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1、第一讲数与式1.1 数与式的运算1.1.1.绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即f a,a 0,I 1=0,a=0,-,a 4.解法一：由x-l=0,得 x=l;由 x-3=0,得 x=3;若x 4,即-2x+4 4,解得 xVO,又 XVI,.*.x0；若1J4,即 14,.不存在满足条件的X；若X23,不等式可变为(x l)+(x 3)4,即 2x-44,解得 x4.又近3,*.x4.综上所述，原不等式的解为x4.解法二：如图1.1 1,卜-1|表示X轴上坐标为X的点尸到坐标为1的点/之间的距离I 口 I，即以I=x-1|；归一3|
2、表示“轴上点尸到坐标为2的点B之间的距离|尸8|,即I?8|=一一3|.所以，不等式卜-1|+卜-3|4的几何意义即为|一|+|尸用4.由|/3|=2,可知点P在点。(坐标为0)的左侧、或点。在点。(坐标为4)的 右侧.x4.练习1.填空：(1)若卜|=5,则=；若卜|，贝ljX=.(2)如果且a=-l,2.选择题：下列叙述正确的是(A)若同=|“，则 a=6(C)若a b,则同 5).则 b=；若|1 一 c|=2,则 c=.()(B)若同，贝lj a b(D)若,则 a=b11.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:（1）平方差公式（2）完全平方公式2 2(a+b)(a-
3、h)-a-h;2 2 2a h)=c T 2ab+b.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式对上面列出的五个公式,2 2 3 3a+b)(a-ab+h-a+h;2 2 3 3a-b)(a+ah+h)-a-b;a+h+c j=a+3+c-2(a b+h e-;(0,b 0);而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行 运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2.二次根式行的意义47=a=a，-0,-a,a 0);(3)14 y(x 0
4、);(3)77=2|x3|77=-2x377(o)-3，例2计算：石十（3-JT）.5例31a/T-1_ vr+1(VT-i)(VT+i)6+12试比较下列各组数的大小：(1)屈而和而-而;(2)-和2-&.J6+4解:而J（l-i/-1又 y/i2+而 VTTT 而,.*.y/l2-VTT 2a,.，.V6+4.*.-V 2.6+4化简：（JT+石）2g-（JT-J7）2056例 5 化简：(1)，9 一 46;(2)x2+2(0 x 03.若公2 T+求a+6 的值.a+14.比较大小：2一小_事一木(填“K+1-X-1()(C)x 2(D)0 x 2,或71.1.4.分式1.分式的意义A
5、 A形如一的式子，若8中含有字母，且则称一为分式.当M却时,B BA分式一具有下列性质:BA A x MB B x MA 4+B B+M上述性质被称为分式的基本性质.2.繁分式a像 丝土？土土这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.c+d 2m+pS r 4-4 A R例1若三=2+，求常数48的值.x(x+2)x x+2的 A B J(x+2)+Bx(Z+8)x+2Z 5 x+4 nH-+x x+2 x(x+2)x(x+2)x(x+2)A+B=5,2A=4,解得 A=2,B=：.例2(1)试证：一!一=-(其中是正整数)；n(n+1)n +1人 1 1 1(2)计算：-+-+.-；1
6、x 2 2 x 3 9 x 10(3)证明：对任意大于1的正整数，有_1_+_+2x3 3x41 1-(+1)-2/、-1 1(+1)1(1)证明：-=-=-9n n 4-1(+1)n(n 4-1)!=-(其中是正整数)成立.(+1)n n+1(2)解：由(1)可知1 1 11=1-109 10-+-+1 X 2 2x 3 臾 11 1 1 1 1=(1 一一)+寸)-7.、一2 2 3 9 18(3)证明：.一+2x3 3x4n(n+1)11 11 1 1=(一 一)+()+、-)2 3 3 4 n +11 12 n+1又论2,且是正整数，义7 一定为正数，n+11 1 1 1-+-+.l,
7、2c之一5 ac+2a2=0,求 e 的值.a解：在2c25 ac+2“2=0两边同除以得2。25+2=0,(2el)(e2)=0,Ae=|3；(2),+3|+卜_2|6.2.已知x+y=l,求工3+/+3盯的值.3.填空：(1)(2+77)。2一6)|9=；(2)若，(1 4)2+&+4)2=2,则。的取值范围是;9B组填空：2/、1 1 r 3a-ah(1)a=,b=，贝-=_2 3 3a2+5ah-(2)若 x?+盯一2d=o,则*+y2.1.1 1已知：x=一,y=一,2 32 c 2c组选择题:(A)a b(C)a b 0(2)计算(A)J-a(B)(C)-J-a(D)b a 0(D
8、)-f a)2.3.4.解方程 2(1+)-3(x+)-1=0.x x1 1 1 i计算：+，+.1 X 3 2 x 4 3 x 5 9 x 1 1试证：对任意的正整数小 有-+-+.-3；(3)x2 2x1;(4)4(x-y+l)-i-y(y-2x).习题1.21.分解因式：(1)6/3+1;(2)4 x4-13%2+9;(3)b+c?+Zab+Zac+2bc;(4)3x2+5xj/-22+x+9-4.2.在实数范围内因式分解：(1)x2-5x+3;(2)x2-2 ylx-3;(3)3 x2+4 xy-y;(4)(%2-2x)2-7(x2-2x)+12.3.AABC 二边a b y c 满足
9、(7 2+ft2+c2=ab+he+c a，试判定 A4 B C 的形状.4.分解因式：f+x(tz2a).12第二讲函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式我们知道，对于一元二次方程办2+法+C=()(a/),用配方法可以将其变形为2 a 4 a因为存0,所以，4 a20.于是(1)当后-4加0时,方程的右端是一个正数,因此，原方程有两个不相等的实数根-b yjb2-4ac孙 2=-；2 a(2)当/一4比=0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bX=X2=-；2 a(3)当4 acV0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x+2)2一定大于或等于零，因 2 a此，
10、原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程ax+bx-Vc (a/)的根的情况可以由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程a/+法+c=0(a/)的根的判别式，通常用符号A来表示.综上所述，对于一元二次方程+取+c=o(“#),有(1)当A0时，方程有两个不相等的实数根-b yjb2-4ac修，2=-；2 a(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根bX=X2=一；2a(3)当AV0时，方程没有实数根.例1判定下列关于的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1)x23x+3=0；(2)X2ax1=0；(3)x2x+(a1)=0;(4)x22x+a=0
11、.解：(1).A=324 xlx3=-3V0,.,.方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式=函4 x1x(1)=/十40,所以方程一定有两个不等的实数根a+y/a2+4 a-Ja、+4X ,X 2 2 2(3)由于该方程的根的判别式为_4 x1x(“-1)=2-4 a+4=(a-2),所以，当a=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根X=:X2=1；当a#2时-，A0,所以方程有两个不相等的实数根X1 1 9 X2 Cl 1(3)由于该方程的根的判别式为=224 xlxa=4-4 a=4(l a),所以当A0,即4(1a)0,即aVl时，方程有两个不相等的实数根x,=1+Jl-a,x,=1
12、-yj-a；当A=0,即a=l时-，方程有两个相等的实数根13X=%2=1；当AV。，即al时，方程没有实数根.说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程 中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非 常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程*2+6x+c=0（a邦）有两个实数根-b+yjb1-4ac-b-b2-4acX1=-,X2=-,2 a 2 a则有 _ _-b+飞b2-4ac-b-yb2-4ac-2b bX+%=-+-=-=
13、-；2 a 2 a 2 a a-h+Jb2-4ac-b-yb 2-4ac b-（b 2 4 ac）4ac cx2=-：-：-=-=2 a 2a 4 a 4 a a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果/+以+。=0（#0）的两根分别是对X2,那么的+、2=-一，xrx2=.这一关系也被称为 a a韦达定理.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程f+px+q=0,若修，切是其两根，由韦达定理可知X 必=-P，X*X2=q，即 夕=一（修+应），q=Xi*X2,所以，方程f+px+qu。可化为？一（x1+%2）%+%2=0，由于X”12是一元二次方程f+px+qu。的两根，所以，%1
14、，%2也是一元二次方程f（%+%2）%+%/%2=0.因此有以两个数X1，必为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X2（X1+x2）x+xfX2=0.例2已知方程5 1+一 6=0的一个根是2,求它的另一个根及左的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出左的值，再由方程解出另一个根.但 由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数 和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出人的值.解法一：是方程的一个根，.,.5 x22+左 x2 6=0,：.k=7.3所以，方程就为5 f7x6=0,解得修=2,必=.
15、53所以，方程的另一个根为一一，女的值为一7.5解法二：设方程的另一个根为修，则2n=-,=5 53 k由（一一）+2=,得 k=l.5 53所以，方程的另一个根为一一，左的值为-7.5例3 已知关于X的方程?+2（m 2）x+/+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求相的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于加的方程，从而解得加的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.14解：设修，乃是方程的两根，由韦达定理，得修+%2=2(m2),%12=/+4.,.*12+22%/2=21,+
16、必)2 一 3 为 2=2 1,即 2(加一2)23(/+4)=21,化简，得 m216m17=0,解得 m=,或加=17.当机=1时，方程为12+6x+5=0,A0,满足题意；当机=17时，方程为？+3(k+293=0,A=302-4 xlx2930.由得 a4,17由得 aZ.a的取值范围是a4.练 习1.选择题：(1)方程?一 2-f ikx+3 k2=0的根的情况是()(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根(2)若关于x的方程mx2+(2加+l)x+加=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()(A)m 4 4(C)m ,且 m#O4
17、 42.填空：(1)若方程3x1=0的两根分别是X和X2,则L+L=./X2(2)方程2z=0(m#O)的根的情况是.(3)以一3和1为根的一元二次方程是.3.已知J/+8a+i 6+|b 1|=0,当左取何值时，方程依2+6+6=0有两个不相等的实数根？4.已知方程3x1=0的两根为和X2，求(%13)(%23)的值.16习题2.1A组1.选择题：(1)已知关于%的方程f+去一2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3(B)3(C)-2(D)2(2)下列四个说法：方程？+2%7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；方程2x+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；方程3%27=0的两根
18、之和为0,两根之积为-一；3方程3/+2%=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个(3)关于x的一元二次方程办2一5%+“2+4=0的一个根是0,则q的值是()(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一 12.填空：(1)方程kx+Ax-1=0的两根之和为一2,则k=.(2)方程 2?-%4=0 的两根为 a,P，则(？+1=.(3)已知关于x的方程f办一3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程Zr?+Zx1=0的两根为修和必，贝山修一切|=3.试判定当2取何值时，关于X的一元二次方程加2*2(2加+1)工+1=0有两
19、个不相等的实数根？有两个 相等的实数根？没有实数根？4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程f7x1=0各根的相反数.B组1.选择题：若关于x的方程X2(k2 1)%+攵+1=0(A)1,或一1(B)1(C)-1的两根互为相反数，则k的值为()(D)02.填空：(1)若相，”是方程2+2005%1=0的两个实数根，则J”+相/一加”的值等于(2)如果a,6是方程f+x1=0的两个实数根，那么代数式。3+/6+仍2+、的值是3.已知关于的方程f左%2=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为力和12，如果2(%1+%2)%1%2,求实数一的取值范围.4.一元二次方程-(
20、B)a+pl(D)a+p 与的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出_y=2?,y=-x2,y=2?的图象，通过这些函数图象与函数y 2的图象之间的关系，推导出函数歹=af与、=/的图象之间所存在的关系.先画出函数y=2y2的图象.先列表:X-3-210123X294101492x2188202818x2从表中不难看出，要得到2?的值，只要把相应的 倍就可以了.再描点、连线，就分别得到了函数=?,y=2x2 2-1所示)，从图21我们可以得到这两个函数图象 函数歹=2f的图象可以由函数歹的图象各点的纵坐 的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=的图象，并研究这两
21、个函数图象与函数的图 系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数=/(存0)的图象可以由的图象 yx2yo2.Oy26+I)2=2x图 2.2-2-h4)2+i的值扩大两的图象(如图 之间的关系：标变为原来X2,y=2象之间的关各点的纵坐18标变为原来的倍得到.在二次函数夕=依25#)中，二次项系数。决定了图象的开口方向和在同一个坐 标系中的开口的大小.问题2函数y=Q(x+/)2+攵与歹=2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数 _y=2(x+l)2+l与歹=2?的图象(如图22所示)，从函数的同学我们不难发
22、现，只要把函数y=2f的图 象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+l)2+l的图象.这两个函数图象之 间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=3f,=3(x1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=q(x+)2+A5#)中，“决定了二次函数图象的开口大小及方向；决定了二次函数图象 的左右平移，而且“正左移，4负右移”；A决定了二次函数图象的上下平移，而且“正上移，无负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数歹=数2+法十3邦)的图象的方法：一 2 2 b 2b b2 b2由于 yax
23、 hxc=a(x+x)+c=q(x+x+)+c a a 4。4a7 7 2)b 2 b 4 qc=q(x+-)+-,2a 4a所以，y=2+乐+&4却)的图象可以看作是将函数y=Qx2的图象作左右平移、上下平移得到的，于 是，二次函数yjf+bx+c(存0)具有下列性质：,._,2(1)当。0时，函数夕=依2+乐+c图象开口向上；顶点坐标为(-一-),对称轴为直线X2 a 4。=当XV-2时一，y随着x的增大而减小；当x-2时-，y随着x的增大而增大；当工=-上-2a 2a 2 a 2 a4 ci c-b 时一，函数取最小值y=-.4 a(2)当4V0时，函数夕=依2+以+。图象开口向下；顶点
24、坐标为(上-J对称轴为 2a 4 a直线X=一上-；当XV-2时，y随着x的增大而增大；当*-上-时，7随着x的增大而减小；当x 2 a 2 a 2 a,.,2n 4 Cl c b=时，函数取最大值=.2a 4。上述二次函数的性质可以分别通过图2.2 3和图2.24直观地表示出来.因此，在今后解决二次 函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.bh y.,.,2.数空=4.冢2立.+1图象的开口力同、顶点坐标、最大值(或2最力、值”并指出当X取何值时，J随例1求二次而增大(或减d阂它画出该函数的图象.解：,y=-3x6x+l=-3(%+1)2+4,.函数图象的开口向下；
25、对称轴是直线=-1;顶点坐标为(-1,4)；当=1时一，函数y取最大值y=4；=bX=2a19.2b 4ac-b，-)2a 4 ax力小,4)”图 2.2-4。1)%=1 图 2.2 5O B x对称轴、X的增大当xV l时-，y随着x的增大而增大；当%1时-，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点4(1,4),与一轴交于点3-3,0)和。(_ 2立1 3),与歹轴的 3 3交点为。(0,1),过这五点画出图象(如图2 5所示).说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选 点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.例2某种产品的成本是120元/件
26、，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量V(件)之 间关系如下表所示：%/元130150165W件705035若日销售量歹是销售价的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为 多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润=日销售量歹x(销售价120),日销售量v又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价之间的函数关系，然后，再由它们之 间的函数关系求出每天利润的最大值.解：由于y是x的一次函数，于是，设歹=区+(B)将 x=130,y=70；x=15 0,y=5 0 代入方程，有f 70=130左+b,5 0
27、=1 50 后+b,解得 k=l,6=200.y=x+200.设每天的利润为z(元)，则z=(x+200)(x 120)=-X2+320-24 000=-(x-160)2+160 0,.,.当x=160时,z取最大值1600.答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元.例3把二次函数y=f+加:十。的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数歹的 图像，求6,c的值.解法一：歹=x2+6x+c=(x+2)2+c_,把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到 2 4y=(x+4)2+c 丝+2的图像，也就是函数的图像，所以，2 4b-4=0,-2 解得 6=8,c
28、=14.b2c-+2=0I 4解法二：把二次函数y=f+Zzx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=X2 的图像，等价于把二次函数的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=7+6x+c的图像.由于把二次函数的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=(x4)2+2的图 像，即为y=x28x+14的图像，.,.函数y=x28x+14与函数y=+6x+c表示同一个函数，.6=8,c=14.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次 函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用
29、条件进行正向的思维来解决的，其运算 量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量 小的优点.今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题.例4已知函数一2q,其中定一2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和 最小值时所对应的自变量x的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对。的取值进行讨论.20解：(1)当。=-2时，函数的图象仅仅对应着一个点(一2,4),所以，函数的最大值和最小值 都是4,此时x=2；(2)当一2VaV0时，由图2.2 6可知，当=2时、函数取最大值y=4；当时，函数取 最小值
30、=/；(3)当0%2时，由图2.26可知，当=2时，函数取最大值y=4；当x=0时，函数取最小值_y=0；(4)当近2时，由图2.26可知，当x=a时,y=0.函数取最大值=。2；当x=0时，函数取最小值说明：在本例中，利用了分类讨论的方 法，对a的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.练 习1.选择题：(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()(A)y=2x2(B)y=2%24 x+2(C)y=2x2 1(D)y=2x24x(2)函数y=2Qlp+2 是将函数y=
31、2y2()(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2.填空题(1)二次函数y=2f图象的顶点坐标为(1,2),则加=,n=.(2)已知二次函数=%2+(?-2)x2加，当m=时，函数图象的顶点在歹轴上；当加=时一,函数图象的顶点在刀轴上；当加=时，函数图象经过原点.(3)函数y=3。+2)2+5的图象的开口向,对称轴为,顶点坐标为；当x=时，函数取最_值y=;当x 时，y随着x的增大而减小.3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小
32、)值及y随x的变化情况，并画出其图象.(1)y=x22x3；(2)y=1+6a,x.4.已知函数y=-2x+3,当自变量X在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求 当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：(1)x2；(2)x2；(3)2xl；(4)0 x0时，抛物线十及+c(存0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线歹=*2+以+”和)与x轴有两个交点，则A0也成立.(2)当A=0时，抛物线y=af+x+c(分0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物 线y=ax：2+x+c(a#)与x轴有一个交点，则A=0也成立.(3)当AV0时，抛物线y=ox2+x+c(今0)与x
33、轴没有交点；反过来，若抛物线夕=/+加;+，(存0)与x轴没有交点，则A V0也成立.于是，若抛物线歹=办2+氏+(:(g0)与X轴有两个交点/(X”0),8(%2，0)，则1，X2是方程af 十 法+c=0的两根，所以,_ b _cXX2-，%1%2-，a ah c即 一=一(%1+%2)，一=/了2.a ab c所以，y=ax2-bx-c=a(x2+x+)a a=af-(Xi+%2)尤+%1乃=a(xx)由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线产=/+以+，(存0)与*轴交于48，0),B(xz，0)两点，则其函数关系式可以表示为-Xi)(XX2)(40).这样，也就得到了表示二次函数的
34、第三种方法：3.交点式：y=a(x-xi)(xx2)(a/0),其中x0用是二次函数图象与x轴交点的横坐标.今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这 22三种表达形式中的某一形式来解题.例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+l上，并且图象经过点(3,-1),求 二次函数的解析式.分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设 成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数或解：二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，.顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+l上，所以，2=x+l,，顶点
35、坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为y=a(x-2)2+(a 0),.二次函数的图像经过点(3,-1),-1=0(3-2)2+1,解得=2.二次函数的解析式为y=-2(x-2/+1,即y=-2?+8x7.说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函 数的顶点式，最终解决了问题.因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地 解决问题.例2已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶点到工轴的距离等于2,求此二次函数的表达 式.分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交 点坐标
36、，于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一：.,二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),.,.可设二次函数为y=aQ+3)Q1)伍却)，展开，得 y=ax-2axia,-12a2-4 a2顶点的纵坐标为-=-4,4 a由于二次函数图象的顶点到轴的距离2,4 a|=2,即 a=L21 3 1 3所以，二次函数的表达式为、=一一+一一，或y=一+.2 2 2 2分析二：由于二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),所以，对称轴为直线=1,又由顶点到x轴 的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再 利用图象过点(一3,0),或(1,0),就可
37、以求得函数的表达式.解法二：.,二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),对称轴为直线=1.又顶点到x轴的距离为2,.顶点的纵坐标为2,或一2.于是可设一次函数为y=a(x+1)2+2,或y=a(x+i f2,由于函数图象过点(1,0),.0=(1+1)2+2,或 0=。(1+1)22.1 T 1.a=,或 a=.2 2所以，所求的二次函数为V=一1。+1)2+2,或y=L(x+l)22.2 2说明：上述两种解法分别从与X轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来 解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题.例3已知二次函数的图象过点(一1,-22)
38、,(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.解：设该二次函数为=2+法+(?(4#).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得231-22=q b+c,一8=c,=4 a+2b+c,解得 a=2,6=12,c 8.所以，所求的二次函数为y=2?+12%8.通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式 来求二次函数的表达式？练 习1.选择题：(1)函数歹=-f+x1图象与工轴的交点个数是(A)0 个(B)1 个(C)2 个(2)函数歹=g(%+1)2+2的顶点坐标是()(D)无法确定()(A)(1,2)(B)(1,-2)(C
39、)(-1,2)(D)(-1,-2)2.填空：(1)已知二次函数的图象经过与轴交于点(一1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a(分0).(2)二次函数y=-f+2x+l的函数图象与x轴两交点之间的距离为.3.根据下列条件，求二次函数的解析式.(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6)；(2)当x=3时，函数有最小值5,且经过点(1,11)；(3)函数图象与轴交于两点(1也，0)和(1+啦，0),并与y轴交于(0,-2).2.2.3二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1.平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研
40、究二次函数的 图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改 变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置 即可.例1求把二次函数以+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：(1)向右平移2个单位，向下平移1个单位；(2)向上平移3个单位，向左平移2个单位.分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数)，所以只改变二 次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项)，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然 后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求
41、出平移后函数图像所对应的解析式.解：二次函数y=2x24 x3的解析式可变为y=2(x I)2 1,其顶点坐标为(1,-1).(1)把函数y=2(xI)?1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标 是(3,-2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y=2(x-3)22.(2)把函数y=2(xIp1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标 是(一1,2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y=2(x+卢2.2.对称变换24问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点,可以怎样来研
42、究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点 只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题.例2求把二次函数y=2?以+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式:(1)直线 x=-1;(2)直线y=l.解：(1)如图2.2-7,把二次函数 的图象关于直线4=1作对称变换后，只 顶点位置，不改变其形状.由于 y=2f4 x+1=2(%I)?1,可 2x?4 x+l图象的顶点为4(1,1),所以，到图象的顶点为4(3,1),所以，二
43、次函+1的图象关于直线x=-1对称后所得到 解析式为 y=2(x+3)2_ 1,即 _y=2x2+12x(2)如图2.2 8,把二次函数y=2?象关于直线x=l作对称变换后，只改变 位置和开口方向，不改变其形状.由于 y=2f4 x+l=2(xI)?1,可知，函数 y 图象的顶点为4(1,1),所以，对称后所得到图象的顶 且开口向下，所以，二次函数y=2f4 x+l的图象关 称后所得到图象的函数解析式为歹=-2(x1)2+3,即+1.二、分段函数=2x24 x+1 改变图象的知，函数y=对称后所得 数 y=2x24 x 图象的函数+17.4 x+1的图 图象的顶点2x2 4 x+1 点为 8(
44、1,3),于直线y=l对 y=-2x2+4jc一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函析式给出，这种函数，叫作分段函数.图2.2 8 数由不同的解例3在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过4 0g付邮资160分，超过4 0g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(OVxS lOO)的信应付多少邮资(单位：分)？写出 函数表达式，作出函数图象分析：由于当自变量X在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的.所以，可以用分段函数给 出其对应的函数解析式.在解题时，需要注意的是，当工在各个小范围内(如20烂40)变化时，它所对 应的函数值(邮资)并不变化(都是1
45、60分).解：设每封信的邮资为(单位：分)，则是的函数.这个函数的解析式为8 0,xg(0,201 6 0 x g(20,4y=2 4 0,x e 9 4 0,3 2 0 x e(60,84 00,xe(80,1由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2.2 9所示.M分)”400-o320-o一240.o-160-o-80 o-_I_I_I_O 20 40 60 80 100 4克)25 图 2.2 9例4如图9-2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P,从点A出发沿折线ABCD移 动一周后，回到/点.设点4移动的路程为x,的面积为y.(1)求函数y的解析式；(2)画出函数y的图像
46、；(3)求函数y的取值范围.分析：要对点尸所在的位置进行分类讨论.解：(1)当点尸在线段43上移动(如图2.210)，即0V烂2时,y=AP-BC=x；2当点尸在线段上移动(如图2.210)，即1 1,y=PC-AB=(4-x)-2=4X;2 2当点尸在线段CO上移动(如图2.210)，即1 1 4y=-PC-AD=(x-4)-2=X4;2 2当点。在线段。力上移动(如图2.210)，即2x4 时,4 V烂6时,6 Vx8 时,图 2.210图 2.2101y=-pa CD 2综上所述，函数/(%)的解析式为x,0 x 2,4-x9 2 x 4,y=x-4,4 x 6,8-x,6 x 8.(2
47、)函数的图像如图2.211所示26(3)由函数图像可知，函数y的取值范围是0 2,(1)已知函数歹=则当=4时，y=_；当=4时，y=_.2x+4,x2(2)把二次函数y=2?+4、8x+1的函数图象向平移单位后，得到的图象所对应的解析式为y=2+7；再向 平移 个单位后，得到的图象所对应的解析式为y=2f+l；再将其关于 对称后得到的图象所对应的函数解析式为y=2f+5.3.已知点P是边长为1的正方形的顶点/出发，顺次经过8,C,。移动一周后回到点力,设x表 示点。的行程，y表示线段为的长，试求y关于x的函数.习题2.2A组1.选择题：(1)把函数y=(x1)2+4的图象的顶点坐标是()(A
48、)(-1,4)(B)(-1,-4)(C)(1,-4)(D)(1,4)(2)函数y=f+4 x+6的最值情况是()(A)有最大值6(B)有最小值6(C)有最大值10(D)有最大值2(3)函数y=2?+4 x5中，当一332时，则y值的取值范围是()图 2.211(A)-3yl(B)一(C)7yU(D)-7yll2.填空：(1)已知某二次函数的图象与轴交于/(一2,0),3(1,0),且过点C(2,4),则该二次函数的表达 式为(2)已知某二次函数的图象过点(一1,0),(0,3),(1,4),则该函数的表达式为.3.把已知二次函数歹=2?+4 x+7的图象向下平移3个单位，在向右平移4个单位，求
49、所得图象对应的函 数表达式.4.已知某二次函数图象的顶点为/(2,-18),它与x轴两个交点之间的距离为6,求该二次函数的解析27式.B组1.填空：(1)将二次函数y=2f+4 x+7的图象关于直线4=1对称后，所得图象对应的函数表达式 为；再将该图象关于直线y=2对称，所得图象对应的函数表达式 为.(2)函数=一+也+2在0十二3上的最大值为,最小值为.(3)函数y=%2+4 ax+2在x3 时，0,即 X?x60；当一2VxV3 时，y0的解是X3；一元二次不等式X2x6 Vo的解是2 Vx V3.30上例表明：由抛物线与X轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解
50、集.那么，怎样解一元二次不等式办2+bx+c0(a#)呢？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数_y=af+6x+c(a/)的图象来解一元二次不等式 ax2+bx+c 0(存0).为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解.我们知道，对于一元二次方程分2+6x+c=0(q0),设=/4qc,它的解的情形按照(),=(),0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式62+bx+c0(。0)与原2+bx+cV0(a0)的 解.(1)当A0时，抛物线歹=4/+法+。(a0)与x轴有两个公共点(