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1、河南省新乡市九师联河南省新乡市九师联盟盟 2023-2022023-2024 4 学年高一上学学年高一上学期期 1 12 2 月月考数学试题月月考数学试题高一数学试题高一数学试题考生注意：考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分本试卷分选择题和非选择题两部分.满分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.答题前，考生务必用直径答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时考生作答时，请将答案答在答题卡上请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后选择题每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答
2、题卡上对应铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教本卷命题范围：人教 A 版必修第一册第一章版必修第一册第一章第五章第第五章第 3 节节.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
3、目要求的符合题目要求的.1.与2024角终边相同的角是（）A.24B.113C.136D.2242.已知集合34,20AxxBx x N，则BAR（）A.1,2B.2,1,0C.0,1,2D.2,1,0,1,23.已知函数 2,0sin,03xxf xxx则(1)f（）A.32B.12C.12D.324.函数3()ln(1)f xxx的零点所在区间为（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)5.“lg0 x”的一个必要条件是（）A.22x B.42x C.2x D.|2x 6.设1321log 3,2,log3abc，则（）A.bacB.abcC.cabD.acb7.已知1m
4、，点 1231,1,m ym ymy都在二次函数22yxx的图象上，则（）A.123yyyB.321yyyC.132yyyD.213yyy8.若函数 222,143,1xm xf xxmxmx有3个零点，则实数m的取值范围是（）A.1,13B.,01,C.1,2D.1,12,3U二二 多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知角和的终边关于 x 轴对称
5、，则（）A.sinsin B.tantanC.sincos2D.cos()cos10.下列说法正确的是（）A.若0 x，则1xx有最小值 2B.若xR，则241xx有最大值 2C.若xy，则33xyD.若0 xy，则11xy11.关于幂函数 1mfxmx，下列结论正确的是（）A.f x的图象经过原点B.f x为偶函数C.f x的值域为0,D.f x在区间0,上单调递增12.设函数 f x的定义域为R，对于任意给定的正数p，定义函数 ,pf xf xpfxp f xp则称 pfx为 f x的“p界函数”.若函数 22fxxx，则（）A.323fB.3fx的最小值为1C.3fx在1,1上单调递减D
6、.31fx 为偶函数三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知某扇形所在圆的半径为 3，扇形的面积为3，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为_.14.已知集合21,xAxBx xa，若,xA xB，则实数a的取值范围是_.15.函数 4323xfxx的单调递增区间为_.16.已知函数3322yx与函数1122xxy 的图象交于,M N P三点，则此三点中最远的两点间的距离为_.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知角
7、的终边经过点sin30,1P（1）求sin，cos的值；（2）求sin()cos5cos2的值18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知,x y均为正数，且1xy，求证：4925xy；（2）已知0ab，求证：3322ababa b.19.已知函数21()21xxf x-=+（1）求证：函数()f x是定义域为R的奇函数；（2）判断函数()f x的单调性，并用单调性的定义证明20.已知()fxxa xb（a，b 均为常数），且(0)1,(1)2ff（1）求函数()f x的解析式；（2）若对(1,2)x，不等式3log ()2f xm成立，求实数 m 的取值范围21.已知函数 f x和
8、g x的图象关于原点对称，且 22f xxx.（1）求函数 g x的解析式；（2）若函数 1h xg xf x在1,1上单调递减，求实数的取值范围.22.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离为kmx，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为 9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧A
9、B的中点处，求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度；（2）求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度的最小值.高一数学试题高一数学试题考生注意：考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分本试卷分选择题和非选择题两部分.满分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.答题前，考生务必用直径答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时考生作答时，请将答案答在答题卡上请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后选择题每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑题目的答案
10、标号涂黑；非选择题请用直径非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教本卷命题范围：人教 A 版必修第一册第一章版必修第一册第一章第五章第第五章第 3 节节.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.与2024角终边相同的角是（
11、）A.24B.113C.136D.224【答案】C【解析】【分析】将2024改写为20241363606，根据终边相同角的定义即可求解.【详解】因为20241363606，所以2024角与136角终边相同.故选：C2.已知集合34,20AxxBx x N，则BAR（）A.1,2B.2,1,0C.0,1,2D.2,1,0,1,2【答案】C【解析】【分析】根据集合的补集与交集的概念计算即可.【详解】由题意可得，0,1,2,3,4,|2ABx x，|2Bx xR，0,1,2BA R故选：C3.已知函数 2,0sin,03xxf xxx则(1)f（）A.32B.12C.12D.32【答案】A【解析】【
12、分析】根据分段函数的解析式，代入计算可得.【详解】由题意可得31sin32f 故选：A4.函数3()ln(1)f xxx的零点所在区间为（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)【答案】B【解析】【分析】分别验证每个区间端点值的正负符号，由零点存在定理可判断出结果.【详解】易知函数3()ln(1)f xxx在其定义域(1,)上连续不断，且3(3)ln2 10,(4)ln304ff，则函数的零点在区间(3,4)上故选：B5.“lg0 x”的一个必要条件是（）A.22x B.42x C.2x D.|2x【答案】C【解析】【分析】先利用对数函数单调性求得“lg0 x”的充要条件，然
13、后把必要条件转化为真子集关系，逐项判断即可.【详解】由lg0 x 得1x，要成为“lg0 x”的必要条件，则1x x 是其对应的集合的真子集，而22,42,2xxx 均不满足题意，因为1x x 是2x x 的真子集，所以“lg0 x”的一个必要条件是“2x ”.故选：C6.设1321log 3,2,log3abc，则（）A.bacB.abcC.cabD.acb【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】13210log 3 1,21,log03abc，cab 故选：A7.已知1m，点 1231,1,m ym ymy都在二次函数22yxx的图象上，则（）
14、A.123yyyB.321yyyC.132yyyD.213yyy【答案】D【解析】【分析】利用二次函数的对称性和单调性求解即可.【详解】二次函数22()2(1)1f xxxx，其图象的对称轴方程为1x，而 112mm，所以11fmfm，即13yy，当1x 时，()f x是单调增函数，因为1m，所以11mm，所以 1f mf m，即23yy，综上，213yyy故选：D8.若函数 222,143,1xm xf xxmxmx有3个零点，则实数m的取值范围是（）A.1,13B.,01,C.1,2D.1,12,3U【答案】C【解析】【分析】分析可知，函数 f x在,1上有一个零点，在1,上有两个零点，求
15、出这三个零点，根据题意可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.【详解】当1x 时，函数 2xf xm单调递增，则函数 f x在,1上至多一个零点，当1x时，函数 22433f xxmxmxmxm至多两个零点，因为函数 f x有三个零点，则函数 f x在,1上有一个零点，在1,上有两个零点，当1x 时，令 20 xf xm，可得2xm，必有0m，解得2logxm，所以，2log1m，解得02m；当1x时，由 30f xxmxm，可得xm或3xm，所以，1313mmmm，解得m1.综上所述，实数m的取值范围为1,2.故选：C.二二 多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题
16、，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知角和的终边关于 x 轴对称，则（）A.sinsin B.tantanC.sincos2D.cos()cos【答案】AC【解析】【分析】根据题意2,kk Z，然后根据诱导公式逐项判断即可.【详解】因为角和的终边关于 x 轴对称，可得2,kk Z.对于 A，由sinsin(2)sink，A 正确；对于 B，由tantan(2)tan()tank，B 错误；对于 C
17、，由sincoscos(2)cos()cos2k，C 正确；对于 D，由cos()coscos(2)cosk ，D 错误.故选：AC10.下列说法正确的是（）A.若0 x，则1xx有最小值 2B.若xR，则241xx有最大值 2C.若xy，则33xyD.若0 xy，则11xy【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式和不等式的性质判断【详解】0 x，则1122xxxx，当且仅当1x 时等号成立，A 正确；xR，20 x21111412122 222xxxxxx，当且仅当21x，即0 x 时等号成立，因此241xx的最大值是12，B 错；由不等式的性质知 C 正确，因为0 xy，所以0,0yx
18、xy，所以110yxxyxy，即11xy，D 正确，故选：ACD11.关于幂函数 1mfxmx，下列结论正确的是（）A.f x的图象经过原点B.f x为偶函数C.f x的值域为0,D.f x在区间0,上单调递增【答案】BC【解析】【分析】由题意1 1m，得2()f xx，利用幂函数的性质判断各选项即可.【详解】由题意，1 1m，所以2m，即2().f xx对于 A，221f xxx的定义域为(,0)(0,)，故 f x的图象不经过原点，A 错误；对于 B，因为221()f xxx的定义域为(,0)(0,)，2211()()()fxf xxx，故 f x为偶函数，B 正确；对于 C，由于21()
19、0f xx，故值域为(0,)，C 正确；对于 D，由于20，故2()f xx在区间(0,)上单调递减，D 错误故选：BC12.设函数 f x的定义域为R，对于任意给定的正数p，定义函数 ,pf xf xpfxp f xp则称 pfx为 f x的“p界函数”.若函数 22fxxx，则（）A.323fB.3fx的最小值为1C.3fx在1,1上单调递减D.31fx 为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】根据题意得出3()fx的解析式，即可判断 ABC；求得3(1)fx的解析式，作出函数的图象，由图象判断 D【详解】根据题意，由223xx，解得31x，232,31()3,33,1xxxfxxx ，所以
20、3(2)3f，故 A 正确；当31x 时，223()2(1)1fxxxx，且3()fx在1,1上单调递增，在3,1 上单调递减，33313,11,33fff，所以31()3fx，即3()fx的值域为1,3，故 B 正确，C 错误；因为231,22(1)3,23,2xxfxxx ，则3(1)fx的图象如图所示，由图可知31fx的图象关y轴对称，所以函数31fx为偶函数，故 D 正确故选：ABD三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知某扇形所在圆的半径为 3，扇形的面积为3，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数为_.【答案】23【解析】
21、【分析】先根据扇形面积求得弧长，再利用弧长公式求得圆心角.【详解】由扇形面积12Srl，得132lr，解得2l，所以该扇形的圆心角（正角）23lr.故选：2314.已知集合21,xAxBx xa，若,xA xB，则实数a的取值范围是_.【答案】(,0)【解析】【分析】由命题的真假得出aA，从而易得其范围【详解】|21|0 xAxx x，|Bx xa，因为,xA xB，所以aA，所以a的范围是(,0)，故答案为：(,0)15.函数 4323xfxx的单调递增区间为_.【答案】33(,),(,)22【解析】【分析】利用分离常数法，得9()223f xx，结合x的范围可得答案.【详解】434699(
22、)2232323xxf xxxx，由230 x+，得32x ，当3(,)2x 时，923yx单调递减，()f x单调递增；当3(,)2x 时，923yx单调递减，()f x单调递增，所以()f x的单调增区间为33(,),(,)22 故答案为：33(,),(,)22 16.已知函数3322yx与函数1122xxy 的图象交于,M N P三点，则此三点中最远的两点间的距离为_.【答案】13【解析】【分析】由题意可得，三个交点中一个必是点1,0，另外两个点关于点1,0对称不妨记1,0N，设11133(,),122M xxx，由1()f x1()g x求得1x，所以此三点中最远的两点间的距离为2|M
23、N【详解】不妨记111(1)12333()(1),()2222222xxxxyf xxxyg x，函数32yx与22xxy是奇函数且关于坐标原点对称，易知 ,f xg x两个函数的图象均以点(1,0)为对称中心，所以三个交点中一个必是点1,0，另外两个点关于点1,0对称不妨记1,0N，设11133(,),122M xxx，所以1()f x1()g x，即111(1)13(1)222xxx，解得111x ，10 x，则2211331313(1)()2242MNxx，所以此三点中最远的两点间的距离为2|13MN 故答案为：13四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解
24、答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知角的终边经过点sin30,1P（1）求sin，cos的值；（2）求sin()cos5cos2的值【答案】（1）2 5sin5，5cos5（2）12【解析】【分析】（1）根据三角函数定义即可得；（2）结合诱导公式即可得.【小问 1 详解】由1sin302，故角的终边经过点1,12P，所以2212 5sin5112，22152cos5112；【小问 2 详解】2 55sin()cossincos1555sin22 5cos25.18.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）已知,x y均为正数，且1xy，求证：4
25、925xy；（2）已知0ab，求证：3322ababa b.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用 1 的妙用，结合基本不等式证明即可；（2）利用作差法证明即可.【小问 1 详解】证明：因为1xy，所以4949()()xyxyxy49494913yxyxxyxy，又因为0,0 xy，所以490,0yxxy，所以4949212yxyxxyxy，当且仅当49yxxy，即23,55xy时取等号，所以4925xy【小问 2 详解】证明：33223232ababa baabba b2222222()()()()()()a abb baab ababab，因为0ab，所以20,
26、()0abab，所以2()()0abab，所以33220ababa b，即3322ababa b19.已知函数21()21xxf x-=+（1）求证：函数()f x是定义域为R的奇函数；（2）判断函数()f x的单调性，并用单调性的定义证明【答案】（1）证明见解析（2）函数()f x在R上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数为奇函数；（2）利用定义法证明函数的单调性.【小问 1 详解】函数21()21xxf x-=+的定义域为R，对于x R，都有x R，且211 221()()211221xxxxxxfxf x ，所以函数()f x是定义域为R的奇函数【小问 2 详解】
27、函数()f x在R上单调递增，证明如下：对于12,x xR，且12xx，122112121212121221 2121 212 222121212121 2121 21xxxxxxxxxxxxxxf xf x，因为12xx，所以12022xx，则12120,10,102222xxxx ，则 120f xf x，即 12f xf x，故函数()f x在R上单调递增.20.已知()fxxa xb（a，b 均为常数），且(0)1,(1)2ff（1）求函数()f x的解析式；（2）若对(1,2)x，不等式3log ()2f xm成立，求实数 m 的取值范围【答案】（1）2()41(0)f xxxx（2
28、）3,11【解析】【分析】（1）由(0)1,(1)2ff，代入函数解析式求出,a b，得函数()f x的解析式；（2）不等式等价于0()9f xm，利用函数()f x在定义区间内的值域，求实数 m 的取值范围【小问 1 详解】由()fxxa xb，得2()()fxxa xb，即2()(0)f xxaxb x，由(0)1,(1)2ff，可得(0)1,(1)12,fbfab 解得1,4.ba 所以2()41(0)f xxxx【小问 2 详解】由3log ()2f xm，可得0()9f xm，所以对(1,2)x，都有0()9f xm成立由于22()41(2)3f xxxx，所以()f x在(1,2)
29、上单调递减，且(1)2,(2)3ff ，因此当(1,2)x时，()(3,2)f x ，要使0()9f xm，则29m，且30m，解得311m故实数 m 的取值范围为3,1121.已知函数 f x和 g x的图象关于原点对称，且 22f xxx.（1）求函数 g x的解析式；（2）若函数 1h xg xf x在1,1上单调递减，求实数的取值范围.【答案】（1）2()2g xxx（2）(,0【解析】【分析】（1）设点,x y是 g x图象上任意一点，则,x y关于原点的对称点,xy在函数 f x的图象上，即可求解；（2）2()(1)2(1)1h xxx，分为1，1 与1 三种情况讨论，结合二次函数
30、的性质求解即可.【小问 1 详解】设点,x y是 g x图象上任意一点，则,x y关于原点的对称点,xy在函数 f x的图象上，所以2()2()yxx，即22yxx，所以2()2g xxx【小问 2 详解】222()()()12(2)1(1)2(1)1h xg xf xxxxxxx ，当1 时，41h xx 在1,1上单调递减，满足题意；当1 时，要使 h x在1,1上单调递减，由二次函数的性质可得111，解得10，所以10；当1 时，要使 h x在1,1上单调递减，由二次函数的性质可得111，解得1，所以1 综上，实数的取值范围是(,022.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为
31、直径的半圆弧AB上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离为kmx，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为 9.（1）若垃圾处理厂建在圆弧AB的中点处，求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度；（2）求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度的最小值.【答案】（1）0.065（2）0.0625【解析】【分析】（1）由题意得90ACB，由20,ABACx可得
32、22400BCx，从而得总影响度的解析式，即可求解；（2）可得2225(320)(400)xyxx，令2320(320,720)xt，所以5230400()1040ytt，利用基本不等式求解即可得出答案.【小问 1 详解】点C在以AB为直径的半圆上，所以90ACB，由20,ABACx，可得22400BCx，由题意可得2249(020)400yxxx，因为垃圾处理厂建在弧AB的中点处，所以490.065200400200y，故所求总影响度为0.065【小问 2 详解】由（1）知222222222494(400)95(320)400(400)(400)xxxyxxxxxx，令2320(320,720)xt，则2320 xt，所以255(320)(720)230400 1040ttytttt5,320,720230400()1040ttt，因为23040023040022 480960tttt，当且仅当230400tt，即480,4 10tx时等号成立，取得最小值，此时5510.0625230400960 104016()1040ytt，故垃圾处理厂对城A和城B的总影响度的最小值为 0.0625