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1、函数函数的的概念概念 知识梳理知识梳理1.函数的概念函数的概念：设A，B是非空的_，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_数x，在集合B中都有_的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.其中x叫做_，x的取值范围A叫做函数yf(x)的_；与x的值相对应的y值叫做_，函数值的集合f(x)|xA叫做函数yf(x)的_，则值域是集合B的_2常见函数的定义域和值域常见函数的定义域和值域函数关系式图象定义域值域反比例函数ykx(k0)一次函数ykxb(k0)二次函数yax2bxc(a0)3相等函数相等函数：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和
2、值域，其中值域是由_和_决定的如果两个函数的定义域相同，并且_完全一致，我们就称这两个函数相等(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就_故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则 如 y1 与 yxx不是相等函数，因为_ y3t4 与 y3x4 是相等函数(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示4区间与无穷大区间与无穷大：（1）区间的几何表示定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|aa(a，)x|xb(，bx|x0，f：xy|x|；AZ，BZ
3、，f：xyx2；AZ，BZ，f：xy x；A1,1，B0，f：xy0.答：(1)不是是2.以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：yxx；f2：y1.(2)f1：y1，x1，2，1x2，3，x2.f2：xx11x2x2y123(3)f1：y2x；f2：如图所示【解】(1)不同函数f1(x)的定义域为xR|x0，f2(x)的定义域为 R.(2)同一函数，x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式(3)同一函数理由同(2)【题型二题型二】求函数定义域求函数定义域【例例 2】1.求下列函数的定义域：y 4x；y1|x|x；y 5x x11x29.解析
4、(1)4x0，即 x4，故函数的定义域为x|x4分母|x|x0，即|x|x，所以 x0.故函数的定义域为x|x0解不等式组5x0，x10，x290，得x5，x1，x3.故函数的定义域是x|1x5 且 x3【课堂练习【课堂练习 2】1.将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长 x 的解析式，并写出此函数的定义域解：设矩形一边长为 x，则另一边长为12(a2x)，所以 yx12(a2x)x212ax，定义域为(0，a2)2.（2016 年高考江苏卷）函数 y=23 2xx-的定义域是.【答案】3,13.若函数86-)(2+=mmxmxxf的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是.4.
5、已知函数32341axaxaxy的定义域为 R，则实数a的取值范围是.【题型三】复合函数的定义域【题型三】复合函数的定义域【例例 3】1.已知函数 f(x)的定义域为(1，0)，则函数 f(2x1)的定义域为()A.(1,1)B.)21,1(C.(1,0)D.)1,21(解析：由题意知12x10，则1x12.答案：B2.已知 f(x21)的定义域为0，3，则函数 yf(x)的定义域为_解析：0 x3，0 x29，1x218，函数 yf(x)的定义域是1，8【课堂练习【课堂练习 3】1.已知函数 f(2x1)的定义域为(0，1)，则 f(x)的定义域是_解析因为 f(2x1)的定义域为(0，1)
6、，即其中的函数自变量 x 的取值范围是 0 x1，令 t2x1，所以 1t3，所以 f(t)的定义域为t|1t3，所以函数 f(x)的定义域为x|1x0)5.f(0)1，并且对任意实数 x，y，有 f(xy)f(x)y(2xy1)，求 f(x)的解析式.解：令 x=0,y=-x,则 f(x)=f(0)+x(0+x+1)=1+2xx课堂小结：课堂小结：函数解析式的求法：(1)凑配法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法
7、：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于 f(x)与 f(1x)或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)（5）赋值法：赋 x,y 特殊值，适用于解抽象函数。【课堂练习【课堂练习 4】1.已知)1(xxfx21x2，求 f(x)的解析式；解：由于)1(xxfx21x22)1(xx2，所以 f(x)x22，x2 或 x2，故 f(x)的解析式是 f(x)x22，x2 或 x2.2.如果 f(12x)x，求 f(x)的解析式.解：令2x1t，由于 x0，所以 t1 且 x2t1，所以 f
8、(t)2t1，即 f(x)2x1(x1)3.若 f(x)为二次函数且 f(0)3，f(x2)f(x)4x2，则 f(x)的解析式为_解：设 f(x)ax2bxc(a0)，又 f(0)c3.所以 f(x)ax2bx3，所以 f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以4a4，4a2b2，所以a1，b1，所以所求函数的解析式为 f(x)x2x3.4.已知函数 f(x)满足 2f(x)f(x)1x，求 f(x)的解析式解：2f(x)f(x)1x，将 x 用x 代替得 2f(x)f(x)1x，由消去 f(x)得 f(x)13x.家庭作业家庭作业1Ax|0 x2，
9、By|1y2，下列图形中能表示以 A 为定义域，B 为值域的函数的是()答案B解析A、C、D 的值域都不是1,2，故选 B.2给出下列从 A 到 B 的对应：AN，B0,1，对应关系是：A 中的元素除以 2 所得的余数A0,1,2，B4,1,0，对应关系是 f：xyx2A0,1,2，B0,1，12，对应关系是 f：xy1x其中表示从集合 A 到集合 B 的函数有()个.A1B2C3D0答案B解析由于中，0 这个元素在 B 中无对应元素，故不是函数，因此选 B.3集合 Ax|0 x4，By|0y2，下列不表示从 A 到 B 的函数是()Afxy12xBfxy13xCfxy23xDfxy x答案C
10、解析对于选项 C，当 x4 时，y832 不合题意故选 C.4.f(x)1xx1x的定义域是()A1，)B(，1CRD1,1)(1，)答案D解析1x01x0，解得x1，x1，故定义域为1,1)(1，)，选 D.5.若函数 yf(x)的定义域是1，2 015，则函数 g(x)f（x1）x1的定义域是()A0，2 014B0，1)(1，2 014C(1，2 015D1，1)(1，2 014解析要使函数 f(x1)有意义，则有 1x12 015，解得 0 x2 014，故函数 f(x1)的定义域为0，2 014 所以使函数 g(x)有意义的条件是0 x2 014，x10，解得 0 x1 或 1x2
11、014.故函数 g(x)的定义域为0，1)(1，2014，故选 B.6若二次函数 g(x)满足 g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则 g(x)的解析式为()Ag(x)2x23xBg(x)3x22xCg(x)3x22xDg(x)3x22x解析：选 B.用待定系数法，设 g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，abc1abc5，c0解得a3b2，c0g(x)3x22x.7下列函数中，不满足：f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x|Bf(x)x|x|Cf(x)x1Df(x)x答案C解析f(x)kx 与 f(x)k|x|均满足：f(2x)2f(x)得：A，B，D 满
12、足条件8.若函数 f(x)2x22axa1的定义域为 R，则 a 的取值范围为_解析：因为函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x22axa10 对 xR 恒成立，即 2x22axa20，x22axa0 恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.答案：1,09.已知函数 f(32x)的定义域为1,2，则 f(x)的定义域为解：用换元思想，令 32xt，f(t)的定义域即为 f(x)的定义域，t32x(x1,2)，1t5，故 f(x)的定义域为1,510已知 f(2x1)3x4，f(a)4，则 a_解析 令 2x1a，则 xa12，则 f(2x1)3x4 可化为 f(a)3（a1）24，因为
13、f(a)4，所以3（a1）244，解得 a193.答案19311.已知 f(x)满足 2f(x)f)1(x3x，则 f(x)_解：2f(x)f1x 3x，把中的 x 换成1x，得 2f1x f(x)3x.2得 3f(x)6x3x，f(x)2x1x(x0)12.下列各组函数中,表示同一函数的是.(填序号)1)(xxf，1)(2xxxg；xxf)(，2)()(xxg；xxf=)(，33)(ttg=；xxf2)(，24)(xxg.答案：13求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y1)1(2+xx 1x；(2)y5x|x|3.解析(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足x101x0，解得 x
14、1 且 x1，即函数定义域为x|x1 且 x1(，1)(1,1(2)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足5x0|x|30，解得 x5，且 x3，即函数定义域为x|x5，且 x3(，3)(3,3)(3,514已知函数 f(x)1x21x2，(1)求 f(x)的定义域(2)若 f(a)2，求 a 的值(3)求证：)(-)1(xfxf=解析(1)要使函数 f(x)1x21x2有意义，只需 1x20，解得 x1，所以函数的定义域为x|x1(2)因为 f(x)1x21x2，且 f(a)2，所以 f(a)1a21a22，即 a213，解得 a33.(3)由已知得 f(1x)1(1x)21(1x)2x21x21，f(x)1x21x2x21x21，f(1x)f(x)