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1、第第8章章 时频分析与小波变换时频分析与小波变换背景n Fourier变换只适用于统计特性不随时间变化的平稳信号，而实际信号的统计特性却往往是时变的，这类信号统称为非平稳信号。n 由于非平稳信号的统计特性是随时间变化的，因此对于非平稳信号的分析来说，就需要了解其局部统计特性。Fourier变换是信号的全局变换，因而对非平稳信号而言，Fourier变换不再是有效的分析工具。n 另一方面，信号的时域描述和频域描述都只能描述信号的部分特性，为了精确描述信号的局部特性，经常需要使用信号的时域和频域的二维联合表示。n 非平稳信号的时频域联合分析称为信号的时频分析信号的时频分析。本章内容n8.1 时频分析
2、时频分析 8.1.1 概述概述 8.1.2 短时短时Fourier变换变换 8.1.3 Wigner-Ville分布分布n8.2 小波变换小波变换 8.2.1 空间与基的概念空间与基的概念 8.2.2 连续小波变换连续小波变换 8.2.3 离散小波变换离散小波变换 8.2.4 多分辨率分析多分辨率分析 8.2.5 小波变换的应用小波变换的应用8.1 时频分析时频分析 n8.1.1 概述概述 Fourier变换不能用于信号的局部分析例8-1频率突变信号1及其频谱 频率突变信号2及其频谱 例8-2 如图显示了一个频率线性增长的chirp信号及其频谱。由chirp信号的频谱可以知道该信号包含哪些频率
3、成分，但是从频谱曲线上看不出该信号的频率随时间线性增长的特点。频率线性增长的chirp信号及其频谱 n 由上述两例可以看出，Fourier变换不能反映信号频率随时间变化的特征。对于频率随时间变化的非平稳信号，即时变信号，Fourier变换只能给出一个总的平均效果。为了分析和处理非平稳信号，就需要使用信号的时域和频域的二维联合表示，即时频分析时频分析。时频分析的必要性信号的时频联合分布 时频分析的发展n1932年 Wigner 提出了时频联合分布的概念 n1948年 Ville 将这一概念引入信号分析领域 这就是著名的Wigner-Ville时频分布 n1946年 Gabor 提出短时Fouri
4、er变换和Gabor变换的概念 n1966年 Cohen 提出了时频分布的一般形式 n20世纪80年代后期 小波变换发展起来8.1.2 短时短时Fourier变换变换 应用上述短时Fourier变换时，窗函数的选择是十分重要的。窗函数的主要特征是窗口宽度和形状。窗口宽度应该与信号的局域平稳长度相适应。短时短时Fourier变换变换 短时Fourier谱 短时Fourier反变换 离散序列短时Fourier变换 离散序列短时Fourier变换 离散序列短时Fourier变换 例8-3 利用短时Fourier变换分析例8-1中两个频率突变信号。应用MATLAB函数spectrogram绘出这两个信
5、号的谱图，输入参数window=256，noverlap=250，nfft=256，输出结果见后。分析这两个信号的谱图，可以知道两个频率分量在两个信号中出现的顺序，即短时Fourier变换具有一定的时频联合分析功能。为了理解窗口宽度对时间和频率分辨率的影响，计算采用如下两组参数时频率突变信号1的谱图：(1)window=128，noverlap=125，nfft=128；(2)window=512，noverlap=500，nfft=512。可知，当时域窗口宽度减小时，时间分辨率提高，但频率分辨率下降，当时域窗口宽度增加时，频率分辨率提高，但时间分辨率下降。频率突变信号2的谱图 频率突变信号1
6、的谱图 频率突变信号1的谱图(窄时窗)频率突变信号1的谱图(宽时窗)例8-4 利用短时Fourier变换分析频率线性增长的chirp信号及其频谱。应用MATLAB函数spectrogram绘出该chirp信号的谱图，输入参数window=256，noverlap=250，nfft=256，输出结果如图。从该chirp信号的谱图可以看出信号频率线性增长的特点。MATLAB提供了计算谱图的函数spectrogram，其调用格式为：S=spectrogram(x,window,noverlap,nfft,fs)其中：x为信号序列；window是选用的窗函数。频率线性增长的chirp信号的谱图8.1.
7、3 Wigner-Ville分布分布nWigner-Ville分布是具有双线性形式的时频分布。Wigner于1932提出了上述Wigner分布的概念，并把它用于量子力学领域，1948年，Ville将其引入信号分析领域，因此Wigner分布也称为Wigner-Ville分布。Wigner-Ville分布分布Wigner-Ville分布分布Wigner-Ville分布的性质分布的性质 Wigner-Ville分布的性质分布的性质 Wigner-Ville分布的性质分布的性质 由上述性质(4)和性质(5)可以知道Wigner-Ville分布具有能量分布性质，但是由于Wigner-Ville分布不能保
8、证在整个平面上是正的，因此Wigner-Ville分布不满足一个真正的时频能量分布不能为负的原则，也正是这一原因，Wigner-Ville分布有时会导致无法解释的结果。Wigner-Ville分布的性质分布的性质 Wigner-Ville分布的交叉项分布的交叉项 例8-5例8-6chirp信号 信号 的Wigner-Ville分布 chirp信号 信号 的Wigner-Ville分布 信号 信号 的Wigner-Ville分布 8.2 小波变换小波变换n8.2.1 空间与基的概念空间与基的概念范数范数Banach空间空间Banach空间空间Hilbert空间空间Hilbert空间空间有限能量函
9、数空间有限能量函数空间L2(R)基底基底正交与正交基正交与正交基标准正交基标准正交基框架Riesz基基双正交关系8.2.2 连续小波变换连续小波变换 小波(wavelet)的物理意义就是“小区域的波”，即时域上有限支撑且振荡的一类函数。Gaussian小波(8阶)Haar小波 基本小波的定义 容许条件容许条件的推论例8-7 (Haar小波)例8-8 (Morlet小波)Morlet小波 例8-9(Marr小波)该小波满足容许条件，但它不是紧支撑的。由于该小波沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶墨西哥草帽，因此也称为墨西哥草帽小波。Marr小波 小波基函数 尺度因子a对 的伸缩作用 连续小
10、波变换 小波变换的等效频域表示 时频定位小波基函数的时宽与带宽小波基函数的时宽与带宽不定原理 带通特性 小波分析的特点小波基本分析单元的特点 由于小波变换具有品质因数恒定以及自动调节对信号分析的时宽和带宽等优点，因而被誉为信信号分析的数学号分析的数学显微镜显微镜。连续小波变换的性质 连续小波变换的性质 连续小波变换的性质 连续小波变换的性质 连续小波变换的逆变换 重建核方程 重建核的意义 8.2.3 离散小波变换离散小波变换离散小波变换离散小波变换离散小波变换(DWT)离散小波变换的离散栅格 重构原信号 充分条件充分条件充分条件 Riesz基 正交小波 双正交小波 正交小波变换 信号重构公式
11、连续小波变换存在冗余度，但正交小波变换可以消除变换中的冗余度，使得变换结果的图案更能反映信号本身的性质，所以正交小波变换比连续小波变换具有更为优良的性质。目前提出并经常使用的正交小波 正交小波 8.2.4 多分辨率分析多分辨率分析信号分解的滤波器组示意图n 正交小波变换信号重构公式在各种尺度上(对应于不同的尺度级m)作细化处理，补充细部特征，其实这没有必要。多分辨率分析的数学定义 多分辨率分析的数学定义 尺度函数 尺度函数的基本性质 尺度函数的基本性质 尺度系数与小波系数满足的关系式 这样，小波变换就和滤波器组联系起来，从而为离散信号的小波变换的快速实现提供了有效途径，由此可以引出著名的Mallat算法算法。信号的正交小波分解可以表示为Mallat算法 正交小波分解的Mallat算法正交小波重构的Mallat算法8.2.5小波变换的应用例8-10例8-11例8-12例8-13例8-14