《专题02 奇偶性及应用13种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题02 奇偶性及应用13种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)含解析.docx（77页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题02 奇偶性及应用13种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)专题02 奇偶性及应用13种常见考法归类考点一 函数奇偶性的定义及判断考点二 抽象函数的奇偶性考点三 利用奇偶性求值考点四 利用奇偶性求解析式考点五 由函数的奇偶性求参数考点六 利用函数的奇偶性求最值考点七 应用函数的奇偶性画函数图象考点八 函数的单调性和奇偶性的综合应用考点九 从奇偶性到对称性(对称性的判别)考点十 对称性的综合应用考点十一 基于奇偶(对称性)的凸凹反转1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f
2、(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称注：奇函数图像关于原点对称f(x)f(x)偶函数图像关于轴对称f(x)f(x)对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)(ii)若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反(重要）利用性质法来判断奇偶性（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数）：（1） 奇函数奇函数奇函
3、数；（2）偶函数偶函数偶函数；（3）偶函数奇函数=非奇非偶函数记忆口诀：加减看自身（3）奇函数奇函数偶函数；（4）偶函数偶函数偶函数；（5）奇函数偶函数奇函数（6） （7）记忆口诀：乘除看正负（注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号）奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数2、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略（1）已知函数的奇偶性求函数值利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解（2）已知函数的奇偶性求解析式利用奇偶性求函数的解析式，已知函
4、数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可（3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.（4）应用奇偶性画图象和判断函数单调性如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函
5、数是奇函数如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性上述结论可简记为“奇同偶异”偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数 （5）利用函数的奇偶性求最值奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或
6、）上的最值。3、 常见函数的奇偶性及增减性（1）幂函数= 非零常数可看成偶函数（2） 是偶函数（如偶 先减后增 偶 先减后增）（3） 是奇函数（或）（如奇 增 奇 增）（4） 是奇函数（5）是奇函数（如奇 减 奇 减奇 增 奇 增）（6） 是奇函数（7） 是奇函数（如奇 增 奇 减 偶 增）（8）与（）都是奇函数（如：奇 增 奇 增 ）（9） 偶函数值域 还是偶函数 单调性与内层偶函数相同（如 偶函数 先减后增 偶函数 先减后增偶函数 先增后减 偶函数 先减后增奇函数 增函数 奇函数 增函数）（10）与都是偶函数（11）是奇函数；是偶函数；是奇函数（12）为偶函数；是奇函数。 考点一 函数奇偶
7、性的定义及判断1（2023上四川泸州高一校考期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）ABCD2（2023上广东中山高一中山纪念中学校考阶段练习）函数的奇偶性为A奇函数B偶函数C即奇又偶函数D非奇非偶函数3（2023上山西大同高一统考期末）若函数，则以下函数为奇函数的是（）ABCD4（2023上海高一专题练习）已知对于，但是非奇非偶函数，请写出一个满足条件的= 5（2023上河北唐山高三统考期末）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（）A为奇函数B为偶函数C为奇函数D为偶函数6（2023上山西朔州高一统考期中）符号表示不超过x的最大整数，如，定义函数，以下结论正确的
8、是（）函数的定义域是R，值域为0,1)；方程有无数个解；函数是奇函数；函数是增函数.ABCD7（2023上辽宁大连高一统考期末）已知函数.(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求不等式的解集.考点二 抽象函数的奇偶性（一） 平移与奇偶性8（2023上陕西高三校联考阶段练习）若函数的图象关于点对称，则（）A为偶函数B为偶函数C为奇函数D为奇函数9（2023下湖北武汉高二校联考期末）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（）A是偶函数BCD10（2023上四川成都高三成都七中校考开学考试）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论错误的是（）AB为奇函数C在上为减函数
9、D的一个周期为811（2023全国模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（）A是偶函数B的图象关于直线对称C是奇函数D的图象关于点对称12（2023上江西高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数满足，下列四个选项一定正确的是（）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是偶函数（二） 抽象型函数的奇偶性13（2023全国高一专题练习）已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足，则（）A（1）且为偶函数B且为奇函数C为增函数且为奇函数D为增函数且为偶函数14（2023上陕西西安高一校考期中）若定义在上的函数满足：对于任意的、，恒有，则函数为（）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D无法判断奇偶性1
10、5（2023上四川成都高一校考阶段练习）已知函数对任意的实数，都有，且.则此函数一定（）A是奇函数B是偶函数C函数图象关于直线对称D函数图象关于点对称16（2023上浙江高一期末）设函数的定义域为R，对任意，有且，则函数是（）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数17（2023上安徽高一期末）已知定义在上的函数对任意实数、，恒有，且当时，.(1)求的值；(2)求证：为奇函数；(3)求在上的最大值与最小值考点三 应用函数的奇偶性画函数图象18（2023上安徽淮北高一淮北一中校考期中）已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为 .19（2023下上海黄浦高一上海市大同中学校考期
11、末）若定义在R上的奇函数在区间上的图象如图所示，则的单调减区间是 20（2023上湖南怀化高二统考开学考试）已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（）ABCD考点四 利用函数的奇偶性识别图象21（2023全国高一假期作业）已知函数，则的大致图象为（）ABCD22（2023上云南昆明高一统考期末）函数的图象大致为（）ABCD23（2023上广东梅州高三统考阶段练习）函数的图象大致为（）ABCD考点五 利用奇偶性求值24（2023下重庆长寿高二统考期末）已知是定义域为的奇函数，当时，则 25（2023上辽宁高二开学考试）已知函数和均为上的奇函数，且，则的
12、值为（）ABCD626（2023上河南开封高一校考阶段练习）已知，则的值是（）ABCD考点六 利用奇偶性求解析式27（2023上高一课时练习）已知函数yf(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x22x3，则当x0时，f(x)的解析式是（）Af(x)x22x3Bf(x)x22x3Cf(x)x22x3Df(x)x22x328（2023上新疆乌鲁木齐高一新疆农业大学附属中学校考期末）若是定义在R上的奇函数，当时，则当时， .29（2023上江苏宿迁高一江苏省泗阳中学校考期末）定义在上的奇函数，当时，当时， 30（2023上北京高一北京市八一中学校考期中）已知函数是定义在R上的奇函数，则（）ABCD31
13、（2023上福建莆田高一校考期末）已知函数是奇函数，是偶函数，且.(1)求函数和的表达式(2)求在上的值域32（2023上江苏宿迁高一统考期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足若恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD33（2023上江苏无锡高一江苏省天一中学校考期中）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（）A B CD考点七 由函数的奇偶性求参数34（2023上四川泸州高一统考期末）若函数是上的偶函数，则的值为 .35（2023下湖南长沙高一湖南师大附中校考阶段练习）函数是定义在上的奇函数若，则的值为（）A6B5C4D336（2
14、023下河北衡水高三阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，则的值为ABC1D无法确定37（2023下湖南衡阳高二统考期末）若函数为偶函数，则 .38（2023高一课时练习）已知函数，若是偶函数，记，若是奇函数，记，则A0B1C2D-139（2023上海长宁统考二模）若函数为奇函数，则实数a的值为 40（2023下安徽亳州高二涡阳县第二中学校联考期末）函数为偶函数，则 41（2023上山西长治高一校考期末）设为奇函数，a为常数.(1)求a的值；(2)判断函数在区间上的单调性并证明.42（2023上贵州黔东南高二校考期末）函数是奇函数，则实数等于（）A或1B1CD43（2023下贵州黔南高二统考期
15、末）若函数是奇函数，则a的值为 44（2023上辽宁丹东高一凤城市第一中学校考期末）已知函数是奇函数，则实数的值为 .45（2023下湖南长沙高二统考期末）已知函数为偶函数，则 考点八 利用函数的奇偶性求最值46（2023上上海高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为 .47（2023全国高三专题练习）若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（）AB6CD548（2023上福建漳州高三福建省长泰县第一中学校考阶段练习）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为M，N，则的值为（）.A2023B2023C
16、4028D403049（2023上天津和平高一天津一中校考期末）已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是 .考点九 函数的单调性和奇偶性的综合应用50（2023上山东泰安高三山东省泰安第二中学校考阶段练习）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）ABCD51（2023上广西百色高一统考期末）设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（）ABCD52（2023上广东广州高三统考阶段练习）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（）ABCD53（2023上湖北高一校联考期中）已知函数为偶函数且在上单调递增，则使成立的的取值范围是（）ABCD54（202
17、3上新疆阿克苏高三校考期末）已知函数，满足，则的取值范围是 55（2023上四川高一四川省平昌中学校考阶段练习）定义在R上的奇函数对任意都有，若，则不等式的解集是（）ABCD56（2023下新疆高一校考开学考试）设是定义在上的奇函数，对任意的、，时，满足且，则不等式的解集为（ ）ABCD57（2023全国模拟预测）已知为R上的奇函数，若且，都有，则不等式的解集为（）ABCD58（2023浙江高一专题练习）设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是ABCD59（2023全国高一期末）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则、的大小关系是（）ABCD考点十 函
18、数的奇偶性和周期性的综合应用60（2023下河北邯郸高二校联考期末）已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（）ABC50D61（2023河南开封统考二模）已知定义在R上的奇函数，对任意的实数x，恒有，且当时，则A6B3C0D62（2023江苏常州校考三模）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则的值是（）A0BC1D63（2023黑龙江统考三模）函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A0BC1D64（2023下宁夏银川高二银川二中校考期末）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（）ABCD考点十一 从奇偶性到对称性
19、(对称性的判别)65（2023下甘肃白银高二校考期末）已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（）ABCD66（2023上山东菏泽高一菏泽一中校考期中）定义在上的函数，若的图象关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（）ABCD67（2023内蒙古模拟预测）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（）ABCD68（2023下内蒙古赤峰高一赤峰红旗中学松山分校校联考期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则的大小关系为（）ABCD考点十二 对称性的综合应用69（2023上黑龙江哈尔滨高三哈尔滨德强学校校考期末）已知函数是奇函数，若函数与图
20、象的交点分别，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为 70（2023下江苏南通高二校联考阶段练习）已知函数是定义在的偶函数，且当时，若函数有8个零点，分别记为，则的取值范围是 .考点十三 基于奇偶(对称性)的凸凹反转71（2023上宁夏银川高三校考期末）已知函数满足，且是偶函数，当时，若在区间内，函数有2个零点，则实数a的取值范围是 72（2023上重庆高一重庆巴蜀中学校考期末）已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.(1)求，的解析式；(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围.73（2023上上海杨浦高一复旦附中校考期末）设.(1)判断函数的奇偶性；(2)若，求证：函数在内有且仅有一个零点
21、.专题02 奇偶性及应用13种常见考法归类考点一 函数奇偶性的定义及判断考点二 抽象函数的奇偶性考点三 利用奇偶性求值考点四 利用奇偶性求解析式考点五 由函数的奇偶性求参数考点六 利用函数的奇偶性求最值考点七 应用函数的奇偶性画函数图象考点八 函数的单调性和奇偶性的综合应用考点九 从奇偶性到对称性(对称性的判别)考点十 对称性的综合应用考点十一 基于奇偶(对称性)的凸凹反转1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x
22、)是奇函数关于原点对称注：奇函数图像关于原点对称f(x)f(x)偶函数图像关于轴对称f(x)f(x)对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)(ii)若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反(重要）利用性质法来判断奇偶性（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数）：（2） 奇函数奇函数奇函数；（2）偶函数偶函数偶函数；（3）偶函数奇函数=非奇非偶函数记忆口诀：加减看自身（3）奇函数奇函数偶函数；（4）偶函数偶函数偶函数；（
23、5）奇函数偶函数奇函数（7） （7）记忆口诀：乘除看正负（注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号）奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数2、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略（1）已知函数的奇偶性求函数值利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解（2）已知函数的奇偶性求解析式利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的
24、特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可（3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.（4）应用奇偶性画图象和判断函数单调性如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数根据奇
25、、偶函数的图象特征，可以得到：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性上述结论可简记为“奇同偶异”偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数 （5）利用函数的奇偶性求最值奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。4、 常见函数的奇偶性及增减性（1）幂函数= 非零常数可看成偶函数（2） 是偶函数（如偶 先减后增 偶 先减后增）（3） 是
26、奇函数（或）（如奇 增 奇 增）（4） 是奇函数（5）是奇函数（如奇 减 奇 减奇 增 奇 增）（6） 是奇函数（7） 是奇函数（如奇 增 奇 减 偶 增）（8）与（）都是奇函数（如：奇 增 奇 增 ）（10） 偶函数值域 还是偶函数 单调性与内层偶函数相同（如 偶函数 先减后增 偶函数 先减后增偶函数 先增后减 偶函数 先减后增奇函数 增函数 奇函数 增函数）（10）与都是偶函数（11）是奇函数；是偶函数；是奇函数（12）为偶函数；是奇函数。 考点一 函数奇偶性的定义及判断1（2023上四川泸州高一校考期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）ABCD【答案】A【分析】根据奇函数和增函数
27、的定义逐一判断即可.【详解】A：设，显然该函数的定义域为全体实数，因为，所以该函数是奇函数，当时，显然此时该函数是增函数，又因为该函数是实数集上的奇函数，所以该函数是实数集上的增函数，因此本选项函数符合题意；B：设，该函数是定义域为全体非零实数集，因为，所以该函数一定不是增函数，因此本选项函数不符合题意；C：该函数定义域为全体实数，因为当时，所以该函数不是奇函数，因此本选项函数不符合题意；D：设，该函数是定义域为全体非零实数集，因为，所以该函数一定不是增函数，因此本选项函数不符合题意，故选：A2（2023上广东中山高一中山纪念中学校考阶段练习）函数的奇偶性为A奇函数B偶函数C即奇又偶函数D非奇
28、非偶函数【答案】A【解析】按照判定函数奇偶性的步骤，先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，求，与对比，即可得出结论.【详解】的定义域为，所以是奇函数.故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性的判定，不要忘记定义域满足的条件，属于基础题.3（2023上山西大同高一统考期末）若函数，则以下函数为奇函数的是（）ABCD【答案】A【分析】判断函数为奇函数，一是定义域必须关于原点对称，二是满足，然后分别检验各个函数即可. 对选项，均满足；对选项，不满足；对选项和，均不满足定义域必须关于原点对称.【详解】对选项，定义域为，且满足，函数为奇函数，故选项正确；对选项，定义域为，但不满足，函数不是奇函数，故选项
29、错误；对选项，定义域为，故不是奇函数，故选项错误；对选项，定义域为，故不是奇函数，故选项错误；故选：4（2023上海高一专题练习）已知对于，但是非奇非偶函数，请写出一个满足条件的= 【答案】（答案不唯一）【分析】利用奇偶函数的定义，写出满足条件的函数即可【详解】解：由，得或，因为是非奇非偶函数，所以只要找一个定义域为的函数，且该函数在部分区间上满足，在另一部分区间上满足，所以这样的函数可以是（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）5（2023上河北唐山高三统考期末）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（）A为奇函数B为偶函数C为奇函数D为偶函数【答案】C【分析】依次构造函
30、数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.【详解】令，则,且，既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；令，则,且，是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C6（2023上山西朔州高一统考期中）符号表示不超过x的最大整数，如，定义函数，以下结论正确的是（）函数的定义域是R，值域为0,1)；方程有无数个解；函数是奇函数；函数是增函数.ABCD【答案】A【分析】利用的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性的定义进行判断.【详解】对于：函数的定义域是，但，其值域为，故正确；对于：，可得，则，都是方程的解，故正确；对于：函数的定义域是，而，如，故函数不是奇函数，故错误；对于：由可知，当时，函数函数的
31、值都是，所以不是增函数，故错误，故选：A7（2023上辽宁大连高一统考期末）已知函数.(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)奇函数，证明见解析(3)【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解【详解】（1）要使函数有意义,则，解得，故所求函数的定义域为；（2）证明：由（1）知的定义域为，设，则,且，故为奇函数；（3）因为，所以，即可得，解得,又，所以，所以不等式的解集是考点二 抽象函数的奇偶性（三） 平移与奇偶性8（2023上陕西高三校联考阶段练习）若函数的图象关于
32、点对称，则（）A为偶函数B为偶函数C为奇函数D为奇函数【答案】C【分析】由图象变换可得：把的图象向左平移1个单位关于原点对称【详解】因为函数的图象关于点对称，所以将的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，即是奇函数故选：C9（2023下湖北武汉高二校联考期末）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（）A是偶函数BCD【答案】A【分析】根据奇函数和偶函数的定义可推导得到，进而得到，可知B错误；由推导得到，知A正确；由已知关系式无法推导得到，知CD错误.【详解】是奇函数，；是偶函数，是周期为的周期函数，B错误；，是偶函数，A正确；，无法得到，C错误；，无法得到，D错误.故选：A.10（
33、2023上四川成都高三成都七中校考开学考试）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论错误的是（）AB为奇函数C在上为减函数D的一个周期为8【答案】C【分析】由、可推出的周期为8，利用对称性、周期性求、判断奇偶性及时的单调性，即可得答案.【详解】由题设，则关于对称，所以，即，则，即，由，则关于对称，所以，即，综上，则，故，即易知的周期为8，D正确；，A正确；由，而为奇函数，故为奇函数，B正确；由时递增，则时递增，显然C错误.故选：C11（2023全国模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（）A是偶函数B的图象关于直线对称C是奇函数D的图象关于点对称【答案】C【分析】由周
34、期函数的概念易知函数的周期为2，根据图象平移可得的图象关于点对称，进而可得奇偶性.【详解】由可得2是函数的周期，因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，所以，所以是奇函数，故选：C.12（2023上江西高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数满足，下列四个选项一定正确的是（）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是偶函数【答案】C【分析】根据，结合奇函数的定义可得答案.【详解】因为，所以，所以函数为奇函数.故选：C.【点睛】本题考查了利用奇函数的定义判断函数的奇偶性，属于基础题.（四） 抽象型函数的奇偶性13（2023全国高一专题练习）已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足，则（）A（1）且为
35、偶函数B且为奇函数C为增函数且为奇函数D为增函数且为偶函数【答案】A【分析】令，可得，令，可得，令，换，可得，从而可得结论【详解】函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足，当时，可得（1）（1）（1），令，可得（1），令，换，可得函数是偶函数故选：A14（2023上陕西西安高一校考期中）若定义在上的函数满足：对于任意的、，恒有，则函数为（）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D无法判断奇偶性【答案】A【分析】分析可得，令可求得，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论.【详解】因为，所以，则，函数的定义域为，令，可得，所以，令，则，所以，故函数为奇函数.故选：A.15（2023上四川成都高一校考阶段练习）
36、已知函数对任意的实数，都有，且.则此函数一定（）A是奇函数B是偶函数C函数图象关于直线对称D函数图象关于点对称【答案】B【解析】令得，令，得，可得解.【详解】对任意实数，都有且，则令，即，解得，再令，则，则.根据函数性质可知：为偶函数.故B正确，A不正确，选项C、D条件不够推不出来.故选：B.【点睛】关键点点睛：利用赋值法求解是解题关键.16（2023上浙江高一期末）设函数的定义域为R，对任意，有且，则函数是（）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数【答案】B【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可.【详解】对任意，有令，得，令，得，即令，得，即函数
37、为偶函数.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的应用，根据函数奇偶性的定义集合抽象函数的关系，利用赋值法是解题的关键，属于一般题.17（2023上安徽高一期末）已知定义在上的函数对任意实数、，恒有，且当时，.(1)求的值；(2)求证：为奇函数；(3)求在上的最大值与最小值【答案】(1)(2)证明见解析；(3)最大值为，最小值为【分析】（1）由题意令即可求解；（2）令，利用函数的奇偶性定理即可证明.（3）利用函数单调性定义可得在上为减函数，利用函数的单调性以及函数为奇函数即可求解.【详解】（1）解：定义在上的函数对任意实数、，恒有，令，可得，从而.（2）证明：定义在上的函数对任意实数、，
38、恒有，令，可得，所以，故为奇函数.（3）解：对任意、，且，则，于是，则，所以，所以在上为减函数，故函数的最大值为，最小值为，因为，所以在上的最大值为，最小值为考点三 应用函数的奇偶性画函数图象18（2023上安徽淮北高一淮北一中校考期中）已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为 .【答案】【分析】根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象，由，当时，结合图象可得；当时，可得，所以的解为或.故答案为：.19（2023下上海黄浦高一上海市大同中学校考期末）若定义在R上的奇函数在区间
39、上的图象如图所示，则的单调减区间是 【答案】和【分析】由图象可求出函数在上减区间，再由函数为奇函数可得其在上的减区间，从而可答案【详解】由图可知在区间上的减区间为，因为是定义在R上的奇函数，所以在上的减区间为，所以的单调减区间是和，故答案为：和20（2023上湖南怀化高二统考开学考试）已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（）ABCD【答案】A【分析】先根据图象求出当时，不等式的解集和的解集，再利用函数奇偶性质得到是奇函数，求出时，不等式的解集，从而得到不等式在定义域为时，的解集.【详解】有图可得，当时，；当时，故.所以当时，不等式的解集为.又因为是
40、偶函数，是奇函数，所以是奇函数，由奇偶性可知，当时，不等式的解集为，所以不等式的解集是.故选：A.考点四 利用函数的奇偶性识别图象21（2023全国高一假期作业）已知函数，则的大致图象为（）ABCD【答案】A【分析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项；利用，可排除选项，从而可得结果.【详解】因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；又因为，可排除选项.故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排除
41、不合要求的图象.22（2023上云南昆明高一统考期末）函数的图象大致为（）ABCD【答案】A【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断.【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D；又时，排除选项C，故选项A正确.故选：A.23（2023上广东梅州高三统考阶段练习）函数的图象大致为（）ABCD【答案】D【分析】根据函数的奇偶性可排除BC,根据单调性可判断A，即可求解.【详解】的定义域是，关于原点对称，所以是偶函数，排除B，C；当时，易知在上是增函数，排除A故选：D考点五 利用奇偶性求值24（2023下重庆长寿高二统考期末）已知是定义域为的奇函数，当时，则