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1、专题十一直线、平面垂直的判定与性质XXXXXXXXX1直线与平面垂直的判定定理和性质定理1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点（1）证明：平面PAB；（2）若点N到平面PCM的距离为，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接AC，在中，因为，所以，因为，所以是等边三角形因为点是的中点，所以，在中，满足，所以，而，所以平面（2）过点作，垂足为，由（1）可知平面，因为平面，所以平面平面，平面平面，所以平面由得，解得，所以2如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，（1）证明：平面PAC；（2）若，求二面角的正弦值【答案】
2、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取的中点，连接，因为底面ABCD是梯形，所以四边形为菱形，则，所以，所以，由已知可得，所以，所以，因为，所以平面PAC（2）因为，所以，所以为等腰直角三角形，由（1）知，平面，平面，所以平面平面，取的中点，连接，则，因为平面平面，平面，所以平面，连接，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为3如图，在四棱锥中，（1）证明：平面；（2）在下面三个条件中选择两个条件：_，求点到平面的距离；二面角为；直线与平面成角为【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析【
3、解析】（1）取的中点为，连接，可知四边形是平行四边形，所以，所以点在以为直径的圆上，所以，又，且平面，所以平面（2）选因为平面，所以，又因为，所以二面角的平面角为，所以，又因为，所以为等边三角形，因为平面，平面，所以平面平面，连接交于点，则为的中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，由题意可知，所以，故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由，得，令，则，点到平面的距离为选因为平面，平面，所以平面平面，易知为在平面内的射影，即为与平面所成的角，即，又因为，所以为等边三角形连接交于点，则为的中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，由题
4、意可知，所以，故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由，得，令，则，点到平面的距离为选因为平面，平面，所以平面平面，易知为在平面内的射影，即为与平面所成的角，即，因为平面，所以，又因为，所以二面角的平面角为，所以，所以为等边三角形连接交于点，则为的中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，由题意可知，所以，故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由，得，令，则，点到平面的距离为4如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，O为AC的中点，M为内部或边界上的动点，且平面（1）证明：；（2）设直线PM与平面AB
5、C所成角为，求的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：在三棱锥中，连接OB，OP，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点，所以，又，所以平面POB，因为平面POB，所以（2）由（1）知，平面平面ABC，平面平面，平面PAC，所以平面ABC又，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，同理可求得平面PBC的法向量因为平面PAB，平面PBC，所以，即，即，所以又，所以所以，又平面，所以是平面ABC的一个法向量，所以，令，所以，当，即时，取得最大值为，此时取得最小值为注：也可以分别取PC，BC的中点
6、E，F，先证明M在线段EF上5如图，在长方体中，点在线段AB上（1）证明：；（2）当点是AB中点时，求与平面所成角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，因为在长方体中，所以有平面，平面，所以，又因为，所以四边形是正方形，所以，又，所以平面，又平面，所以（2）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为，当点是AB中点时，可得，所以，设为平面的一个法向量，则，即，令，可得，所以，又，所以，设与平面所成角为，则，即，所以与平面所成的角为6如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，（1）证明：；（2）求点C到平面PBD的距离【
7、答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：如图，过点A作，垂足为E，连接AC，设AC与BD交于点O因为底面ABCD是等腰梯形，所以，又，所以，因为，所以，则，同理因为，所以，即因为底面ABCD，底面ABCD，所以又，平面PAC，所以平面PAC又平面PAC，所以（2）解：由（1）可知，所以又平面ABCD，所以因为，所以，在中，所以，故设点C到平面PBD的距离为d，因为，所以，解得，即点C到平面PBD的距离为2平面与平面垂直的判定定理和性质定理1在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设中点为，的外心
8、为，的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两条垂线的交点，则点即为三棱锥外接球的球心，因为和都是边长为的正三角形，可得，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，所以四边形是边长为1的正方形，所以外接球半径，所以到平面的距离，即点到平面距离的最大值为，故选D2如图，在直三棱柱中，F为棱上一点，连接AF，（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，延长和CB的延长线相交于点E，连接AE，则AE为平面与底面ABC的交线，由已知得，所以，由AB、BC的长都为3，AC的长为，得，所以，在三角形ABE中，由余弦定
9、理，得，所以，所以，即，又是直三棱柱，故平面ABC，又平面ABC，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面（2）以E为坐标原点，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，不妨设，由（1）得，设平面的法向量为，则，即，不妨设，设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为3如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且（1）证明：平面平面ABCD；（2）若，且线段SD上一点E满足平面AEC，求AE与平面SAB所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：如图，取AD的中点O，连接SO，
10、CO，AC因为四边形ABCD是边长为2的菱形，所以，且则为正三角形，故，因为，所以为直角三角形，所以又因为，所以，所以又因为，平面，所以平面又因为平面ABCD，所以平面平面ABCD（2）解：如图，连接BD，设AC，BD的交点为F因为平面AEC，平面平面，所以，所以E为线段SD中点因为，且O为AD中点，所以又因为，且，AD，平面ABCD，所以平面ABCD所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，设平面SAB的法向量为，则，取，得，设AE与平面SAB所成角为，则4如图，在三棱柱中，侧面底面，为的中点，且（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离【答案】（1）证明见
11、解析；（2）【解析】（1）证明：，且为的中点，又侧面底面，平面平面，且平面，平面（2）解：连接，则，且，因为平面，则，而，因为平面，平面，所以，因为，平面，且，故四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故，设点到平面的距离为，由，得，故点到平面的距离是5如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，为的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取的中点，连接，四边形是矩形，且，分别是，的中点，是等边三角形，是的中点，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，又，平面，平面，又平面，（2）设直线与平面所成角为连接，则，设到平面的距离为，则，故到平面的距离为6在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，是边的中点（1）证明：；（2）若平面与平面所成二面角为60，求四棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在梯形中，平面平面，平面平面，平面，平面，即（2）如图，建立空间直角坐标系，取的中点，因为，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，设，设平面的一个法向量，令，可得，平面的一个法向量，