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1、1/4安徽省庐江巢湖七校联盟2022-2023学年高一下学期3月期中数学试题2/43/44/4第 1页，共 13页2022/2023 学年度第二学期第一次阶段练习学年度第二学期第一次阶段练习高一年级数学试卷高一年级数学试卷一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知向量a，b，则“|ab”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B解：|abab，|ab推不出ab，“|ab”是“ab”的必要不充分条件，故选：.B2.已知|3,|1,aba与b的夹角为120，则ab在a上的投影向量为
2、()A.32bB.12bC.16aD.56a【答案】D解：已知|3,|1,aba与b的夹角为120，因为ab在a上的投影为2193 1()()52|32abaaa baa ，所以ab在a上的投影向量为55.2|6aaa故选.D3.在等腰三角形 ABC 中，5ABAC，2BC，若 P 为边 BC 上的动点，则()APABAC ()A.2B.4C.8D.0【答案】C解：设 AD 是等腰三角形 ABC 的高，则5 12AD ，故22()()22228.APABACADDPADADDP ADAD 故答案选：.C第 2页，共 13页4.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设
3、ABa，ADb，则BN()A.2133abB.2133abC.1233abD.1233ab【答案】A解：依题意在平行四边形 ABCD 中，/AMCD，又 M 是 AB 的中点，DM 与 AC 交于点 N，所以ANMCND，所以12AMANCDCN，所以13ANAC，所以111212().333333BNANABACABABADABADABba 故本题选.A5.已知在ABC中，sin:sin:sin4:3:2ABC，则cosB等于()A.1116B.79C.2116D.2916【答案】A解：由正弦定理知，sin A：sinB：sin4C：3：2，可化为 a：b：4c：3：2，可设4ax，3bx，
4、2cx，(0)x，由余弦定理得，222222164911cos22 4216acbxxxBacxx，故选.A6.已知向量(,2)a，(2,24)b，mab，则|m取最小值时，实数的值为()A.65B.1625C.3625D.285【答案】B第 3页，共 13页解：由题可知(3,44)mab，22221614414412|9(44)25321625()2525255m，当|m取最小值125时，16.257.已知 O，N，P 在ABC所在平面内，且|,0OAOBOCNANBNC ，且PA PBPB PCPC PA ，则点 O，N，P 依次是ABC的()(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的
5、垂心)A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心【答案】C解：因为|OAOBOC ，所以 O 到定点,A B C的距离相等，所以 O 为ABC的外心；由0NANBNC ，则NANBNC ，取 AB 的中点 E，如图所示：则2NANBNECN ，所以，所以 N 是ABC的重心；由PA PBPB PCPC PA ，得()0PA PCPB ，即0CA PB ，所以ACPB，同理ABPC，所以点 P 为ABC的垂心，故选.C8.已知非零向量AB 与AC满足()0|ABACBCABAC 且12|ABACABAC ，则ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非
6、等边三角形D.等腰直角三角形【答案】A解：因为非零向量AB 与AC满足()0|ABACBCABAC ，所以A的平分线与 BC 垂直，则ABC为等腰三角形，且ABAC，第 4页，共 13页|cosAB ACABACA ，且12|ABACABAC ，1cos,23AA，所以ABC为等边三角形.故选.A二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）9.设两个非零向量1e与2e 不共线，如果12+kee 和12+eke 共线，那么 k 的可能取值是()A.1B.1C.3D.3【答案】AB解：两个非零向量1e与2e 不共线，120eke，12kee 与12eke 共线，1
7、212()keet eke ，则12()(1)0kt etk e，非零向量1e、2e 不共线，0kt 且10kt，解得1.k 故选.AB10.如图所示，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶 30 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向，A在 C 处的北偏西60方向，则下列结论正确的是()A.60CADB.A、D 之间的距离为15 2海里C.A、B 两处岛屿间的距离为15 6海里D.B、D 之间的距离为30 3海里【答案】BC解：由题意可知：30CD，1590105,30ADCACD，45,90BDCBC
8、D，所以45CAD，在ACD中，由正弦定理可得：30sin30sin45AD，解得15 2(AD 海里)，在Rt DCB中，因为45,90BDCBCD，所以230 2(BDCD海里)，第 5页，共 13页在ABD中，由余弦定理得：2212cos450 18002 15 2 30 22ABADBDAD BDADB 15 6(海里).故选.BC11.我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第 24 届国际数学家大会的会徽如图，大正方形 ABCD是由 4 个
9、全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为1:2，则下列说法正确的是()A.B.ACEG C.D.3455AFABAD【答案】ACD解：可设ABE中，1BE，则2AE，5AB，2cos5BAE，则，即，故 A 正确；，故 C 正确；11112424ABADCGABADAE ，可得4255AEABAD ，则12AFAEEFAEHGAEHD ，故 D 正确；第 6页，共 13页ACABAD，则，故0AC EG ，故 B 错误.故选.ACD12.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，下列命题中正确的是()A.若222sin Asin Bsin C，则ABC
10、一定是钝角三角形B.若coscosaBbAc，则ABC一定是直角三角形C.若222Baccosc，则ABC一定是锐角三角形D.若tantantan0ABC，则ABC一定是锐角三角形【答案】ABD解：对于 A，因为222sin Asin Bsin C，所以由正弦定理得222abc，所以2220abc，所以由余弦定理得222cos02abcCab，因为，所以 C 为钝角，所以ABC一定是钝角三角形，所以 A 正确;对于 B，因为coscosaBbAc，所以由余弦定理得22222222acbbcaabcacbc，所以22222222acbbcac，所以222abc，所以ABC一定是直角三角形，所以
11、B 正确;对于 C，因为222Baccosc，所以1cos12222Bacacc，所以sincossinaABcC，所以sinsincossin()sincoscossinACBBCBCBC，所以sincos0BC，因为sin0B，所以cos0C，因为，所以2C，所以ABC一定是直角三角形，所以 C 错误；对于 D，因为，所以tantantantantantanABCABC，第 7页，共 13页因为tantantan0ABC，所以tantantantantantan0ABCABC，因为ABC中不可能有两个钝角，所以tan0,tan0,tan0ABC，所以,A B C都为锐角，所以ABC一定是锐
12、角三角形，所以 D 正确.故选：.ABD三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cossinbCcBa，4b，则ABC的外接圆的半径为_.【答案】2 2解：在ABC中，cossinbCcBa，由正弦定理得sincossinsinsinBCCBA，则sincossinsinsin()BCCBBC，即sincossinsinsin()BCCBBC，故sincossinsinsincoscossinBCCBBCBC，sinsincossinCBBC，(0,)C，sin0C，sincosBB，tan1B，(0,)B，4B，设ABC外
13、接圆的半径为 R，由正弦定理得24 2sinbRB，2 2.R故答案为2 2.14.1e，2e 是夹角为60的两个单位向量，122aee，1232bee ，则a与b的夹角为_.【答案】120解：由1e，2e 是夹角为60的两个单位向量，可得12121|cos602e eee ，又221212|444 1 27aeee e ，221212|94129467beee e ，221212121217(2)(32)626222a beeeeeee e ，则a与b的夹角余弦为：712cos.2|77a bab 可得120.故答案为：120.第 8页，共 13页15.如图，在直角梯形 ABCD 中，/AB
14、CD，90ADC，3AB，2AD，E 为BC 中点，若3AB AC ，则AE BC _.【答案】3解：以 A 点为原点，AB 所在的直线为 x 轴，AD 为 y 轴，建立如图所示的坐标系，3AB，2AD，E 为 BC 中点，(0,0)A，(3,0)B，(0,2)D，设(,2)C x，(3,0)AB，(,2)ACx，3AB AC ，33x，解得1x，(1,2)C，E为 BC 中点，3 1 02(,)22E，即为2(2,)2，2(2,)2AE，(2,2)BC ，22(2)24 13.2AE BC 故答案为：3.16.在平面向量中有如下定理：设点 O，P，Q，R 为同一平面内的点则 P，Q，R 三点
15、共线的充要条件是：存在实数 t，使(1).OPt OQ tOR 试利用该定理解答下列问题：如图，在ABC中，E 为边 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，且2CFFA，BF 交 CE 于点 M，设AMxAEyAF ，则xy_.第 9页，共 13页【答案】75解：如图，E，M，C 三点共线，存在实数，使(1)AMAEAC ，2CFFA，3ACAF，3(1)AMAEAF ，又AMxAEyAF ；3(1)xy，3(1)xy；同样，B，M，F 三点共线，所以存在实数，使(1)AMABu AF ，E为 AB 边的中点，2ABAE，2(1)AMAEAF ，又AMxAEyAF ；21xy，112yx；联立
16、可得：45x，35y，7.5xy 故答案为7.5四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知(1,2)a，(3,1).b (1)求|2|ab(2)设a与b的夹角为，求cos的值;(3)若向量+a kb与-a kb互相垂直，求 k 的值.解：(1)2(1,2)2(3,1)(16,22)(7,0)ab；故22|2|707.ab.（3 分）221(3)2 12(2)cos10|1(3)21a bab ；.（6 分）(3)因为向量akb与akb互相垂直，所以()()0akbakb，即2220ak b，因为25a，210b，所以225 100.2k
17、k.（10 分）第 10页，共 13页18.在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且sin2sinBC，22.acbc(1)求角 A 的大小(2)若2a，求ABC的周长.l解：(1)因为sin2sinBC，22acbc，由正弦定理，得2bc，2223acbcc，由余弦定理，得2222cosabcbcA，所以2222344cosccccA，所以222354coscccA，1cos2A，又(0,)A，3A；.（5 分）(2)由正弦定理可知，sin2sin4sinsin332aCCcCA，82sin3bcC周长122sin3labcC，又3A，ABC，23BC，6C122sin2
18、2 33lC.（12 分）19.已知|1,|1ab，且向量a与b不共线.(1)若a与b的夹角为45，求(2)()abab的值；(2)若向量kab与kab的夹角为钝角，求实数 k 的取值范围.解：(1)a与b的夹角为45，|cos45a ba b 221 122 ，22(2)()2ababaa bb2221122 ；.（5 分）(2)向量kab与kab的夹角为钝角，()()0kabkab，且不能反向共线，故0k，222210k abk，解得11.k 实数 k 的取值范围是(1,0)(0,1).（12 分）第 11页，共 13页20.海上某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东75方向，距离为1
19、2 6 n mile，在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西30方向，距离为8 3 n mile，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在南偏东60方向，求：(1)A处与 D 处的距离；(2)灯塔 C 与 D 处的距离解：(1)在ABD中，由已知得60ADB，75DAB，则45B，由正弦定理得212 6sin224.sin32ABBADADB.（6 分）(2)在ADC中，由余弦定理得2222cos30CDADACAD AC，解得8 3.CD 所以 A 处与 D 处之间的距离为 24nmile，灯塔 C 与 D 处之间的距离为8 3.nmile.（12 分）21.在ABC中，角 A，
20、B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC的面积为.S现在有下列三个条件：(2)coscos0cbAaB；222sinsinsinsinsin0BCABC；2224 3.3abcS请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解已知向量(4sin,4 3)mx，2(cos,sin)nxx，函数()2 3f xm n，在ABC中，()3af，且_，求2bc的取值范围解：2()2 34sincos4 3sin2 3f xm nxxx 2sin 22 3cos 24sin(2)3xxx，()4sin2 333af，.（3 分）若(2)coscos0cbAaB，则由正弦定理可得：2sincoss
21、incossincos0CABAAB，即2sincossin()2sincossin0CABACAC，因为 C 为三角形内角，sin0C，可得1cos2A ，第 12页，共 13页因为(0,)A，可得2.3A若222sinsinsinsinsin0BCABC，由正弦定理可得：2220bcabc，由余弦定理可得2221cos22bcaAbc，因为(0,)A，可得2.3A若2224 33abcS，则2224 34 312 3sinsin3323bcaSbcAbcA ，所以2223cossin23bcaAAbc，可得tan3A ，因为(0,)A，可得2.3A.（6 分）由正弦定理可得2 34sins
22、insin32bcaBCA，所以4sinbB，4sincC，因为3BC，所以3CB，所以3128sin4sin()8sin4(cossin)322bcBBBBB，.（9 分）因为03B，所以662B，所以，即2bc的取值范围为.（12 分）22.已知向量a和b，|1ab，且|3|.akbakb(1)若a与b的夹角为60，求 k 的值；第 13页，共 13页(2)记211()(33)4f ka bkkk，是否存在实数 x，使得 txkf1对任意的 1,1t 恒成立？若存在，求出实数 x 的取值范围；若不存在，试说明理由.解：(1)|1ab，a与b的夹角为60，则11|cos601 122a ba
23、b ，由|3|akbakb，两边平方可得，22()3()akbakb，22222223(2)aka bk baka bk b，即有2213(1)kkkk ，解得1k；.（6 分）(2)由(1)得，22222223(2)aka bk baka bk b即即可得11()4a bkk，21111()()(33)44f kkkkkk2211(23)(1)244kkk，min1()2f k，因为()1f ktx对于任意 1,1t 恒成立，txkf1min所以tx121，即21tx对于任意 1,1t 恒成立，构造函数1()2g ttx，从而 21210101xxgg由此可知不存在实数 x 使之成立.（12 分）