及解题技巧系
37、数和（等和线）的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君知识迁移知识迁移如图，P为AOB所在平面上一点，过O作直线/lAB，由平面向量基本定理知：存在,x yR，使得OPxOAyOB 下面
38、根据点P的位置分几种情况来考虑系数和xy的值若Pl时，则射线OP与l无交点，由/lAB知，存在实数，使得OPAB 而ABOBOA ，所以OPOBOA ，于是=-=0 xy 若Pl时，（i）如图 1，当P在l右侧时，过P作/CDAB，交射线OAOB，于,C D两点，则OCDOAB，不妨设OCD与OAB的相似比为k由,P CD，三点共线可知：存在R使得：(1)(1)OPOCODk OAkOB 所以(1-)xykkk（ii）当P在l左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图 1 作P关于O的对称点P，由（i）的分析知：存在存在R使得：(1)(1)OPOCODk OAOB 所以-(1)OPk OA
39、OB 于是-(1-)-xykkk综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB 线性表示时，其系数和xy只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作AB边的垂线l，设点P在l上的射影为P，直线l交直线AB于点1P，则1|OPkOP(k的符号由点P的位置确定)，因此只需求出|OP的范围便知xy的范围例 2-1（全国高考真题）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点
40、 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若AP=AB+AD，则+的最大值为A3B22C5D2【系数和】分析：如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，最大，此时33,AFABBEEFABABABAB故选 A.例 2-2（衡水中学二模）边长为 2 的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为 1，圆心在线段CD(含短点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量(,)APmABnAF m nR ，则mn的取值范围是（）5,3.5,2.6,5.2,1.DCBA更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君分析:如图，设APmABnAF ，由等
41、和线结论，22AGABmnABAB.此为mn的最小值；同理，设APmABnAF ，由等和线结论，5AHmnAB.此为mn的最大值.综上可知2,5mn.例 2-3已知ABC为边长为 2 的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上.若APABAC ，则2的取值范围是_【解析】如图,取AB中点为D,更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君2APABACADAC 显然,当P与C重合时,2取最小值 1.将CD平行移动至与O相切处,P为切点时,2取最大值.延长PO交CD于G,易知12OGOFFP.由等和线及平行截割定理,52,2EFAPFPAE.所以2的最大值
42、为52.故2的取值范围是51,2.1.在矩形ABCD中，1,2ABAD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD ，则+的最大值为()A 3 B 2 2 C 5 D 2解：如图所示：更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君过A作BD的垂线，垂足为H，则AHCECFr，当,PE C，三点共线时，高线最长，即max3(+)3rr 2.如图，正六边形ABCDEF，P是CDE内（包括边界）的动点，设(,)APABAFR ，则的取值范围是_ 解：连接,BF AD因为正六边形ABCDEF，由对称性知道BFADADEC，设BF与AD交于点G，CE与
43、AD交于点H，当P在CE上时，AP在AD上射影最小为AH；当P与D重合时，AP在AD上射影最大为AD；则|AHADAGAG设|ABx，则|2xAGHD，|GHBCx，|2ADx，则343.如图在直角梯形ABCD中，/ABCD，ABAD，13ADDCAB，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设(,)APADABR 则的取值范围是_更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君解：设圆C与直线BD相切于点E，过A作AGBD于G，作直线/lDB，且直线l与圆C相切与F，连EF，则EF过圆心，且EFBD，由图可知，对圆C内任意一点PAP在直线AG上的
44、射影长度d满足：|AGdAGEF，又|3|=|10ADABAGDB，2|=2|EC|=2|CD|sin10EFABD所以351010d而dAG，所以5134.若点C在以P为圆心,6 为半径的弧AB上,且PC xPAyPB ,则23xy的取值范围为_【解析】令(23)PCxy PD ,则2323xyPDPAPBxyxy ,即11232323xyPDPAPBxyxy,其中1111,23PAPA PBPB .由2312323xyxyxy知点D在线段11AB上,如下图:更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君由于在11PAB中,11113,2,120PAP
45、BAPB,且点D在线段11AB上(含端点11,A B,因此1|PHPDPA,其中PH是边11AB上的高.222211111111219ABPBPAPBPAPBPA 可得1119AB.1 111111111sin|22PA BSPAPBAPBABPH可得3 57|19PH.所以,3 57|319PD.再由(23)PCxy PD 可知|62 57232,3|PCxyPDPD .5.（2023浙江高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，ABDC，2AB，1ADDC，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为12，且点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动若APxAByAC ，其中xyR，则4xy
46、的取值范围是（）A3 22 34，B52 32，C253342，D17173322，【答案】B【分析】建立直角坐标系，将4xy由P点坐标转化后数形结合求解【详解】以A点为坐标原点，,AB AD 方向为 x,y 轴正方向建立直角坐标系，则(0,0),(2,0),(1,1),(0,1)ABCD，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君(2,0),(1,1)ABBC ，设(,)P m n，则2mxyny，解得2mnxyn，故42zxymn，即2nmz，数形结合可得当1,12P时，z取最小值 2，当直线与圆221(1)(1)4xy相切时，|3|125z，z
47、取得最大值532.故选：B技法技法 03 极化恒等式的应用及解题技巧极化恒等式的应用及解题技巧知识迁移知识迁移极化恒等式极化恒等式22()()4ababa b恒等式右边有很直观的几何意义恒等式右边有很直观的几何意义:利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。更多全科试卷
48、尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形 ABCD 中,ABa ADb 则 22()()4ABADABADa b 在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点,则对于三角形来说:2222()()|44ABADABADDBa bAM 例 3-1（全国高考真题）设向量满足，则A1B2C3D5由极化恒等式可得：22
49、22()()144ababababa b，故选 A例 3-2（2023全国统考高考真题）正方形ABCD的边长是 2，E是AB的中点，则EC ED （）A5B3C2 5D5更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君设 CD 中点为 O 点，由极化恒等式可得：22134EC EDEODC 故选：B.1（江苏高考真题）如图，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个三等分点，4 BA CA，1BF CF ，则BE CEuur uur 的值是 .【答案】78极化恒等式2222224,1BA CAAB ACADBDBF CFFB FCFDBDBE
50、CEEB ECEDBD 因为、EF是AD上的两个三等分点,所以31|,|22ADEDFDED 联立解得:22513|,|28EDBD 所以78BE CE 2.如图,在ABC中,已知4,6,60ABACBAC,点,D E分別在边,AB AC上,且2,3ABAD ACAE ,若F为DE的中点,则BF DE 的值为_更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君解：取BD的中点N,连接,NF EB,则2 3BEAEBE,在DEB中,1/32FNEBFN,2221222144BF DEFB FDFNDBFNBF DE 3.（2022北京统考高考真题）在ABC中，