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1、第第2章章连续时间信号分析连续时间信号分析基本内容基本内容连续信号的时域分析连续信号的时域分析周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅里叶变换傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换1 信号分析是将一复杂信号分解为若干简单分量的叠信号分析是将一复杂信号分解为若干简单分量的叠加，并以这些分量的组成情况去考察信号的特性。加，并以这些分量的组成情况去考察信号的特性。时域分析时域分析（波形分析）：是研究信号的幅值等参数、（波形分析）：是研究信号的幅值等参数、信号的稳态和交变分量随时间的变化情况，其中最常用信号的稳态和交变分量随时间的变
2、化情况，其中最常用的是把一个信号在时域上分解为具有不同延时的简单冲的是把一个信号在时域上分解为具有不同延时的简单冲激信号分量的叠加，通过卷积的方法进行系统的时域分激信号分量的叠加，通过卷积的方法进行系统的时域分析。析。频域分析：频域分析：是把一个复杂信号分解为一系列正交函是把一个复杂信号分解为一系列正交函数的线性组合，把信号从时域变换到频域中进行分析，数的线性组合，把信号从时域变换到频域中进行分析，其中最基本的是把信号分解为不同频率的正弦分量的叠其中最基本的是把信号分解为不同频率的正弦分量的叠加，即傅里叶变换（级数）的方法来进行信号分析，也加，即傅里叶变换（级数）的方法来进行信号分析，也称称“
3、频谱分析频谱分析”。2 时域：方法直观；一般求解微分方程，对复杂信号时域：方法直观；一般求解微分方程，对复杂信号的分解很难。的分解很难。频域：可得到直观的频谱图；对复杂信号转换成简频域：可得到直观的频谱图；对复杂信号转换成简单代数方程求解。单代数方程求解。2.1 2.1 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析 最为重要的方法是将信号分解为冲激信号的叠加，最为重要的方法是将信号分解为冲激信号的叠加，在这一基础上，连续系统的响应，可应用卷积积分的方在这一基础上，连续系统的响应，可应用卷积积分的方法来求解。法来求解。2.1.1 2.1.1 基本的连续信号基本的连续信号1 1、正弦信号正弦信号
4、x(t)=Asin(t+)t x(t)A3正弦信号是周期信号，周期为正弦信号是周期信号，周期为T，角频率为角频率为和频率为和频率为f在信号与系统分析中，有时要遇到衰减的正弦信号在信号与系统分析中，有时要遇到衰减的正弦信号01x(t)t4 a 速率，速率，a 越大，速率越快越大，速率越快。=1/a 时间常数。时间常数。实际中，较多遇到的是单边衰减指数信号。实际中，较多遇到的是单边衰减指数信号。2 2、指数信号指数信号 x(t)=Aeat式式中，中，a是实常数。是实常数。若若a 0,信号随时间而增加。信号随时间而增加。若若a 0a1)或扩展或扩展(a 1)。此此运算也称为时间轴的运算也称为时间轴的
5、尺度倍乘或尺度变换，也可简称尺尺度倍乘或尺度变换，也可简称尺度度。16o 1 2x(t)to 1 x(2t)to 2 4x(t/2)t17 【例【例2-1】已知信号已知信号x(t)的波形如图的波形如图，试画出试画出x(3t 2)的波形。的波形。2 1 o 1x(t)t 2 1 o 1x(3t)t 2 1 o 1x(3t)t 2 1 o 1x(3t 2)t18（二）微分和积分（二）微分和积分 信号信号x(t)的的微分运算是指微分运算是指x(t)对对t取导数，即取导数，即o 1 2x(t)to x(t)t 1 2 信号信号x(t)经微分经微分后突出了他的变化后突出了他的变化部分。部分。19o x(
6、t)t 1 21 信号信号x(t)的积分运算是指的积分运算是指x()在在(，t)区间内的区间内的定积分，即定积分，即 信号信号x(t)经积分经积分后，突变部分可变后，突变部分可变的平滑，利用这一的平滑，利用这一作用可削弱信号中作用可削弱信号中的毛刺的影响。的毛刺的影响。o t 1 2120（三）两信号的相加或相乘（三）两信号的相加或相乘 x1(t)=sin t x2(t)=sin8 t x1(t)+x2(t)=sin t+sin8 t x1(t)x2(t)=sin t sin8 t x1(t)21 x2(t)x1(t)+x2(t)22 x1(t)x2(t)x1(t)x2(t)232.1.3 连
7、续信号的时域分解连续信号的时域分解 为了便于分析与处理，有时需要将信号分解为一些为了便于分析与处理，有时需要将信号分解为一些简单的基本信号之和，犹如在力学中将任一方向的力分简单的基本信号之和，犹如在力学中将任一方向的力分解为几个分力一样。信号可以从不同角度分解：解为几个分力一样。信号可以从不同角度分解：1.1.直流分量与交流分量直流分量与交流分量 信号平均值即为信号的直流分量。从原信号去掉直信号平均值即为信号的直流分量。从原信号去掉直流分量即为信号的交流分量。流分量即为信号的交流分量。x(t)=xD+xA(t)2.2.奇分量与偶分量奇分量与偶分量 xe(t)=xe(t)xo(t)=xo(t)2
8、4 x(t)=0.5 x(t)+x(t)+x(t)x(t)=0.5 x(t)+x(t)+0.5 x(t)x(t)xe(t)=0.5 x(t)+x(t)xo(t)=0.5 x(t)x(t)1 o 1 2x(t)t1 1 o 1 2 xo(t)t0.5 1 o 1 2xe(t)t10.525x(t)to1xe(t)to0.5xo(t)to0.526t 0 x(t)t1 t1 在任意时刻在任意时刻t=t1时时,脉冲可表示为脉冲可表示为 当当 t1,窄脉冲变为冲激函数。所以窄脉冲变为冲激函数。所以,任意复杂信任意复杂信号分解为具有不同时延冲激信号的叠加号分解为具有不同时延冲激信号的叠加,其冲激强度即为
9、其冲激强度即为冲激处的函数值冲激处的函数值x(t1)与与 t1 的乘积。的乘积。3.3.脉冲分量脉冲分量 一个复杂信号可以分解为一系列具有不同时延的矩一个复杂信号可以分解为一系列具有不同时延的矩形窄脉冲的叠加。形窄脉冲的叠加。x(t1)u(t t1)u t t1 t1)27 上式实际上是函数的卷积积分表达式上式实际上是函数的卷积积分表达式,表明：时域里表明：时域里任意函数等于这一函数与冲激函数的卷积任意函数等于这一函数与冲激函数的卷积,卷积的几何解卷积的几何解释是上述一系列矩形窄脉冲的求极限过程。释是上述一系列矩形窄脉冲的求极限过程。4.4.实部分量与虚部分量实部分量与虚部分量 若若 x(t)
10、是复函数是复函数 x(t)=xr(t)+j xi(t)共轭函数共轭函数 x*(t)=xr(t)j xi(t)x(t)x*(t)=|x(t)|2 =xr2(t)+xi2(t)28 虽然实际信号都是实函数，但在信号分析理论中，虽然实际信号都是实函数，但在信号分析理论中，常借助复信号来研究实信号的问题。它可以建立某些有常借助复信号来研究实信号的问题。它可以建立某些有益的概念或简化运算。益的概念或简化运算。5.正交函数分解正交函数分解 如果用正交函数集来表示一个信号，那么组成信号如果用正交函数集来表示一个信号，那么组成信号的各分量就是相互正交的。例如，用各次谐波的正弦与的各分量就是相互正交的。例如，用
11、各次谐波的正弦与余弦信号叠加表示一个矩形脉冲，各正弦、余弦信号就余弦信号叠加表示一个矩形脉冲，各正弦、余弦信号就是此矩形脉冲信号的正交函数分量。是此矩形脉冲信号的正交函数分量。把信号分解为正交函数分量的研究方法，在信号与把信号分解为正交函数分量的研究方法，在信号与系统理论中占有重要地位，这将使本课程的主要课题之系统理论中占有重要地位，这将使本课程的主要课题之一。一。292.1.4 2.1.4 连续信号的时域分析方法连续信号的时域分析方法卷积法卷积法(i)i)输入信号可分解为一系列矩形窄脉冲输入信号可分解为一系列矩形窄脉冲 时的时的极限极限不同时延冲激信号分量的叠加不同时延冲激信号分量的叠加 (
12、ii)ii)分别求出每个冲激信号分量的响应分别求出每个冲激信号分量的响应(iii)iii)根据根据LS的叠加性，各分量响应的叠加得到系统总的叠加性，各分量响应的叠加得到系统总的输出响应。的输出响应。h(t)y(t)x(t)1 1、卷积法求线性系统的零状态响应、卷积法求线性系统的零状态响应 设一线性系统，其初始条件为设一线性系统，其初始条件为0，若系统的冲激响，若系统的冲激响应为应为h(t),当输入为当输入为x(t)时，可用卷积法求出其零状态响时，可用卷积法求出其零状态响应应y(t)。30t 0 x(t)t 0 x()h(t)t 0 y(t)312.2.卷积运算的图解卷积运算的图解(i)变量置换
13、变量置换 t ，将将x(t),h(t)x(),h()；(ii)反褶反褶 h()h()时间轴反转时间轴反转；(iii)平移平移 h()h(t )；(iv)相乘相乘 x()与与h(t )两图形相乘，有重叠部分即为乘两图形相乘，有重叠部分即为乘积值，不重叠部分乘积为零积值，不重叠部分乘积为零；(v)积分求和积分求和 x()与与h(t )乘积曲线下的面积，就是乘积曲线下的面积，就是t时时刻的卷积值。再不断平移刻的卷积值。再不断平移h(t )，h(t )和和x()两图两图形无重合面积为止，即可得到所有相应时刻的卷积值。形无重合面积为止，即可得到所有相应时刻的卷积值。举例说明举例说明 0 x(t)t0.5
14、 0 h(t)t32（a）变量置换变量置换（d）最终卷积结果最终卷积结果 0 x()0.5 0 h()（b）反褶反褶0.5 1 0h()（c）平移相乘平移相乘 0 t x()h(t)0 x()h(t)0 t 0 t y(t)t0 233 t 0 y(t)=x(t)h(t)=00 t 11 t 2 y(t)=x(t)h(t)=034卷积的性质卷积的性质（）任意（）任意函数与冲激函数的卷积仍为该函数本身函数与冲激函数的卷积仍为该函数本身x(t)(t t0)=x(t t0)（）（）任意函数任意函数 x(t)与阶跃函数的卷积有与阶跃函数的卷积有（）交换率（）交换率 x1(t)x2(t)=x2(t)x1
15、(t)（）（）分配率分配率 x1(t)x2(t)+x3(t)=x1(t)x2(t)+x1(t)x3(t)35物理意义：物理意义：(i)i)系统对于几个相加输入信号的零状态响应等于每系统对于几个相加输入信号的零状态响应等于每个激励单独作用的叠加。个激励单独作用的叠加。(ii)ii)由冲激响应为由冲激响应为h1(t)及及h2(t)的并联系统等效于一个的并联系统等效于一个冲激响应为冲激响应为h1(t)+h2(t)的系统。的系统。h(t)y(t)x1(t)+x2(t)y(t)+h(t)y1(t)x1(t)h(t)y2(t)x2(t)y(t)+h1(t)y1(t)h2(t)y2(t)x(t)h1(t)+h2(t)y(t)x(t)36（）结合率（）结合率 x1(t)x2(t)x3(t)=x1(t)x2(t)x3(t)若冲激响应分别为若冲激响应分别为h1(t)和和h2(t)的串联系统可等效为一个的串联系统可等效为一个冲激响应为冲激响应为h1(t)h2(t)系统系统。h1(t)x(t)h2(t)y(t)h1(t)h2(t)y(t)x(t)（6）两函数卷积后的导数等于其中一函数之导数与另两函数卷积后的导数等于其中一函数之导数与另一函数之卷积，即一函数之卷积，即37（7）两函数卷积后的积分等于其中一函数之积分与另两函数卷积后的积分等于其中一函数之积分与另一函数之卷积，即一函数之卷积，即38