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1、一方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；利用基本不等式求出取值范围；利用函数的值域的求法，确定取值范围二解题策略类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例1】【安徽省六安市第一中学2019届高考模拟四】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（
2、）ABCD【答案】D【解析】解：设椭圆的左焦点为则故要求的最小值，即求的最小值，圆的半径为2所以的最小值等于，的最小值为，故选D.【指点迷津】1. 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，从而解决问题.2.在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷【举一反三】1.【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】已知实数满足，则的最大值为（ ）AB2CD4【答案】D【解析】设点在圆上
3、，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，作直线于点，直线于点，取的中点，作直线于点，由梯形中位线的性质可知，当直线时，直线方程为，两平行线之间的距离：，由圆的性质，综上可得：的最大值.本题选择D选项.2.点 分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（ ）A7B8C9D10【答案】A【解析】设圆 是圆 关于直线 对称的圆，可得,圆的方程为，可得当点 位于线段 上时，线段 的长就是圆 与圆上两个动点之间的距离最小值，此时的最小值为，,圆的半径为,圆的半径为 ，因此 的最小值为 ，所以A选项是正确的.类型二 通过建立目标
4、问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例2】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为_【答案】【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或当时，故舍去，所以抛物线方程为，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，设点（为参数），则， 【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得
5、到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键【举一反三】【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（ ）ABCD【答案】A【解析】由，得.设，则， .又到直线的距离，则的面积 ，当且仅当，即时，的面积取得最大值.此时，.故选A.类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例3】【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】若直线xmy+m0与圆（x1）2+y21相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（1，0）D（2，0）【答
6、案】D【解析】圆与直线联立，整理得图像有两个交点方程有两个不同的实数根，即得.圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.，解得，故选D项.【指点迷津】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.【举一反三】已知直线与椭圆相交于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为_【答案】类型四 利用基本不等式求范围【例4】如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ） A B C D 【答
7、案】C【解析】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为由抛物线的定义得，又，所以同理当直线与x轴垂直时，则有， 当直线与x轴不垂直时，设直线方程为，由消去y整理得，当且仅当时等号成立综上可得选C【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件【举一反三】【1.河南省安阳市2019届高考一模】已知双曲线的一个焦点恰为圆：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为点P在双
8、曲线C的右支上，分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，（）A2B4C6D8【答案】B【解析】由圆：的圆心（2，0），可得焦点，双曲线C的渐近线方程为，可得，且，解得，设，可得，当且仅当时取等号，可得故选：B2.【四川省凉山州市2019届高三第二次诊断】已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为_【答案】8【解析】设，设直线为,联立直线和抛物线得到，两根之和为：,同理联立直线和抛物线得到 由抛物线的弦长公式得到 代入两根之和得到，已知，故答案为：8.类型五 构建目标函数，确定函数值范围或最值【例5】【上海市
9、交大附中2019届高考一模】过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为_【答案】【解析】点为直线上的任意一点，可设，则过的圆的方程为，化简可得，与已知圆的方程相减可得的方程为，由直线的方程为，联立两直线方程可解得，故线段的中点，点到直线的距离，即故答案为：【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决【举一反三】1.【2019届高三第二次全国大联考】已知椭圆的右焦点为，左顶
10、点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为ABCD【答案】A【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，所以，故由可得，整理得 ，显然函数在上单调递增，所以，即故选A2.【山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟】已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是_【答案】【解析】解：设双曲线的左焦点为，连接，可得四边形为矩形，设，即有，且，由，可得，则，可得，即有，则，即有故答案为：类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例6】【云南省保山市2019年高三统一检测】已知坐标原
11、点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是_【答案】【解析】根据题意，直线，即，则有，解可得，则直线恒过点设，又由与直线垂直，且为垂足，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，所以；即的取值范围是；故答案为：【指点迷津】1.本题根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案2.此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；（3）如果
12、为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；【举一反三】已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_【答案】【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=）可得B1PA等于向量与的夹角，A（a，0），B1（0，b），B2（0，b），F2（c，0）=（a，b），=（c，b），B1PA为钝角，与的夹角大于，由此可得0，即ac+b20，将b2=a2c2代入上式得：a2acc20，不等式两边都除以a2，可得1ee20，即e2+e10，解之得e或e，结合椭圆的离心率e（0，1），可
13、得e1，即椭圆离心率的取值范围为（，1）故答案为（，1）三强化训练一、选择题1【江西省上饶市2019届高三二模】已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且，若的范围为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】设F为双曲线的右焦点，连接AF，BF，,四边形AFBF为矩形，且AB=2c，在中， （1）， （2）（1）（2）两式相加故选：B2【四川省南充市高三2019届第二次高考适应】已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】联立 得：（a2+b2）x22a2x+a2a2b
14、20，设P（x1，y1），Q（x2，y2）4a44（a2+b2）（a2a2b2）0，化为：a2+b21x1+x2 ，x1x2OPOQ，x1x2+y1y2x1x2+（x11）（x21）2x1x2（x1+x2）+10，2+10化为a2+b22a2b2b2椭圆的离心率e满足e，化为54a26解得： 2a 满足0椭圆长轴的取值范围是，故选：A3【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】已知抛物线：，定点，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】作出抛物线，如图所示. 由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.设直线的方程为，联立得.令，得，此时，所以.4【四川省
15、内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】抛物线的准线方程是若点的坐标为，此时直线的方程为，显然点到直线的距离的最小值是1若点的坐标为，其中则直线的斜率为直线的斜率为直线的方程为即，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为代入抛物线方程得所以解得所以与直线平行且与抛物线相切的直线方程为所以点到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，即因为所以综合两种情况可知点到直线的距离的最小值的取值范围是所以选B项.5【2019届湘赣十四校高三第二次联考】如果图至少覆盖函数的一个
16、最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】化简得，所以，函数靠近圆心的最大值点为，最小值点为，所以只需，解之可得.故选D6【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设|m，|n，|2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，=,故选：D7【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知正方体中，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为
17、（ ）ABCD【答案】B【解析】设的中点为，连接、，则在中，.是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.以为原点建系如图所示，则，设的坐标为，则,.设点的坐标为，则 .故选：B8【北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习】已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（ ）AB,CD）【答案】D【解析】圆C（2,0），半径r，设P（x，y），因为两切线，如下图，PAPB，由切线性质定理，知：PAAC，PBBC，PAPB，所以，四边形PACB为正方形，所以，PC2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，2），直线方程即，只要直线
18、与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.二、填空题9【广东省执信中学2018届高三11月月考】抛物线的焦点为，设、是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为_【答案】【解析】解：由抛物线焦半径公式得，所以由，得，因此，所以的最大值为.所以填10【上海市徐汇区2019届高三上学期期末】已知圆M：，圆N：直线分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为_【答案】8【解析】由题意可得，为椭圆上的点，由题意可知，故答案为：811【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知
19、点，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_【答案】【解析】设点P(x,y),（x1），所以，因为，当y0时，y=,所以，由于函数在1，+）上都是增函数，所以函数在1，+）上是增函数，所以当y0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)1.当y0时，y=,所以，由于函数在1，+）上都是增函数，所以函数在1，+）上是减函数，所以当y0时函数k(x)0.综上所述，的取值范围是.12.【北京市顺义区2019届高三期末】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点交抛物线的准线于点C，满足：若，则_；若，则的取值范围为_【答案】3 【解析】解：由题意，抛物线的准线为，所以另一种情况同理所以AF的斜率为
20、，方程为，代入抛物线方程可得，所以可得，因为：，所以，设直线AB的方程为，代入到，可得，由，可得，解得故答案为：3，13.已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是_【答案】【解析】 连接， 由为中位线，可得 ， 圆，可得且，由椭圆的定义可得，可得，又，可得，即有，即为，化为，即，即有，则，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为14【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知是抛物线上一动点，定点，过点作轴于点，则的最小值是_【答案】【解析】由抛物线可知，其焦点坐标为，准线，设点P到其准线的距离为，根据抛物线的定义可的
21、 则点P到y轴的距离为，且 则（当且仅当三点共线时取等号），所以的最小值为2.15【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_【答案】【解析】设点P(x,y),（x1），所以，因为，当y0时，y=,所以，由于函数在1，+）上都是增函数，所以函数在1，+）上是增函数，所以当y0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)1.当y0时，y=,所以，由于函数在1，+）上都是增函数，所以函数在1，+）上是减函数，所以当y0时函数k(x)0.综上所述，的取值范围是.16【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】以抛物
22、线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点（在线段上），延长交抛物线的准线于点，若，且，则的最大值为_【答案】32【解析】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，因为，两点为圆与轴的两个交点，不妨令为轴正半轴上的点，由得，；所以直线的斜率为，因此直线的方程为，由得；由得，所以，又，且，所以，即，因此，当且仅当时，取等号.故答案为17【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（一)】已知抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交于两点，若，则直线与圆相交所得最短弦的长度为_【答案】4【解析】由题意可知，2，2，4，设，则，y
23、1y24又直线，联立方程组消去x得：y24ty4n0，则y1y24n，y1+y24t，y1y24，n1即直线过点E（1，0）又圆的圆心P（2，-2），半径r=3，当弦最短时，PE,弦长=2=4,故答案为:4.18【山东省聊城市2019届高三一模】抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_【答案】或【解析】设点的坐标为 当且仅当，即时取等号，此时点坐标为或，此时直线的方程为即或故答案为：或19【四川省成都市2019届高三第二次诊断】已知为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点,抛物线在两点处的切线分别是,且相交于点,则的小值是_.【答案】6【解析】设直线l的方程
24、为：ykx+1，A（），B（联立，化为：x24kx40，可得：4k，4，|AB|k（）+44k2+4对x24y两边求导可得：y，可得切线PA的方程为：y（x）切线PB的方程为：y（x），联立解得：x（）2k，y1P（2k，1）|PF|PF|，令t2则|PF|tf（t），f（t）1，当t4, f（t）0;t4, f（t）0可得t4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）6当且仅当k时取等号故答案为：620【天津市和平区2019届高三下学期第一次调查】已知为正数，若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是_.【答案】【解析】圆的圆心坐标为(0,0)，半径r=2，由直线被圆截取的弦长为,可得圆心到直线的距离，则时,取得最大值.故答案为：