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1、2022年重庆市中考数学试卷A卷一、选择题1. 5的相反数是（ ）A. B. C. D. 52. 下列图形是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 如图，直线，被直线所截，则的度数为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为若的周长为4，则的周长是（ ）A 4B. 6C. 9D. 166. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有5个正方形，第个图案中有9个正方形，第个图案中有13个正方形，第个图案中有17个正方形，
2、此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（ ）A. 32B. 34C. 37D. 417. 估计的值应在（ ）A 10和11之间B. 9和10之间C. 8和9之间D. 7和8之间8. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点，延长交于点，连接若，且，则的长度是（ ）A. 3B. 4C. D. 11. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于
3、的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）A. 26B. 24C. 15D. 1312. 对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，给出下列说法：至少存一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；所有的“加算操作”共有8种不同的结果以上说法中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题13. 计算：_14. 有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率
4、是_15. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点，若，则图中阴影部分的面积为_（结果不取近似值）16. 为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_三、解答题17. 计算：（1）；（2）18. 在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系他的思
5、路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图迹）在和中，又，_，_又_同理可得_19. 公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，9810台型扫地机器人中“良好”
6、等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取、型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比908926.6909030根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：_，_，_；（2）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；（3）若点是点关于轴对称点，连接，求的面积21.
7、在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度22. 如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道经测量，点在点的正东方向，米点在点的正北方向点，在点的正北方向，米点在点的北偏东，点在点的北偏东（1）求步道的长度（精确到个位）；（2）点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点请计算说明他走哪一条路较近？
8、（参考数据：，）23. 若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”例如：，2543是“勾股和数”；又如：，4325不是“勾股和数”（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当，均是整数时，求出所有满足条件的24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该
9、抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程25. 如图，在锐角中，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点（1）如图1，若，且，求的度数；（2）如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接在点，运动过程中，猜想线段，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接在点，运动过
10、程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值学科网（北京）股份有限公司2022年重庆市中考数学试卷A卷一、选择题1. 5的相反数是（ ）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可【详解】解：5的相反数是-5，故选：A【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0不要把相反数的意义与倒数的意义混淆2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形
11、，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形3. 如图，直线，被直线所截，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解【详解】解：，1+C=180，1=130故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键4. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）A. B. C
12、. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数图象可直接得出答案【详解】解：函数图象的纵坐标表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度，由函数图象可知这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，故选：D【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，准确识图是解题的关键5. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为若的周长为4，则的周长是（ ）A. 4B. 6C. 9D. 16【答案】B【解析】【分析】根据周长之比等于位似比计算即可【详解】设的周长是x， 与位似，相似比为，的周长为4，4：x=2：3，解得：x=6，故选：B【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键6. 用正方形按如图
13、所示规律拼图案，其中第个图案中有5个正方形，第个图案中有9个正方形，第个图案中有13个正方形，第个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（ ）A. 32B. 34C. 37D. 41【答案】C【解析】【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+41；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+42；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4
14、=5+43；第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：49+1=37故选：C【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键7. 估计的值应在（ ）A. 10和11之间B. 9和10之间C. 8和9之间D. 7和8之间【答案】B【解析】【分析】先化简，利用，从而判定即可【详解】 ，故选：B【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键8. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确
15、的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量第一天揽件量（1平均增长率）2，把相关数值代入即可【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，可列方程为：，故选：A【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般9. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用正方形的性质得到，利用角平分线的定义求得，再证得，利用全等三角形的性质求得，最后利用即可求解【详解】解：四边形是正方形，平分交于点，在和中， ， ，故
16、选：C【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键10. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点，延长交于点，连接若，且，则的长度是（ ）A. 3B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接OB，先求出A30，OBAC3，再利用tan30，即可求出AB的长度【详解】解：连接OB，OBOD，OBD是等腰三角形，OBDD，AOB是OBD的一个外角，AOBOBDD2D，是的切线，OBAB，ABO90，AABOA2D3A90，A30，AO2OBACOC，OBOC，OBAC3，tan30，AB故选：C【点睛】此题考查了切线的性质定
17、理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，求出A30是解决此题的关键11. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）A. 26B. 24C. 15D. 13【答案】D【解析】【分析】根据不等式组的解集，确定a-11，根据分式方程的负整数解，确定a1，根据分式方程的增根，确定a-2，计算即可【详解】 ，解得解集为，解得解集为， 不等式组的解集为，解得a-11， 的解是y=，且y-1，的解是负整数，a1且a-2，-11a1且a-2，故a=-8或a=-5，故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13，故选D【点睛】本题考查了不等式组的解
18、集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键12. 对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；所有的“加算操作”共有8种不同的结果以上说法中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】给添加括号，即可判断说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断说法是否正确；列举出所有情况即可判断说法是否正确【详解】解：说法正确又无论如何添加
19、括号，无法使得的符号为负号说法正确当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是、；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是、；当括号中有四个字母，共有1种情况，共有8种情况说法正确正确的个数为3故选D【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键二、填空题13. 计算：_【答案】5【解析】【分析】根据绝对值和零指数幂进行计算即可【详解】解：，故答案为：5【点睛】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键14. 有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母
20、相同的概率是_【答案】【解析】【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【详解】解：根据题意列表如下：ABCAAABACABABBBCBCACBCCC共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验15. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点，若，则图中阴影部分的面
21、积为_（结果不取近似值）【答案】【解析】【分析】连接BD交AC于点G，证明ABD是等边三角形，可得BD2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影S菱形ABCDS扇形ADES扇形CBF得出答案【详解】解：连接BD交AC于点G，四边形是菱形，ABAD2，ACBD，ABD是等边三角形，DACBCA30，BD2，BG，AC，S阴影S菱形ABCDS扇形ADES扇形CBF，故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键16. 为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座
22、山上种植香樟和红枫初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_【答案】【解析】【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可【详解】设三座山各需香樟数量分别4x、3x、9x甲、乙两山需红枫数量、，故丙山的红枫数量为，设香樟和红枫价格分别为、，实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为，故答案为：【点睛】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求
23、解是解题的关键三、解答题17. 计算：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解【小问1详解】解：原式【小问2详解】解：原式【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键18. 在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图迹）在和
24、中，又，_，_又_同理可得_【答案】、【解析】【分析】过点作的垂线，垂足为，分别利用AAS证得，利用全等三角形的面积相等即可求解【详解】证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图迹）如图所示，在和中，又，又同理可得故答案：、【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键19. 公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：10台型扫地机器人的
25、除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，9810台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的、型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比908926.6909030根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：_，_，_；（2）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）【答案】（1）95；90；20 （2）900台 （3）型号更好，在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众
26、数大于B型号的平均除尘量众数90【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m；（2）用总数乘以型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可；（3）可从众数的角度进行分析判断【小问1详解】解：型中除尘量为95的有3个，数量最多，所以众数a95；B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%，所以m%150%30%20%，即m20；因为B型中“合格”等级所占百分比为20%，所以B型中“合格”的有2个，所以B型中中位数b；故答案为：95；90；20；【小问2详解】（台），答：估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数
27、有900台；【小问3详解】型号更好，理由：在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90【点睛】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；（3）若点是点关于轴的对称点，连接，求的面积【答案】（1），图见解析 （2）或 （3）12【解析】【分析】（1）把，分别代入得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；（2）由
28、函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得到答案；（3）根据点是点关于轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三角形的面积即可【小问1详解】解：把，分别代入得，解得m4，n2， 点A（1，4），点B（2，2），把点A（1，4），点B（2，2）代入一次函数得，解得，一次函数的表达式是y2x2，这个一次函数图象如图，【小问2详解】解：由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，不等式的解集为或；【小问3详解】解：点是点关于轴的对称点，点B的坐标是（2，2），点C的坐标是（2，2），BC2（2）4，【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题
29、，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键21. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行速度【答案】（1） （2）千米/时【解析】【分析】（1）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为千米/时，则甲
30、的速度为千米/时，根据甲、乙恰好同时到达地列方程求解即可【小问1详解】解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，由题意得：，解得：，则（千米/时），答：甲骑行的速度为千米/时；【小问2详解】设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，由题意得：，解得，经检验是分式方程的解，则（千米/时），答：甲骑行的速度为千米/时【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键22. 如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道经测量，点在点的正东方向，米点在点的正北方向点，在点的正北方向，米点在点的北偏东，点在点的北偏东（1）求步道的长度（精确到个
31、位）；（2）点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）【答案】（1）283米 （2）经过点到达点较近【解析】【分析】（1）过作的垂线，垂足为，可得四边形ACHE是矩形，从而得到米，再证得DEH为等腰直角三角形，即可求解；（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解【小问1详解】解：过作的垂线，垂足为，CAE=C=CHE=90，四边形ACHE是矩形，米，根据题意得：D=45，DEH为等腰直角三角形，DH=EH=200米，（米）；【小问2详解】解： 根据题意得：ABC=BAE=30，在中，米，经过点到达点，总路程为AB+B
32、D=500米，（米），（米），经过点到达点，总路程为，经过点到达点较近【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键23. 若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”例如：，2543是“勾股和数”；又如：，4325不是“勾股和数”（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当，均是整数时，求出所有满足条件的【答案】（1）2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析 （2）8109或81
33、90或4536或4563【解析】【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；（2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M【小问1详解】解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由：，1022不是“勾股和数”；，5055是“勾股和数”；【小问2详解】为“勾股和数”，为整数，为整数，为3的倍数，或，此时或8190；，或，此时或4563，综上，M的值为8109或8190或4536或4563【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数
34、”24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程【答案】（1） （2）， （3）；【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可；（2）设交于，可得，求出
35、直线AB的解析式，设，则，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可；（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，分情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可【小问1详解】解：将点，代入得：，解得：，该抛物线的函数表达式为：；【小问2详解】如图，设交于，OAOB4，PCOB，PDOA，设直线AB的解析式为，则，解得：，直线AB的解析式为，设，则，当时，取得最大值，此时；【小问3详解】由题意得：平移后抛物线解析式为，抛物线的对称轴为，设，分情况讨论：当为对角线时，则，解得：，此时，；当为对角线时，则，即，此时，；当为对角线时，
36、则，即，此时，综上所述，点的坐标为：，【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程25. 如图，在锐角中，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点（1）如图1，若，且，求的度数；（2）如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接在点，运动过程中，猜想线段，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一
37、点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接在点，运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值【答案】（1） （2），证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）在射线上取一点，使得，证明，求出，然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答案；（2）证明，求出，倍长至，连接，PQ，证明，求出，在CF上截取FPFB，连接BP，易得为正三角形，然后求出，证，可得PQPC，QPFCPB60，则可得为正三角形，然后由得出结论；（3）根据可知轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心，此时AO垂直平分BC，当、三点共线时，取得最小值，设，解直角三角形求出PL、PH，再用面积法求出PQ计算即可【小问1详解】解：
38、如图1，在射线上取一点，使得，BCBC，（SAS），；【小问2详解】，证明：，ABC是正三角形，ABBCAC，ADBC60，又，（SAS），倍长至，连接，PQ，CNQN，QNFCNM，NFNM，（SAS），QFNCMN，由旋转的性质得ACCM，在CF上截取FPFB，连接BP，为正三角形，BPF60，QFNCMN，FQCM，又，（SAS），PQPC，QPFCPB60，为正三角形，即；【小问3详解】由（2）知，轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心，此时AO垂直平分BC，、三点共线时，取得最小值，PAOPABBAO90，如图3-2，作HLPK于L，设，在RtHLP中，即，设PQ与HK交于点R，则HK垂直平分PQ，SPHK，BCAP2，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的性质，圆的基本性质，解直角三角形，勾股定理等知识，综合性较强，能够作出合适的辅助线是解题的关键学科网（北京）股份有限公司