2024届高三1月大联考考后强化卷（新课标II卷）数学试题（新高考卷）（新教材）含答案.pdf-淘文阁

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1、数学试题第 1 页（共 4 页）数学试题第 2 页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司内装订线外装订线学校：_姓名：_班级：_考号：_绝密启用前绝密启用前2024 届高三 1 月大联考考后强化卷（新课标 II 卷）数学（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题

2、，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2|20,1Ax xxBxxN|，则AB A1B0,1C(,1D0,12已知复数z满足(43i)iz，则z的虚部为A425B425C4i25D4i253已知平面向量,a b满足23a，(2 0)，b，|1ab，则a与b的夹角等于A6B3C23D564佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体呈圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美奂佛兰德现代艺术中心的底面直径为8m，侧面积为28 229m，则该建筑的高为A26m

3、B28mC30mD36m5已知(0,)2，且cos()2cos24，则sin2A34B14C14D346如图，已知1F，2F分别是双曲线 C：22221xyab的左、右焦点，P，Q 为双曲线 C 上两点，满足12FPF Q，且221|2|5|F QF PFP，则双曲线 C 的离心率为A292B293C192D1937已知两点(0,1)A，(,e)bB b和曲线:exC y，若经过原点且与曲线C 相切的直线为l，且直线ABl，则A10b B01bC12bD23b8湖南第二届旅游发展大会于 2023 年 9 月 15 日至 17 日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，

4、最美有郴州”绿色生态研学，现有甲、乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地、王仙岭旅游风景区、雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件 A 为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件 B 为“甲和乙选择的研学线路不同”，则(|)P B A A15B45C34D14二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知函数()sin 2c)6(os 2f xxx，则A()f x的最小正周期为B()f x的图象关于直线6x 对称C()f x的零点是|(

5、)26kx xkZD()f x的单调递增区间为5,()66kkkZ10已知高二某班共 51 名同学，某次地理测试班级最高分为 150 分，最低分为 50 分，现将所有同学本次测试的原始成绩经过公式yaxb进行折算，其中x为原始成绩，y为折算成绩，折算后班级最高分仍为150 分，最低分为 80 分，则下列说法正确的是A若某同学本次测试的原始成绩为 100 分，则其折算成绩为 115 分B将原始成绩和折算成绩分别从小到大依次排序后，它们的中位数的序号相同C班级折算成绩的方差可能等于原始成绩的方差D班级折算成绩的平均值高于原始成绩的平均值11已知直线:220l axya与圆222:(4)(1)(0)

6、Cxyrr总有两个不同的交点,M N O为坐标原点，则A直线l过定点(2,2)B(2,)rC当3r 时，|4,6MN D当=5r时，CM CN 的最小值为25更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学试题第 3 页（共 4 页）数学试题第 4 页（共 4 页）内装订线此卷只装订不密封外装订线12在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E为线段 AB 的中点，F 为线段11AB的中点，,M N分别为线段1AC与线段1BC上一点，则A直线1C F与直线DE所成角的余弦值为35B点 D 到直线1C F的距离为2 55C当111,AMAC B NBC MN 平面AB

7、CD时，1D线段MN长度的最小值为66三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。135(2)xy的展开式中4x y的系数为（用数字作答）14已知函数()f x在定义域(1,1)上满足()()fxf x，且在(1,1)上单调递减，若(1)(43)fafa0，则a的取值范围是 15我国古代数学家沈括、杨辉、朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题如果*1()nnnaab nN，且数列 nb为等差数列，那么数列na为二阶等差数列现有二阶等差数列的前 4 项依次为 1，3，6，10，则该数列的第 10 项为 16已知椭圆E：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，O

8、为坐标原点，A 为椭圆E的上顶点，过点1F作平行于2AF的直线l与椭圆E交于 B，C 两点，M 为弦 BC 的中点且直线l的斜率与 OM 的斜率乘积为34，则椭圆E的离心率为；若|3 19OM，则直线l的方程为（第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）某学校现有 1000 名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了n名学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位：时）.将数据分为 6 组：0,2，(2,4，(4,6，(6,8，(8,10，(10,12，并整理得到如图所示的频率分布直方图.

9、（1）估计该校学生一周使用手机上网时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）将一周使用手机上网时间在(4,12内的定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在(0,4内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有0.25n名学生不近视，请补充完整该周使用手机上网时间与近视程度的列联表.若n为100，试根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关联？近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机0.15n合计0.25n附：22()()()()()n adbcab cd ac bd，其中nabcd.0.10.050.0100

10、.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818（12 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b cABC的面积为S，已知4tanSB2coscosaBabA.（1）求角B；（2）若3,bABC的周长为l，求Sl的最大值.19（12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，13ABAA，ABAC，D 为11AC的中点（1）求证：1ABBD；（2）若点C到平面ABD的距离为3，求平面ABC与平面BCD的夹角的正弦值20（12 分）已知数列na中，2122aa，且22,4nnnanaan为奇数，为偶数（1）求数列na的通项公式；（2）求数列na的前n项和n

11、S21（12 分）已知抛物线2:2(0)C ypx p过点(1,)p，直线 l 与该抛物线 C 相交于 M，N 两点，过点 M 作 x 轴的垂线，与直线yx 交于点 G，点 M 关于点 G 的对称点为 P，O 为坐标原点，且 O，N，P 三点共线（1）求抛物线 C 的方程；（2）若过点(2,0)Q作QHl，垂足为 H（不与点 Q 重合），是否存在定点 T，使得|HT为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由22（12 分）已知函数2()lnf xxxax.（1）当1a 时，讨论函数()f x的单调性；（2）若不等式2()e(1)xf xaa xx恒成立，求实数a的取值范围.更多全

12、科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 1 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司2024 届高三 1 月大联考考后强化卷（新课标 II 卷）数学全解全析123456789101112BADCDBCBACABDACDACD一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】由题意，知02|Axx，0,1B，所以0,1AB.故选 B.2A【解析】因为(43i)iz，所以ii(43i)34i43i(43i)(43i)2525z，所以z的虚部为425.故选 A.3D【解析】因为23a，(2 0

13、)，b，所以|3a，|2b，设a与b的夹角为，0,，因为222()232|cos4|ababaa bbab，所以32 32cos41，解得3cos2，所以56，故选 D.4C【解析】设该建筑的母线长为x，高为h，则由其侧面积为28 229m，可得188 2292x，解得2 229mx，所以22430mhx故选 C5D【解析】因为cos()2cos24，所以2222cossin2(cossin)22，所以1(cossin)(cossin)(cossin)2，又(0,)2，所以cos0,sin0，所以cossin0，所以1cossin2，两边同时平方，得11sin24，所以3sin24.故选 D.

15、）股份有限公司7C【解析】由exy，得exy，设切点为00(,e)xx，所以直线l的斜率为0ex，所以直线l的方程为000ee()xxyxx，代入点(0,0)，则000(e)exxx，解得01x，即斜率为e，由ABl，得e1ebb，结合图形知0b 令()ee1xf xx，0 x，则()eexfx，所以()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增因为(1)10f ，2(2)e2e10f，所以12b故选 C.8B【解析】依题意，甲、乙随机选择一条线路去研学的试验有23个基本事件，事件 A 含有的基本事件数是2215，则5()9P A，事件 AB 含有的基本事件数为224，则4()9P A

16、B，所以()4(|)()5P ABP B AP A.故选 B.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9AC【解析】3113()sin2cos2sin2sin2cos2sin(2)22223f xxxxxxx.对于 A，()f x的最小正周期为22，故 A 正确；对于 B，当6x 时，203x，所以直线6x 不是()f x的图象的对称轴，故 B 错误；对于 C，由()0f x，得sin(2)03x，所以2()3xkkZ，所以()26kxkZ，故 C 正确；更多全科试卷，

17、请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 3 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司对于 D，由2 22()232kxkkZ，得5()1212kxkkZ，所以函数()f x的单调递增区间为5,()1212kkkZ，故 D 错误.故选 AC.10ABD【解析】由题知1501505080abab，解得0.745ab，所以0.745yx，当100 x 时，115y，故 A正确；450.3yxx，由150 x 知0yx，即yx，故当原始成绩低于 150 分时，折算成绩均高于原始成绩，即除 150 分不变外，其余成绩折算后均提高，所以将原始成绩和折算成绩分别从小到大依次排序后，

18、它们的中位数的序号相同，故 B，D 均正确；()(0.745)0.49()()D yDxD xD x，故折算成绩的方差必小于原始成绩的方差，故 C 错误.故选 ABD.11ACD【解析】220axya可化为(2)(2)0a xy ，即直线l过定点(2,2)P，所以 A 正确；因为直线l与圆C总有两个公共点，可得点(2,2)P在圆C内部，所以2(24)22(21)r，解得5r，所以 B 不正确；当3r 时，圆C的方程为22(4)(1)9xy，所以圆心(4,1)C，又(2,2)P，则|5CP，可得|MN的最小值为222|4rCP，最大值即为 6，所以 C 正确；当=5r时，圆C的方程为22(4)(

19、1)25xy，则|os|cCM CNCMCNMCN 25cosMCN，当直线l过圆心(4,1)C时，cos1MCN，所以cos MCN的最小值为1，所以CM CN 的最小值为25，故 D 正确.故选 ACD12ACD【解析】如图，以 D 为坐标原点，1,DA DC DD 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则111(0,1,1),(1,1),(0,0,0),(1,0)22CFDE，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 4 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司所以1111(1,0),(0,1,1)(1,0)22C FDCDE ，.

20、对于 A，111034|cos,|55544C F DE ，所以 A 正确；对于 B，22211111|3 52()2()5|54DCC FdDCC F ，所以 B 错误；对于 C，11111MNANAMABB NAMABBCAC (1)AB 1()(1)ADAA，因为MN/平面ABCD，所以10，即1，所以 C 正确；对于 D，由题意，知111,(,0,1)AMAC B NBC ，1(1,0,0),(1,1,1),(0,1,0)ABC，设111222(,),(,)M x y zN xyz，则111(1,)(1,1,1)xy z，222(1,1,1)(1,0,1)xyz，解得(1,),(1,1

21、,1)MN ，所以222|(11)(1)(1)MN 2222121234222()3()236，所以当12,23时，min16|66MN，所以 D 正确.故选 ACD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1310【解析】5(2)xy的通项为55155C(2)C(2)rrrrrrrrTxyxy，当1r 时，14425C(2)10Tx yx y .故答案为：10.145 5(,)4 3【解析】(1)(43)0fafa，(1)(43)fafa.()()fxf x，(1)(34)fafa.1111341134aaaa ，解得5543a，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多

22、资料尽在网盘群数学全解全析第 5 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司a的取值范围是5 5(,)4 3.故答案为：5 5(,)4 3.1555【解析】由题意，得12342113221,3,6,1230,aaaaaabaab，因为 nb为等差数列，且公差为211bb，首项为 2，所以1nbn，故11nnnaabn，因此2112aab，3223,aab，109910aab，累加可得1013456789120aa，所以103456789101255a，故答案为：55.1612；315 30 xy【解析】设点11(,)B x y，22(,)C xy，因为点,B C在椭圆E上，所以22112

23、21xyab，2222221xyab，因为34CBOMkk，所以2112211234yyyyxxxx，由，得2222121222220 xxyyaabb，即22221212220 xxyyab，所以2211222112yyyybxxxxa，由得2234ba，所以2214ca，则12cea.因为2BCAF，所以22,(0,),(,0)BCAFkkAb F c，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 6 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司所以3BCbkc .设直线 BC 的方程为3yxm，联立22223314yxmxybb，整理，得222158 344

24、0 xmxmb，所以128 315mxx，则4 3(,)155m mM，所以224 3|()()3 19,155mmOM 即22579 1915m，由题意0m，所以15 3m ，所以315 3,yx 即直线l的方程为315 30 xy.故答案为:12；315 30 xy.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）【解析】（1）根据频率分布直方图可估计该校学生一周使用手机上网时间的平均数为1 0.025230.100250.150270.1252x 90.075211 0.02525.8.（4 分）（2）由频率分布直方图可得上网时间在(0

25、,4和(4,12内的人数之比为0.25 0.751 3，所以可得22列联表为近视不近视合计长时间使用手机0.65n0.10n0.75n不长时间使用手机0.10n0.15n0.25n合计0.75n0.25nn（7 分）若n为 100，则22列联表为更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 7 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司近视不近视合计长时间使用手机651075不长时间使用手机101525合计7525100（8 分）零假设为0H:该校学生一周使用手机上网时间与近视程度无关.根据列联表中的数据，经计算，得到220.001100(65 1510 10)

26、21.7810.82875257525x，（9 分）根据小概率值0.001的独立性检验，我们推断0H不成立，即该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关，此推断犯错误的概率不大于 0.001.（10 分）18（12 分）【解析】（1）因为24coscostanSaBabAB，所以14sin cos2coscossin2acBB=aB+abAB，（1 分）即2 coscoscoscBaBbA，（2 分）由正弦定理，得2sincossincossincossin()CBABBAAB，（3 分）因为ABC，所以2sincossinCBC，（4 分）因为(0,)C，所以sin0C，所以1cos2B，（

27、5 分）又(0,)B，所以3B.（6 分）（2）由余弦定理，得2222cosbacacB，即229acac，（7 分）所以29()3acac，即aca+c21=()-93，（8 分）因为13sin24SacBac，l=a+c+3，所以233()94(3)12(3)Sacaclacac，（9 分）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 8 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司所以3(3)12Sacl，（10 分）又2()4acac（当且仅当ac时取等号），所以22()9()34acacac（当且仅当3ac时取等号），所以6ac（当且仅当3ac时取等号）

28、，（11 分）所以333(3)(63)12124Sacl（当且仅当3ac时取等号），即Sl的最大值为34.（12 分）19（12 分）【解析】（1）如图，连接1AB，因为四边形11AAB B为正方形，所以11ABAB（1 分）在直三棱柱111ABCABC中，平面11AAB B 平面111ABC，由ABAC得1111ACAB，又平面11AAB B 平面11111ABCAB，所以11AC 平面11AAB B，（3 分）又1AB 平面11AAB B，所以111ACAB，又1111ABACA，1AB 平面1ABD，11AC 平面1ABD，所以1AB 平面1ABD，（4 分）又BD 平面1ABD，所以1

29、ABBD.（5 分）（2）以A为原点，AB，AC，1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2ACa，则(0,0,0)A，(3,0,0)B，(0,2,0)Ca，(0,3)Da，(3,0,0)AB ，(0,2,0)ACa，(0,3)ADa（6 分）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 9 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司设(,)x y zn是平面 ABD 的一个法向量，则00ADAB nn，即3030ayzx，得0 x，令za，则3y ，所以(0,3,)an为平面 ABD 的一个法向量，（7 分）由题意，得2|2 33|

30、3ACaann，解得1a，所以(3,2,0)BC ，(0,1,3)CD 设(,)p q ri为平面 BCD 的法向量，则00BCCD ii，即32030pqqr，令3q，则2p，1r，即(2,3,1)i为平面 BCD 的一个法向量，（9 分）易知平面 ABC 的一个法向量为0,(1)0,j.（10 分）设平面ABC和平面BCD的夹角为，则222|12cos|42(3)11i jij，（11 分）所以214sin1cos4，所以平面ABC与平面BCD的夹角的正弦值为144（12 分）20（12 分）【解析】（1）当n为奇数时，由22nnaa，得22nnaa，（1 分）所以数列na的奇数项成等差数

31、列，且公差为 2，又11a，所以nan.（2 分）当n为偶数时，由24nnaa，可得24nnaa，（3 分）所以数列na的偶数项成等比数列，且公比为 4，又22a，所以12nna.（4 分）所以数列na的通项公式为1,2,nnn nan为奇数为偶数.（5 分）（2）当n为奇数时，1213241()()nnnnSaaaaaaaaa（6 分）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 10 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司12221(1)2(14)(1)222(13)(282)21443nnnnnnn，（8 分）当n为偶数时，1213124()()nnn

32、nSaaaaaaaaa（9 分）2121(11)2(14)222(131)(282)21443nnnnnnn.（10 分）综上，221(1)22,4322,43nnnnnSnn为奇数为偶数.（12 分）21（12 分）【解析】（1）因为抛物线2:2(0)C ypx p过点(1,)p，所以22pp，又0p，所以2p，（2 分）所以抛物线 C 的方程为24yx（3 分）（2）设点211(,)4yMy，222(,)4yNy，联立214yxyx，得2211(,)44yyG，（4 分）又因为点 M 关于点 G 的对称点为 P，所以点22111(,)42yyPy，（5 分）由 O，N，P 三点共线，可得O

33、NOPkk，即21122212244yyyyy，化简得12122()0yyy y.（6 分）设直线 l 的方程为xmyn，联立24xmynyx，消去 x，得2440ymyn，（7 分）则2(4)4(4)0mn，即20mn，根据根与系数的关系，得124yym，124y yn，（8 分）代入12122()0yyy y，得840mn，所以2nm，（9 分）所以直线 l 的方程为2xmym，即(2)xm y，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 11 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司所以直线 l 过定点(0,2)E，（10 分）因为QHl，所以点 H

34、在以EQ为直径的圆上，圆心为(1,1)，半径为2，（11 分）所以存在定点(1,1)T，使得|HT为定值，该定值为2（12 分）22（12 分）【解析】（1）当1a 时，2()ln,0f xxxxx，所以()ln12fxxx，（1 分）令()ln12,0m xxx x，得112()2xm xxx.（2 分）当1(0,)2x时，()0,()m xm x单调递增；当1,2()x时，0()(),xmmx单调递减.（3 分）所以当12x 时，()m x取得极大值，也为最大值，且111()ln1 1ln0222m ，（4 分）所以()0fx，所以()f x在(0,)上单调递减.（5 分）（2）由2()e

35、(1)xf xaa xx，得2elnxaxxxx，即2lnexxxxxa在(0,)上恒成立.（6 分）令2ln(),(0,)exxxxxh xx，则(1)(2ln)()exxxxh x，（7 分）令()2lnxxx，可得11()1xxxx，令()0 x，得1x，令()0 x，得01x，所以()x在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增，（8 分）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 12 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司又3333(e)e2ln ee10，(1)12ln110 ，(4)42ln 422ln 20,所以在3(e,1)中存在唯一的1

36、x使得1()0 x，在(1,4)中存在唯一的x2使得2()0 x，即有11222ln0,2ln0 xxxx.（9 分）因为()x在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增，所以当10 xx时，()0 x，当11xx时，()0 x，当21xx时，()0 x，当2xx时，()0 x.又(1)(2ln)()exxxxh x(1)(),0exxxx，所以当10 xx时，()0h x，当11xx时，()0h x，当21xx时，()0h x，当2xx时，()0h x，所以()h x在1(0,)x上单调递减，在1(,1)x上单调递增，在2(1,)x上单调递减，在2(,)x 上单调递增，（10 分）所以1()0

37、,x时，()h x的极小值为1211111ln()exxxxxh x，(1,)x时，()h x的极小值为2222222ln.e()xxxxxh x因为11222ln0,2ln0 xxxx，所以1122ln2,ln2xxxx，所以1122lnln22ee,eexxxx，12212eee,xxxx即所以12212eeexxxx.代入11ln2xx和22ln2xx，则有112111111()2()eexxx xxxxh x 2e，同理可得22()eh x，（11 分）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群数学全解全析第 13 页（共 13 页）学科网（北京）股份有限公司所以12()()h xh x，所以2min21()eeh x ，所以21ea ，即实数a的取值范围为2),e(1.（12 分）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君更多资料尽在网盘群

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