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1、试卷类型：A绝密启用前内蒙古包头市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题20222023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷理科数学注意事项：1考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域本试卷满分150分，考试时间120分钟2做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 命题“，”的否定是
2、（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据存在量词命题否定为全称量词命题即可得解.【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：A2. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由抛物线的标准方程即可求解.【详解】由抛物线的标准方程可知：抛物线的开口向左，焦点在轴负半轴上，且，所以，所以焦点坐标为.故选：C3. 已知a，则“”是方程“表示圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】由
3、可化为，当时，表示圆，当表示圆时，推不出，所以“”是方程“表示圆”的充分不必要条件，故选：A4. 长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（ ）A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】连接，利用两次勾股定理求解.【详解】连接，在中，在中，.故选：D. 5. P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角形中位线定理，先求出，然后再根据椭圆的定义，即可算出.【详解】设为椭圆的右焦点，连接，因为M是线段PF的中点，为的中点，所以，因为，所以，因为椭圆标准方程为，所以，又由椭圆的定义，有，所以
4、.故选：C6. 已知圆与圆交于两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据两圆相交求出公共弦所在直线方程，再根据弦长公式求解即可.【详解】由题意知，圆与圆相交，且公共弦所在直线方程为.又圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，由弦长公式得.故选：B.7. 若实数m满足，则曲线与曲线的（ ）A. 离心率相等B. 焦距相等C. 实轴长相等D. 虚轴长相等【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.【详解】因为，所以，所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；因为，所以离心率不相等，故A错误；因为，所以实轴长不相等，故
5、C错误；因为，所以虚轴长不相等，故D错误.故选：B.8. 已知点满足方程，点若斜率为斜率为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，根据题意分析可知点在以为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解.【详解】设，则，可得，即点在以为焦点的椭圆上，且，所以点的轨迹为，整理得，由题意可知：，所以.故选：A.9. 如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，则对角线的长度为（ ） A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】利用基底法求解即可.【详解】由题知，所以，所以，即.故选：B.10. 、是双曲线上关于原点对称的两点，、是左、右焦点若，则四边形的面积是（ ）A.
6、B. 3C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】判断四边形为矩形，设，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积【详解】解：由可知，所以，因为，是上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，由双曲线的定义可得，所以，又因为，所以，所以，所以四边形的面积故选：D11. 已知命题：椭圆的离心率为，若，则；命题：双曲线的两条渐近线的夹角为，使下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的离心率判断命题的真假性，根据双曲线的渐近线判断命题的真假性，进而根据逻辑连接词逐项分析判断.【详解】对于命题：若，可知：，所以命题为假命题；对于命题：双曲线的渐近
7、线为，若，则，所以命题为真命题；可知： ，为假命题， 为真命题，所以A、B、D错误，C正确,故选：C.12. 已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点若，且直线斜率则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可知：的中点即为弦的中点，利用点差法运算求解.【详解】设直线：，可得，设的中点为，连接OM，则，因为，则，即为弦的中点，设，则，因为，可得，两式相减得，整理得，可得，即，可得，所以椭圆的离心率为.故选：D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 抛物线上一点M到x轴的距离为6，则点M到抛物线焦点的距离为_【答案】10【解析】【分析】根
8、据抛物线的概念求解即可.【详解】因为抛物线上一点M到x轴的距离为6，所以，则，所以点M到抛物线焦点的距离为.故答案为：14. 在平面直角坐标系中，过作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为_【答案】【解析】【分析】根据切线的性质可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程，两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程.【详解】由切线的性质可知，故四点共圆，且为直径，由中点为，,所以在圆上，即，两圆方程相减可得，公共弦的方程为.故答案为：15. 设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限若为等腰三角形，则点的坐标为_【答案】【解析】【分析】先根据方程求，由题意分析可得，列方程求解即可.【详解】由题
9、意可知：，设，因为为上一点且在第二象限，则，又因为为等腰三角形，且，则，即，解得，所以点的坐标为.故答案为：,16. 在平面直角坐标系中，以下各曲线中，存在两个不同的点，使得且的曲线有_（请将所有符合要求的曲线方程序号写在横线上）；【答案】【解析】【分析】根据题意可知：曲线与直线有两个不同的交点，对于：利用直线过点，分析判断；对于：根据直线与圆的位置关系分析判断；对于：联立方程求交点坐标，进而分析判断；对于：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】因为的中点为，斜率，所以中垂线的斜率，方程为，即，由题意可知：曲线与直线有两个不同的交点，对于：直线过点，且在曲线内，所以曲线与直线有两个不同的交点，故
10、正确；对于：曲线的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以曲线与直线相切，只有一个交点，故错误；对于：联立方程，解得或，所以曲线与直线有两个不同的交点，故正确；对于：令，解得，即为的渐近线，两者没有交点，故错误；故答案为：.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 已知圆C过，且圆心C在直线l：上经过点的直线m交圆C于P、Q两点（1）求圆C的标准方程；（2）若，求直线m的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）由圆心在直线的垂直平分线与直线l：上求得，从而求
11、得圆的半径，进而得解；（2）根据题意求得圆心C到直线m的距离为，分类讨论直线m的斜率存在与否两种情况，结合点线距离公式求解即可.【小问1详解】因为，所以，线段中点的坐标为，所以直线AB的垂直平分线的斜率为，其方程为，即，联立，解得，则，又圆C半径，所以圆C的标准方程为【小问2详解】因为，所以在中，则圆心C到直线m的距离为，当直线m的斜率不存在时，直线m方程为，此时C到直线m距离为2，满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，即，所以，解得，所以直线m的方程为，即，综上可得，直线m方程为或18. 抛物线的准线被圆截得的弦长为（1）求的值；（2）过点的直线交抛物线于点，证明：以为直径的圆过
12、原点【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合垂径定理可得到准线距离为，进而可得抛物线的方程；（2）联立方程，利用韦达定理证明即可.【小问1详解】圆，即，圆心，半径为2，则到准线距离为，所以准线方程为，可得，所以抛物线标准方程为【小问2详解】设直线方程为，联立方程，消去x得，则，可得，又因为，则，可得，即以线段为直径的圆过点 19. 如图1、2，已知圆方程为，点M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点 （1）求点的轨迹方程；（2）记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点【答案】（1） （2）不存在这样的直线【解析】【分析】（1）根据双
13、曲线的定义求得点的轨迹方程.（2）利用点差法求得直线的方程，联立直线的方程和点的轨迹方程联立，根据方程组无解求得正确答案.【小问1详解】由中垂线性质知，所以所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线设此双曲线方程为，则所以点的轨迹方程为【小问2详解】设可得两式相减得由题意，所以直线方程为，由，得不存在这样直线20. 如图，已知四棱锥中，是正方形，平面，点分别是棱、对角线上的动点（不是端点），满足 （1）证明：平面；（2）求距离的最小值，并求此时二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）最小值为2；正弦值为【解析】【分析】（1）作交于，作交于，根据题意结合平行线的性质可证，进而可得结果；（2）
14、建系，利用空间向量可知当是中点时，取到最小值，进而利用空间向量求二面角.【小问1详解】作交于，则，可得，作交于，连接，则，可得，在直角三角形和中，因为，所以则，且，可得，因为，则，所以四边形是平行四边形，可得，且平面平面，所以平面 【小问2详解】因为平面是正方形所以以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，可得，当，即是中点时，的最小值为2，此时，可得，设平面的一个法向量，则，令，则，可得，平面的一个法向量，所以，设二面角平面角为，可知为锐角，所以，即二面角的正弦值为21. 已知椭圆左右焦点分别为，离心率为斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8（1）求椭圆的
15、方程；（2）设斜率分别为，且依次成等比数列，求值，并求当面积为时，直线的方程【答案】（1）； （2）；或.【解析】【分析】（1）根据的周长为求出，再根据离心率求出，从而求出椭圆方程.（2）设出直线的方程为，与椭圆方程联立，借助韦达定理表示出依次成等比数列，进而求出的值；再利用弦长公式和点到直线距离公式表示出的面积，求解即可得到的值，从而得到直线的方程.【小问1详解】由题意，解得，所以.故椭圆的方程为【小问2详解】设直线的方程为，与椭圆方程联立得，且，所以由题意，故.此时，.又点O到直线的距离，故三角形的面积,解得或，所以直线l方程为或. （二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作
16、答并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错误、漏涂均不给分，如果多做、则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为（1）当时，求曲线C与x轴交点的直角坐标；（2）直线l与曲线C有唯一公共点，求实数m的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）当时，令即可得解；（2）化极坐标方程为直角坐标方程，联立直线与曲线普通方程，利用判别式求解.【小问1详解】，得所以曲线C与x轴交点得坐标为；【小问2详解】，得，即为直线l的方程，曲线C的普通方程为，方程与联立得，得 选修4-5：不等式选讲23. 已知x、y、z均为正实数，且（1）求的最大值；（2）若，证明：【答案】（1）3 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）因为，利用柯西不等式即可求得最大值；（2）由（1）结合已知条件可得，则有，再利用基本不等式即可求证.【小问1详解】因为，所以，又x、y、z均正实数，由柯西不等式有，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为3.【小问2详解】因为，由（1）得，即，所以，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，即