《辽宁辽阳2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《辽宁辽阳2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷含答案.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司高二考试数学试卷高二考试数学试卷 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本写在本试卷上无效试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡
2、一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4本试卷主要考试内容：人教本试卷主要考试内容：人教 B 版选择性必修第一、二册版选择性必修第一、二册.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1.直线360 xy+=与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.4B.8C.6D.122.某地气象局天气预报的准确率为34，则 4 次预报中恰有 3 次准确的概率是（）A.27128B.2764C.916D.27323.已知抛物线C：()220 xpy p=
3、焦点为F，点()0,4P x在C上，5FP=，则直线FP的斜率为（）A32B.23C.43D.344.同一个宿舍的 8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）A.32 种B.128种C.64 种D.256种5.某市高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布()171,16N，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于)171,179内的概率（结果保留三位有效数字）是（）参考数据：()0.683PX+，()220.954PX+，()330.997PX+A.0.477B.0 478.C.0.47
4、9D.0.4806.如图，在三棱柱111ABCABC中，M为1AC的中点，设BAa=，1BBb=，BMc=，则1CA=的.辽宁辽阳2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷+答案 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司（）A.222abc+B.22abc+C.22abc+D.22abc+7.小明参加某射击比赛，射中得 1分，未射中扣 1分，已知他每次能射中的概率为23，记小明射击 2次的得分为 X，则()D X=（）A.89 B.169 C.209 D.269 8.已知直线1yx=+与圆心在 x轴上的圆 M相切，圆 M 与圆 N：()2221xy+=外切，则圆 M 的半径为（）A
5、.21或4 24+B.2 22 C.4 24+D.2 22或4 24+二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全选对的得目要求全选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.若12nxx展开式的二项式系数之和为 64，则下列结论正确的是（）A.该展开式中共有 6项 B.各项系数之和为 1 C.常数项为60 D.只有第 4项的二项式系数最大 10.某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理 4节课，且该天上午总共 4节课，
6、下列结论正确的是（）A.若数学课不安排在第一节，则有 18种不同的安排方法 B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有 6 种不同的安排方法 C.若语文课和数学课不能相邻，则有 12 种不同的安排方法 D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有 3 种不同的安排方法 11.如图，在正方体1111ABCDABC D中，P为1AC的中点，1AQtAB=，0,1t，则下列说法正确的 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 是（）A.1PQAB B.当12t=时，/PQ平面11BCC B C.当13t=时，PQ与 CD 所成角的余弦值为1111 D.当14t=时，1AQ
7、 平面1PAB 12.已知椭圆 C：22194xy+=，直线30mxy+=与 C 交于()11,M x y，()22,N xy两点，若12xx=，则实数的取值可以为（）A.15 B.16 C.3 D.4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用 x/万元 1.8 2.2 3 5 销售额 y/万元 t 7 14 16 根据上表数据得到 y 与 x的回归直线方程为3.751.25yx=，则t=_ 14.在一个布袋中装有除颜色外完全相同3个白球和 m 个黑球，从中随机摸取 1个球，有放回地
8、摸取 3次，记摸取白球的个数为 X若()94E X=，则m=_，()2P X=_ 15.有 6道不同的数学题，其中有 4 道函数题，2 道概率题，每次从中随机抽出 1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是_ 16.已知某人每次投篮的命中率为()01pp，0b）的右顶点为 A，左焦点为 F，过点 F且斜率为 1 的直线与 C 的一条渐近线垂直，垂足为 N，且1FN=（1）求 C方程（2）过点()2,0M 的直线交 C于()11,P x y，()22,Q xy两点，直线 AP，AQ 分别交 y轴于点 G，H，试问在 x 轴上是否存在定点 T，使得TGTH？
9、若存在，求点 T的坐标；若不存在，请说明理由 的 第1页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 高二考试数学试卷高二考试数学试卷 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本写在
10、本试卷上无效试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4本试卷主要考试内容：人教本试卷主要考试内容：人教 B 版选择性必修第一、二册版选择性必修第一、二册.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1.直线360 xy+=与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.4 B.8 C.6 D.12【答案】C【解析】【分析】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果.【详解】由题知，直线与y轴交于点()0
11、,6，与x轴交于点()2,0，所以围成的三角形的面积为16 262=故选：C 2.某地气象局天气预报的准确率为34，则 4 次预报中恰有 3 次准确的概率是（）A.27128 B.2764 C.916 D.2732【答案】B【解析】【分析】由独立重复试验的概率公式运算即可得.【详解】由题意可知，4次预报中恰有 3 次准确的概率3343127C4464P=故选：B 3.已知抛物线C：()220 xpy p=的焦点为F，点()0,4P x在C上，5FP=，则直线FP的斜率为.第2页/共19页 学科网（北京）股份有限公司（）A.32 B.23 C.43 D.34【答案】D【解析】【分析】利用抛物线定
12、义求得p的值，得出焦点坐标和0 x，即可得出结果.【详解】因为5FP=，所以452p+=，解得2p=，则()0,1F，()4,4P，所以直线FP的斜率为34 故选：D 4.同一个宿舍的 8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）A.32 种 B.128种 C.64 种 D.256种【答案】C【解析】【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.【详解】若甲、乙都去，剩下的 5人每个人都可以选择去或不去，有52种去法；若甲、乙都不去，剩下的 5 人每个人都可以选择去或不去，有52种去法
13、故一共有552264+=种去法 故选：C.5.某市高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布()171,16N，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于)171,179内的概率（结果保留三位有效数字）是（）参考数据：()0.683PX+，()220.954PX+，()330.997PX+A.0.477 B.0 478.C.0.479 D.0.480【答案】A【解析】【分析】利用正态分布的对称性即可求出结果.第3页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知，171=，4=，所以()()17117920.95420.477PXPX=+=故选：A 6.如图，在三棱柱111A
14、BCABC中，M为1AC的中点，设BAa=，1BBb=，BMc=，则1CA=（）A.222abc+B.22abc+C.22abc+D.22abc+【答案】A【解析】【分析】先得到()12CABMBC=，然后将BC 表示出来并代入1CA的表示中，由此可得结果.【详解】连接1BC，如下图所示，因为()122CACMBMBC=，()()111122BMBABCBABCBB=+=+，所以12BCBMBABB=，所以11222222CABMBABBabc=+=+故选：A.7.小明参加某射击比赛，射中得 1分，未射中扣 1分，已知他每次能射中的概率为23，记小明射击 2次的得分为 X，则()D X=（）第
15、4页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 A.89 B.169 C.209 D.269【答案】B【解析】【分析】先找出 X 的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得.【详解】由题意可知，X的取值可能为2，0，2，因为()2242339P X=，()1112339P X=，()122140C339P X=，所以()()41422209993E X=+=，故()222242124162203939399D X=+=故选：B.8.已知直线1yx=+与圆心在 x轴上的圆 M相切，圆 M 与圆 N：()2221xy+=外切，则圆 M 的半径为（）A.21或4 24+B.2 22 C.4
16、24+D.2 22或4 24+【答案】D【解析】【分析】根据M在N的左右两侧进行分类讨论，结合,PMMN的数量关系求解出半径r的值.【详解】如图，过点 M作直线1yx=+的垂线，垂足为 P，设圆 M 的半径为 r，直线1yx=+的倾斜角为 45，点 A 的坐标为()1,0，若点 M 在点 N 左侧，则有23PMMN+=，第5页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 即123rr+=，解得22 2221r=+；若点 M（记为M）在点 N右侧，M P 垂直于1yx=+，则23P MM N=，即213rr=，解得44 2421r=+；所以r的值为2 22或4 24+，故选：D.二、选择题：本题共二、
17、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全选对的得目要求全选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.若12nxx展开式的二项式系数之和为 64，则下列结论正确的是（）A.该展开式中共有 6项 B.各项系数之和为 1 C.常数项为60 D.只有第 4项的二项式系数最大【答案】BD【解析】【分析】对 A：由二项式系数之和为2n可得n的值，即可得展开式中的项数；对 B：令1x=即可得各项系数之和；对 C：代入二项式通项公式计算即可得；对 D：当
18、n为偶数时，二项式系数最大项为第12n+项即可得.【详解】因为二项式系数之和为 64，即有264n=，所以6n=，则该展开式中共有 7 项，A错误；令1x=，得该展开式的各项系数之和为 1，B 正确；通项()()366621661C21C2rrrrrrrrTxxx+=，令3602r=，得4r=，()442561C260T=，C 错误；二项式系数最大的是36C，它是第 4 项的二项式系数，D正确 故选：BD.10.某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理 4节课，且该天上午总共 4节课，下列结论正确的是（）A.若数学课不安排在第一节，则有 18种不同安排方法 的 第6页/共19页 学科网（北京
19、）股份有限公司 B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有 6 种不同的安排方法 C.若语文课和数学课不能相邻，则有 12 种不同的安排方法 D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有 3 种不同的安排方法【答案】ABC【解析】【分析】选项 A 将数学排在后三节，再将其余 3 个科目全排列即可；选项 B 采用捆绑法进行求解；选项 C采用插空法进行求解；选项 D 根据除序法进行求解.【详解】对于 A，有333A18=种排法，故 A 正确；对于 B，采用捆绑法，有33A6=种排法，故 B 正确；对于 C，采用插空法，有2223A A12=种排法，故 C 正确；对于 D，
20、有4433A4A=种排法，故 D错误 故选：ABC 11.如图，在正方体1111ABCDABC D中，P为1AC的中点，1AQtAB=，0,1t，则下列说法正确的是（）A.1PQAB B.当12t=时，/PQ平面11BCC B C.当13t=时，PQ与 CD 所成角的余弦值为1111 D.当14t=时，1AQ 平面1PAB【答案】ABC【解析】【分析】先建立空间直角坐标系，而后对 A：证明两向量之积是否为 0即可得；对 B：证明QP 与BC 平行 第7页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 即可得；对 C：借助向量求出夹角的余弦值即可得；对 D：证明1AQ不与1AB垂直即可得.【详解】建立如
21、图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则(),0,Q tt，所以11 1,22 2QPtt=，()11,0,1AB=，所以10QP AB=，所以1PQAB，A正确；当12t=时，110,022QPBC=，所以/PQBC，又BC平面11BCC B，PQ 平面11BCC B，从而/PQ平面11BCC B，B 正确；当13t=时，1 1 1,6 2 6QP=，()1,0,0DC=，所以 PQ 与 CD所成角的余弦值为11cos,11DC QP=，C正确；当14t=时，113,0,44AQ=，()11,0,1AB=，111310442AQ AB=，所以1AQ不垂直于1AB，所以1AQ不垂直于平
22、面1PAB，D 错误 故选：ABC.12.已知椭圆 C：22194xy+=，直线30mxy+=与 C 交于()11,M x y，()22,N xy两点，若12xx=，则实数的取值可以为（）第8页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 A.15 B.16 C.3 D.4【答案】CD【解析】【分析】将点()11,M x y和点()22,N xy代入椭圆方程组成方程组，利用12xx=和点MN、在直线30mxy+=上消去多余未知数，化简得到用表示2y的关系式，因为30mxy+=表示过定点()0,3斜率为m的直线，所以直线不与y轴重合，因为点()22,N xy在椭圆上，根据椭圆性质得到22y，从而解得范
23、围选出答案.【详解】由12xx=，得()11223333ymxmxy=+因为点()11,M x y，()22,N xy在椭圆C上，所以()()2222222233194194xyxy+=+=消去2x得()2222223314yy+=，解得21356y=因为直线30mxy+=斜率存在为m，所以22y，所以13526，显然1，解得()1,11,55 故选：CD【点睛】关键点睛：本题的关键是将交点代入椭圆，利用已知消元得到2y关于的表达式，根据2y的范围求出的范围.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.某产品的广告费用与销售额的统计数据
24、如下表：广告费用 x/万元 1.8 2.2 3 5 销售额 y/万元 t 7 14 16 第9页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 根据上表数据得到 y 与 x的回归直线方程为3.751.25yx=，则t=_【答案】3【解析】【分析】利用线性回归直线过样本中心列式计算即可得解.【详解】依题意，得1.82.23534x+=，374ty+=，所以373.75 3 1.254t+=，解得3t=.故答案为：3.14.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m个黑球，从中随机摸取 1 个球，有放回地摸取 3次，记摸取白球的个数为 X若()94E X=，则m=_，()2P X=_【答案】.1
25、 .2764【解析】【分析】根据已知条件，可知 X服从二项分布，由二项分布的期望公式可求出 m，进而可得()2P X=.【详解】由题意知33,3XBm+因为()34E X=，所以39334m=+，解得1m=，所以()22331272C4464P X=故答案为：1m=；()27264P X=.15.有 6道不同的数学题，其中有 4 道函数题，2 道概率题，每次从中随机抽出 1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是_【答案】35#0.6【解析】【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可求得结果.【详解】设事件A表示“第一次抽到函数题”，B表示“
26、第二次抽到函数题”，则()4 326 55P AB=，()4263P A=，所以()()()35P ABP B AP A=.第10页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：35.16.已知某人每次投篮的命中率为()01pp，投进一球得 1分，投不进得 0 分，记投篮一次的得分为X，则()()432D XE X的最大值为_【答案】22 3#2 32+【解析】【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得()E Xp=，01p，()()1D Xp p=，则()()()43413322222D XpppE Xpp=332222 222
27、 322pppp=+=，当且仅当322pp=，即32p=时，等号成立，故()()432D XE X最大值为22 3 故答案为：22 3.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.某高校线性代数课程的老师随机调查了该课程学生的专业情况，调查数据如下：单位：人 数学专业 非数学专业 总计 男生 e f 120 女生 60 g 80 总计 160 h 200 （1）求 e，f，g，h的值，并估计男生中是非数学专业的概率；（2）能否有 90%的把握认为选数学专业与性别有关？第11页/共19页 学
28、科网（北京）股份有限公司 附：()()()()()22n adbcabcdacbd=+，其中nabcd=+()2Pk=0 1 0.05 0 01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）100e=，20f=，20g=，40h=，16 （2）没有【解析】【分析】（1）利用22列联表的定义补全，再利用古典概型的概率公式即可得解；（2）利用独立性检验即可得解.【小问 1 详解】由题意可知，16060100e=，120 10020f=，806020g=，200 16040h=，故男生中是非数学专业的概率2011206P=.【小问 2 详解
29、】由题意可知()22200100206020252.08316040 120 8012=又因为190%10%=，而且查表可得()22.7060.1P=，由于2.0832.706 所以124yym+=，1216y y=因为线段 AB 的中点为()0,1Q x，所以1242yym+=，解得12m=，因为直线 l的方程为4xmy=+，所以 l的斜率为 2【小问 2 详解】由（1）知，()11,OAx y=，()22,OBxy=，所以1212OA OBx xy y=+由 1216y y=，得2212121644yyx x=，所以16 160OA OB=，所以OAOB，故90AOB=，故以线段 AB 为
30、直径的圆过坐标原点 O 20.为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加现有来自甲俱乐部的运动员 4名，其中知名选手 2 名；乙俱乐部的运动员 5 名，其中知名选手 3 名从这 9 名运动员选择 5名参加比赛（1）求选出的 5人中恰有 2人是知名选手，且这 2 名知名选手来自同一俱乐部的概率；（2）设随机变量 X 为选出的 5人中知名选手的人数，求 X的分布列与数学期望【答案】（1）863 （2）分布列见解析，()259E X=【解析】【分析】（1）结合概率公式计算即可得；（2）根据随机变量 X的可能取值逐一计算相应概率可得分布列，即可得期望.【小问 1 详解】第15页/共1
31、9页 学科网（北京）股份有限公司 设“选出的 5 人中恰有 2 人是知名选手且这 2名知名选手来自同一俱乐部”为事件 A，则()2323243459C CC C8C63P A+=；【小问 2 详解】由题意可知，X 的取值可能为 1，2，3，4，5()145459C C51C126P X=，()235459C C202C63P X=，()325459C C103C21P X=，()415459C C104C63P X=，()5559C15C126P X=，所以随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 5126 2063 1021 1063 1126()52010101251234512
32、66321631269E X=+=.21.如图，在四棱台1111ABCDABC D中，底面ABCD是菱形，111222=ABAAAB，60ABC=，1AA 平面ABCD （1）证明：1BDCC（2）棱BC上是否存在一点 E，使得二面角1EADD的余弦值为14？若存在，求线段CE的长；若不 第16页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析 （2）棱BC上存在点E，且1015CE=满足题意【解析】【分析】（1）连接11,AC AC，根据题意证得BDAC和1AABD，利用线面垂直的判定定理，证得BD平面11ACC A，进而证得1BDCC；（2）建立适当的空间直
33、角坐标系，分别求出两平面的法向量，由平面夹角公式、二面角的定义即可列出方程求解.【小问 1 详解】如图所示：连接11,AC AC，因为1111ABCDABC D为棱台，所以11,A A C C四点共面，又因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，因为1AA 平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD，又因为1AAACA=，且1,AA AC 平面11ACC A，所以BD平面11ACC A，因为1CC 平面11ACC A，所以1BDCC.【小问 2 详解】取BC中点Q，连接AQ，因为底面ABCD是菱形，且60ABC=，所以ABC是正三角形，所以AQBC，即AQAD，由于1AA 平面ABCD，以A
34、为原点，分别以1,AQ AD AA为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标 第17页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 系，因为111222=ABAAAB，60ABC=，则()()()()110,0,0,0,0,1,0,1,1,3,0,0AADQ，假设点E存在，设点E的坐标为()3,0，其中11，可得()()13,0,0,1,1AEAD=，设平面1AD E的法向量(),nx y z=，则1300n AExyn ADyz=+=+=，取x=，可得3,3yz=，所以(),3,3n=.又由平面1ADD的法向量为()3,0,0AQ=，所以231cos,436AQ n=+，解得105=，由于二面角
35、1EADD为锐角，则点E在线段上QC，所以105=，即1015CE=，故棱BC上存在一点 E，当1015CE=时，二面角1EADD的余弦值为14.22.已知双曲线 C：22221xyab=（0a，0b）的右顶点为 A，左焦点为 F，过点 F且斜率为 1 的直线与 C 的一条渐近线垂直，垂足为 N，且1FN=（1）求 C 的方程（2）过点()2,0M 的直线交 C于()11,P x y，()22,Q xy两点，直线 AP，AQ 分别交 y轴于点 G，H，试问在 x 轴上是否存在定点 T，使得TGTH？若存在，求点 T的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）221xy=第18页/共19页 学科网
36、（北京）股份有限公司（2）存在，3,03T【解析】【分析】（1）结合题意由双曲线的性质计算即可得；（2）设出直线方程后与曲线联立消去纵坐标，可得与两交点横坐标有关韦达定理，结合TGTH及 G，H两点坐标计算即可得.【小问 1 详解】因为 FN 的斜率为 1，且FNON，所以1ba=，即ab=，因为1FN=，则4NFO=，所以12cos4c=，由222cab=+，则1ab=，所以双曲线 C 的方程为221xy=；【小问 2 详解】设直线 AP的方程为()11ykx=，AQ的方程为()21ykx=，则()10,Gk，()20,Hk，设存在定点(),0T t，使得TGTH，则21 20TG THtk
37、 k=+=，所以1 2tk k=当 PQ不垂直于 x轴时，设直线 PQ 的方程为()2yk x=+，联立方程组()2221yk xxy=+=，消去 y 得()()2222144101kxk xkk=，()()4222164 1411240kkkk=+=+，所以212241kxxk+=，2122411kx xk=因为()()21212121212121224111kx xxxyyk kxxx xxx+=+，第19页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以22222212222224184113141493111kkkkkkk kkkkkk+=+，所以1 233tk k=，即存在定点3,03T，使得TGTH；当 PQ垂直于 x 轴时，直线 PQ的方程为2x=，联立方程组2221xxy=，解得23xy=，设()2,3P，由13OGPM=，得33OG=，所以存在定点3,03T，使得TGTH；综上，在 x 轴上存在定点3,03T，使得TGTH.【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线的题目，基本方法是联立直线方程与曲线方程，化成关于横坐标或纵坐标有关的一元二次方程，结合韦达定理进行运算解答.