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1、北京市朝阳区20222023学年度第一学期期末质量检测高一数学2023.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 若，则下列各式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.【详解】AD选项，则，但，所以AD选项错误.B选项，若，则，所以B选项错误.C选项，若，由于在上递增，所以
2、，所以C选项正确.故选：C2. 若角满足，则角是（ ）A 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】B【解析】【分析】根据三角函数四个象限符号确定.【详解】为第二，三象限角或者轴负半轴上的角；又为第二，四象限角所以为第二象限角.故选：B3. 下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.【详解】对于A，在定义域上单调递增且值域为，故A不正确；对于B，在定义域上单调递增值域为，故B正确；对于C，由双勾函数的图象知，在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；对于D，的值域为，故D
3、不正确.故选：B.4. 设集合，集合，则A与B的关系为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.【详解】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；所以.故选：A5. 声强级（单位：）出公式给出，其中I为声强（单位：）若平时常人交谈时的声强约为，则声强级为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意.故选：C6. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】
4、通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.【详解】当，时，则当时，有，解得，充分性成立；当，时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7. 已知函数，有如下四个结论：函数在其定义域内单调递减；函数的值域为；函数的图象是中心对称图形；方程有且只有一个实根其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.【详解】的定义域为，所以在上递增，错误.由于， ，所以的值域为.由于，所以是奇函数，图象关于原点对称，正确.由得构造函数，在上单调递增，所以在上存在唯一零
5、点，也即方程有且只有一个实根，正确.所以正确结论的序号是.故选：D8. 已知角为第一象限角，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先确定的取值范围，由此求得的取值范围.【详解】由于角为第一象限角，所以，所以，由于，所以，所以.故选：A9. 某厂以x千克/小时速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ）A. 2千克/小时B. 3千克/小时C. 4千克/小时D. 6千克/小时【答案】C【解析】【分析】生产100千克该产品获得的利润为，令，由换元法求二次函数最大值即可.【详解】由题意
6、得，生产100千克该产品获得的利润为，令，则，故当时，最大，此时.故选：C10. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由得，则的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a，b，c，最后根据单调性比较大小.【详解】由得，的周期为2，又为偶函数，则，在上单调递增，.故选：A第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 已知集合，集合，则_【答案】【解析】【分析】根据并集的定义运算即可.【详解】因为，所以，故答案为：12. 已知角，若，则_；_【答案】 . # . 【解析】【分析】由条件结
7、合诱导公式求，根据特殊角三角函数值求出， 即可.【详解】因为，所以，故，又，所以，所以，故答案为：，.13. 设且，则的最小值为_.【答案】2【解析】【分析】对利用对数运算公式，得到，再由基本不等式以及条件中的，得到答案.【详解】因为且，所以且而，且所以由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立.【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.14. 设函数的定义域为I，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的.【详解】依题意可知是偶函数，且最大值为，所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）15.
8、 已知下列五个函数：，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则_【答案】【解析】【分析】观察图象确定函数的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定的解析式.【详解】由已知， ，观察图象可得的定义域为，所以或中必有一个函数为，且另一个函数不可能为，又的图象不关于原点对称，所以，所以或，若，则与函数图象矛盾，所以，故答案为：.16. 已知函数，给出以下四个结论：存在实数a，函数无最小值；对任意实数a，函数都有零点；当时，函数在上单调递增；对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】，当
9、时，的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，正确.，由于，当时，；当时，所以对任意实数a，函数都有零点，正确.当时，即函数在上不是单调递增函数，错误.，当时，当时，画出的图象如下图所示，由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，正确.综上所述，正确结论的序号是.故答案为：三、解答题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（1）求和的值；（2）求值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据二倍角的正弦公式即可求得；（2）先根据二倍角的余弦公式求出，再根据商数关系求出，再根据两角和
10、的正切公式即可得解.【小问1详解】解：由题意得，所以；【小问2详解】解：，所以，所以.18. 已知函数（1）当时，解不等式；（2）若命题“，不等式恒成立”是假命题，求实数的取值范围【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）结合开口方向以及判别式求得的取值范围.【小问1详解】当时，即，解得所以不等式的解集为.【小问2详解】当恒成立，当不为0时，且，即，当时,成立，所以命题“，不等式恒成立”是假命题所以a的取值范围为：或19. 已知函数从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知（1）求a的值；（2）求的最小值，以及取得最小值时x的值条件：的最大值为
11、6；条件：的零点为注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）若选条件，则；若选条件，则 （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）化简的解析式，根据条件或求得的值.（2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.【小问1详解】.若选条件，则.若选条件，则.【小问2详解】若选条件，由（1）得，则当时，则当时，取得最小值为.若选条件，由（1）得，则当时，则当时，取得最小值为.20. 已知函数（1）当时，解不等式；（2）若函数是偶函数，求m的值；（3）当时，若函数的图象与直线有公共点，求实数b的取值范围【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）即，结合对数、指数函数单调性求解即
12、可；（2）偶函数，则，结合对数运算法则化简求值即可（3）由对数运算得在上单调递增，且值域为，即可由数形结合判断b的取值范围.【小问1详解】当时，即，即，解得；【小问2详解】函数是偶函数，则，即，即，即，故；【小问3详解】当时，.为减函数，故在上单调递增，且值域为函数的图象与直线有公共点，故实数b的取值范围为.21. 设全集，集合A是U的真子集设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：；，若，则；，若，则（1）当时，判断是否为U的子集，说明理由；（2）当时，若A为U的子集，求证：；（3）当时，若A为U的子集，求集合A【答案】（1）不是U的子集； （2）证明见解析； （3）集合.【解析
13、】【分析】（1）取，由不满足性质可得不是U的子集；（2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出；（3）由（2）得，再分别假设，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质和性质，依次凑出823每个数值是否满足条件即可.【小问1详解】当时，取，则，但，不满足性质，所以不是U的子集.【小问2详解】当时，A为U的子集，则；假设，设，即取，则，但，不满足性质，所以，；假设，取，且，则，再取，则，再取，且，但与性质矛盾，所以.【小问3详解】由（2）得，当时，若A为U的子集，所以当时，若A为U的子集，；若，取，则，再取，则，与矛盾，则，；若，取，则，与矛盾，则，；若，取，则，与矛盾，则，；若，取，则，与矛盾，则，；取，则，；取，则；取，则，；取，则；取，则，；综上所述，集合.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.