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1、 ，考研高等数学复习第一讲函数、连续与极限一、理论要求L函数概念与性 质2.极限3.连续函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）儿类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Ta yl o r级数法（8）其他（微积分性质，数列
2、与级数的性质）,a rc t a n%-%a rc t a n%-1 1/生以 一 为 小、l.hm.二hm-二一(等价小量与洛必达)-o l n(l+2x3)x-0 2d 62已知包出乎2二0,求l im更昇 x-0 x x-0.s in 6+xf(x).6 c o s 6x+f(%)+工n hm-=l im-解：x-x3 20 3%_ Hm-36s in6%+2y，+W _ j m-216c o s6%+3y+Wx-o 6%x-o 6216+3y(0)6=0/.y”(O)=72l im6+(X);l im工=l im二二卫二36(落必为x-0 x2 尸0 2x 2 2 22 r 3.1im
3、()-(重要极21 X+1x.ix 4.已知a、b为正常数，求丁产x.j.r q解：令”(-y,l nr=-l n(6z+6)-In 2 2%3 3l imInr=l im-(g Ina+In。)=n(ab)_ _ _7-0优+*2(变量替换)t=(a h)?5.l im(c o s%)m0+c x-0解：令/=(c o s x)l l l(l+v),l nr=-l n(c o s%)l n(l+x2)l imInr=l imta0X=-t=ei/2(变量替换)x-o x-o 2x 22r fwt6.设(%)连续，/(0)=0,尸(0)。0,求 l im3-=1(洛必达与微积分性质)、Il n
4、(c o sx)x2,x0.八、4/上 47.已知/(%)=在x=0连续，求a3,=0解：令a=l iml n(c o s x)/%2=一1/2(连续性的概念)三、补充习题(作业)l.l im-3(洛必达)x-J 1-%-c o s2.l im ctgx()(洛必达或 Taylor)x-。s in x x x f e dt3.l im一-二1(洛必达与微积分性质)2。1 X第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、儿何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Ro l l、La g ra
5、 ng e Ca uc hy Ta yl o r定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率(半径)二、题型与解法A.导数微分的计基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 算LD由萧此5决定,磴2.y=y(x)由InO?+y)=/y+s in%决定，求L=o=ldx解：两边微分得x=0时y c o s x=y,将x=0代入等式得y二l 3 y=y(%)由2孙=%+y 决定，则 d y 忆。=(In 2 l)d xB.曲线切法线问 题4求对数螺线夕=e“在(p,e)=(e./2)处切线的直角坐标 方程。解：/e cos0/)L/2=
6、(0,2),ye=7tl2=-1y-e s m”y _e”=一%5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=l可导，在x=0的某邻域 内满足 f(l+s inx)-3f(l-s inx)=8x+o(x)。求 f(x)在(6,f(6)处的切 线方程。解：需求6),尸期，尸,等式取x-0的极限有：f(l)=OHm/(I+s in x)-3/(1-s in x)x-o s in%+j”(ITT=-F 3-J2。t t=4-=8:.1)=2.j=2(%6)C导数应用问题D.幕级数展开问 题6.已知 y=。(%)对一切满四”(%)+2巳()2=l-e-x,茬/(%o)=O(%o。0),求(%0，打)点的性
7、质。qX01 0 y 0解：令。代入八。)=示=|。:驻点冗=0及=3丁=0=拐点=0;x=1：铅垂；y=x+2：斜8.求函数y=(%-l)02+a rc t a nx的单调性与极值、渐进线。解：了=二号1/2+a rc t a nx=驻点=。与X=t渐：y=(%_2)与y=X_29.巳 s in(x-1)2 dt=s in x21(X 八 2(2T)s in(x-1)-(x?)2-(x?)6+,+(1)-F,3!(2h+1)!卜in(x-1)2力=(x _/)3 _+,+(1)M+I(X7)4T(4/1-1)(271+1)!Ps in(x-/)2=-x3 x7 H-F(-1)Hb 3 3!7
8、%4T-p .(4h-1)(2h+1)!力伍 1 r2(2n-l)一 fsin(x-1)2dt=x2/+.+(_)-+-=s in2dx 3!(2n+l)!或：x-t=u f sinu2(-du)=-f sinu2du=s in j;2 dx*dx 小10.求/(%)=x2 l n(l+%)在=0处的八阶导数f(,)(0)产 V3 r2解：/in(l+x)=x2(x-+-+(-1 产-一+。(一)2 3 一 2一 户 n=X3-+-+(-1尸+o(xn)2 3 n-2rj In-2E.不等式的证明n11.攻 x e(0,1),求证(1+%)In (1+%)%:-1-In 2 l n(l+x)%
9、2证：1)令 g(%)=(l+%)l n2(l+%)-%2,g(0)=0g(x),g Cx),g(x)=0,g(0)=g(0)=0二.G(0,1)时g(%)单调下降，g(x)0,7(%)单调下降 g(x)0,g(x)单调下降，g(.x)0；得证。2)令h(x)=-.,x g(0,1),“(%)0)的渐进线方程为 y=x+-x e4.证明 x0 时(r-l)l nx (x-1)2证：令且上一加“心皿/叱二当心g(l)=g(l)=0,g“(l)=20其中 7 w(O,x),xe-1,10=/(-1)=/(0)+1/(0)-1/(771)将x=l,x=-l代入有 2 6l=/(l)=/(O)+1/(
10、O)+j/(772)2 o两式相减:/(7i)+/，(72)=63 e 口，7,“二?广(？)+广(%)=313.e a b (b-a)e让：Lagrange:-=f(。)b-a令/(%)=In2 1后=生b-a J人/、Int.1-l nr _/匕、.2x In J 2。=,(P(0=-2-0(e)zt r J eIn2/?-In2 a-(b-a)(关键：构造函数)e三、补充习题（作业）加，石如（0）二 一|X=储 c in 2,2.曲线 在(0,1)处切线为y+2%-1=0y=e c o s 2/xG(0,l),g 2XG(l,+a),g-0 ng,0n 2xe(0,l),g 0第三讲不定
11、积分与定积分一、理论要求1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分 理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算.r dx c dx.x-21.=,=a rc s in-+CJ J j 4-(%_2)2 22.J e(t a nx+V)2dx=s ec2 xdx+2p2 t a nxdx=e2x t a nx+CB.积分性质3.设/(In%)J%),X求 jf(x)
12、dx角相7（%）d x=产/）公x l n(l+ex)+f(l-一)dx=%-(1+尸)l n(l+/)+C J l+ex4.arct：n*公=La rc t a n%I：+l im f(-)J x=+-l n2/%5%1+/4 25.7（%）连续，e（x）=力，且l inj/应=A,求夕（%）并讨论叫幻在=0的连续性。角轧 f(0)=0,且xf(x)=f(x)+x2,又/(%)与 x=l,y=0 所围面积 S=2o 求/(x),且a=?时S绕x轴旋转体积最小。角轧(/(X)=f(x)=x2+ex,/f f(x)dx=2 c=4-adx x 2 2 小/(x)=yx2+(4-l)x V=(乃
13、j y2dx),=0:.a=-58.曲线y=VTN,过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴 所围图形绕x轴旋转的表面积。解：切线y=%/2绕x轴旋转的表面积为（2犯d s=五曲线y=Jx-l绕x轴旋转的表面积为j 27tyds=（5a/5-1）总表面积为生（l h/5-1）6三、补充习题（作业）1.2.In s in x,-dx=-c o t xl n s in 2x-c o t x-x+C s in-%x+5.-dxx-6x+13c ra rc s in Vx,3.-j=dxJ V第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解
14、两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用La g ra ng e乘数法求极值4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微 分L7(%)有二阶连续偏导，z=/(靖 s in y)满足 z+z；=e2xz，求了(%)解：/-/=0=/(w)=C|e,z+c2e-l11,2.z=/(%y)+yo(%+y)，求x o
15、xoy3.y=y(%),z=z(x)由z=(%+y),尸(%,y,z)=0决定，求 d*dxB.空间几何问题4.求正+4+正=后上任意点的切平面与三个坐标轴的截 距之和。角轧 x/+y 16+=痴=d=a5.曲面2+2/+3z?=21在点（1,-2,2）处的法线方程。C.极值问题6.设 z=z(%,y)是由2-xy+10y2-2yz-z2+18=0 确定的函数，求z=z(x,y)的极值点与极值。三、补充习题（作业）1.z=/(x y,-)+g()，求 y x oxoy2.z=/(移,2+8(),求|y x ox3.z=,=In J/+/,_ a rc t a n,求d zx第五讲多元函数的积分
16、一、理论要求L重积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）f x,y)dxdy=DF p2(x)d x2 2(e)desf(r,e)rdrf dx办y,*dzJ J j y(%,y,z)dxdydz=A=J l+z：+z3%d y理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计 算方法3.曲面积分熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件 理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Ga us s与St o kes公式，会计算两类曲面积分.=,（”）/（%，乂 z）d S=券 z（%,y），l+zj+z：d%d yGauss:如月.而=.瓦W（通量,散度）Sto
17、kes:广疗=J（Vx户）.曲（旋度）二、题型与解法A.重积分计算l./=j n（/+y2）d v,Q为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。解：人以必必（，+/）&dy=dzdO rhdr=y=-x围域。r 2(兀 1 xa(正一5)3./(x,y)=x2y,l x2,0 y 0)与74a-x-y0,其他求 J j f(x,y)dxdy,D:x2+y2 2x(49/20)B.曲线、I山面积 4.7=v s in y-b(x+y)dx+(ex c o s y-ax)dy 分 LLZ M(2a,0)沿 y=,2-至 50,0)解：令从。沿y=0至4-j=j j(Z?-a)dxdy-(-bx)dx
18、=(+2)a2b-a3L+L L D 2 27察谭L为以(2为中心ROD为半径的圆周正向。解：取包含(0,0)的正向:2%=rcos3 y=rsin0c=c -c =0.1=c =71J 2 JIA 2 rf JL-L6.对空间x0内任意光滑有向闭曲面S,名 xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-exzdxdy=0,且/(%)在 x0 有连续 一阶导数，l im/(%)=1,求/(%)。x-0+解0=百户6=1卜户d V=(/U)+xfx)-xf(x)-e2x)dVy+(-l)y=e2x n y=ex-1)X X X第六讲常微分方程一、理论要求1.二阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线
19、性、伯努利方程求法2.局国方程 会求)(”)=/(劝,y=/(x,y)(y=p(%),/,=于(y,y)(y=p(y)3.二阶线性常系 l u _八,2._ny+py+q=0 2+2+q=04 w 42 f 月=。传4、+C2/2(齐次)=、2=*(q(%)c o s仅+z;(%)s in田(非a+ifi=-y2=xem(qn(x)c o s/3x+rn(x)s in/3x(n=ma xg,j)芬冽二、题型与解法A.微分方程求解.G2 2“,2 0 2c、市篦1.求(3%+2xy-y)dx+(%-2xy)dy=0 通 用车。(xy2-x2y Y-c)2.利用代换 y=-化简 yc o s x-
20、2ys in x+3y c o s x=ex 并求通 c o s x角星。(+4沙=e，,y=cs+2c?s in%T-)c o s 1 5c o s x3.设y=y(%)是上凸连续曲线，(%,y)处曲率为 J，且过 J 1+严(0,1)处切线方程为y=x+l,求y=y(x)及其极值。jr 1 1角军：y+y2+l=0=y=In I c o s(-x)I+1+l n2,yma x=1+l n2三、补充习题(作业)1.已知函数y=,(%)在任意点处的增量八/=上1+。(八),(0)=巴求丁(1)。(欢4)1+x2.求 y-4y=e2x 的通角星。(y=cxe2x+c2e2x+xe2x)3.求(y
21、+J/+y2)dx-xdy=0(%0),y=0 的通解。(y=；(，一 1)4.求 y一2y=0,y(0)=y(0)=1 的特解。(y=1+1(3+2x2j f4 4第七讲无穷级数一、理论要求1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2.累级数 累级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幕级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Ta yl o r 与 Ma c l a ul in 展开3.Fo urier级数 了解Fo urier级数概念与Diric hl et收敛定理会求-/,/的Fo urier级数与0,/
22、正余弦级数第八讲线性代数一、理论要求1.行列式 会用按行（列）展开计算行列式2.矩阵 几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幕、方阵乘积的行列式 3.向量4.线性方程组5.二次型矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换
23、公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步 一、理论要求1.随机事件与概 率2.随机变量与分 布了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系 与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、
24、连续型变量的概率密度 掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会 求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件 分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征,会求随机变量的数学期望5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗-L叩l a c e定理与列维-林德伯格定理6.数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样 本矩了解/分布、t分布
25、、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8.假设检验掌握假设检验的基本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验第十讲总结 1.极限求解变量替换(d作对数替换)，洛必达法则，其他(重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换)1.l im-(x+-)+(x+)+.+(x+(n-1)6Z).r+-(几何级-8 n n n n 2数)2.l im(a rc c o s x)17=en2(对数替换)X-0 Ji71Xt a n3.1im(2-x)
26、2x-l3+x也4.28 6+%5(%-a)-nai(1 a)x-a(x-g)22.导数与微分3.一元函数积分4.多元函数微分1-c o s 2x 八6./(%)=0L cos tdt1人 2 J、%复合函数、隐函数、参数方程求导 b x ay2.F a rc t a n x-s in(x-)=0,求 d y/d x%一%=c o s，、工：皿 八3.次7E函数 y=y(%),求 d yy=e s in?4.已知2x2y-In=1,验证4盯？+(2x2-l)y=05.y=e2u,u=-In v,v=x3 s in,求 yL求函数/（%）=f4T力在区间0上的最小值。2.dx2l.z=/(,二)
27、，求z,z y2.z=z(x,y)由 2(芯+1,丁+工)=0给出,求证：xz+yz,=z-xy y x3.求(无,y)=x2-y2+2xy在 0(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。/i/、十。24.u=s in x l n(x+y),求-dxdy6.证明 z=%/(一)满足z；+2 yz y=w x7.求 f(x,y)=4%-4y，一 y 2 在。：X2+y2 4 18 内的最值。5.多元函数积分|田工工,-2、t-71.求证：aiva xb)=brota-arotb2.1=(4-x-y)dxdy,D:x2+y2,2,2+x)dy=0 通解。5.求 y+4y=1(x-c o s 2
28、x),y(0)=y(0)=0 特解。6.求 y-y=4xey(0)=0,y(0)=1 特解。高等数学考研题型分析填空题：极限(指数变换，罗必达)、求导(隐函数，切法线)、不定积分、二重积分、变上限定积分选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用考研概率论复习第一章随机事件和概率(1)排列组 合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。(2)加法和 乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法 可由n
29、种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。(3)一些常 见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试 验和随机事 件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止 一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试 验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事 件、样本空 间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行
30、一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，它们是的子集。为必然事件，0为不可能事件。不可能事件(0)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为L而概率为1的事件也不一定是必然 事件。(6)事件的 关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A二B。
31、A、B中至少有一个发生的事件：A B,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A B,或者AB。A B=0,则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生 的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C AU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)德摩根率：，(7)概率的 公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件
32、 都有一个实数P(A),若满足 下列三个条件：1 O0P(A)01,2 P(Q)=13对于两两互不相容的事件，有常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件的概率。(8)古典概1，型2 o设任一事件，它是由组成的，则有 P(A)=(9)几何概 型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时 样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随 机试验为几何概型。对任一事件A,0其中L为几何度量(长度、面积、体积)。(10)加法 公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法 公式P(A-B)=P(
33、A)-P(AB)当 B A 时,P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=Q H寸，P()=1-P(B)(12)条件 概率定义设A、B是两个事件，且P(A)0,则称为事件A发生条件下，事 件B发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q/B)=1 P(/A)=1-P(B/A)(13)乘法 公式乘法公式：更一般地，对事件AL A2,An,若P(A1A2An-1)0,则有 O(14)独立 性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与 也都相互独立。必然事件和不可能事件0与任何事件都相
34、互独立。0与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概 公式设事件满足1两两互不相容，2,则有O(16)贝叶 斯公式设事件，及满足1,，两两互不相容，0,1,2,2,则,i=l,2,n。此公式即为贝叶斯公式。,(,)，通常叫先验概率。，(，),通常称为后验第二章随机变量及其分布概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了次试验，且满足u
35、每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；u次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；(17)伯努 利概型u每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是 互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利 试验中出现次的概率，O(1)离散 型随机变 量的分布 律设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X二Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=l,2,则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列 的形式给出：O显然分布律应满足下列条件：(1),(2)o(2)连续 型随机变
36、 量的分布 密度设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称 概率密度。密度函数具有下面4个性质：1 O2 o(3)离散 与连续型 随机变量 的关系积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量 理论中所起的作用相类似。(4)分布 函数设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间(-8,x内的概率。分布函数具有如下性质：1;20是单调不减的函数，即时，有；3,；4,即是右连续的；5 o对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量，。(
37、5)八大 分布0-1分布P(X=l)=p,P(X=0)=q二项分布在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为。事件 发 生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。,其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，这就是(0T)分布，所以(0T)分布是 二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为，则称随机变量服从参数为 的泊松分布，记为或者P()o泊松分布为二项分布的极限分布(np二人，n-8)。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为 H(n,N,M)o几何分布,其中 p20,q=l-po随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量的值只落在a,b内
38、，其密度函数在a,b上为常数,即a WxWb其他，则称随机变量在a,b上服从均匀分布，记为XU(a,b)o分布函数为a WxWb0,xb0当a Wxlx2Wb时，X落在区间()内的概率为O指数分布0,其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为xxl 时，有F(x2,y)2F(xl,y);当y2yl 时，有F(x,y2)2F(x,yl);(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的，即(4)(5)对于(4)离散 型与连续 型的关系(5)边缘 分布离散型X的边缘分布为Y的边缘分布为O连续型X的边缘分布密度为 Y的边缘分布密度为(6)条件 分布离散型在已知X二x i的条件下，Y取值的条件分
39、布为 在已知Y二yj的条件下，X取值的条件分布为连续型在己知Y二y的条件下，X的条件分布密度为在已知X二X的条件下，Y的条件分布密度为(7)独立 性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)f Y(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布=0随机变量的函数若 XI,X2,-Xm,Xm+1,-Xn 相互独立,h,g 为 连续函数，则：h(XL X2,Xm)和 g(Xm+1,-Xn)相互独 立。特例：若X与Y独立，贝I：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与Y独立,则：3X+1和5Y-2独立。(8)二维 均匀分布设随机向量(X,Y
40、)的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称(X,Y)服从D上的均匀分布，记为(X,Y)U(D)o例如图3.1、图3.2和图3.30y1DI0 1 x图3.1yD2110 2 x图3.2yD3dc0 a b x图3.3(9)二维正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为其中是5个参数，则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)N(由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为 正态分布，即XN(但是若XN(,(X,Y)未必是二维正态分布。(10)函 数分布Z=X+Y根据定义计算：对于连续型，f Z(z)=两个独立的正态分布的和仍为正态分布()o第四章随机变量的数字特征n个
41、相互独立的正态分布的线性组合，仍服从 正态分布。Z=ma x,min(XI,X2,Xn)若 相互独立，其分布函数分别为，则Z=ma x,min(XI,X2,Xn)的分布函数为：分布设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态 分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则t分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且 可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为Tt(n)oF分布设，且X与Y独立，可以证明的概率密度 函数为我们称随机变量F服从第一
42、个自由度为nl,第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(nl,n2).维机量数特(-随变的字征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分 布律为p()=pk,k=l,2,n,(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量,其概率 密度为f(x),(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2,标准差矩对于正整数k,称随机变量 X的k次幕的数学期望为X的 k阶原点矩,记为vk,即 vk=E(Xk)=,k=l,2,.对于正整数k,称随机变量 X与E(X)差的k次幕的数学 期望为X的k阶中心矩，记 为，即对于正整数k,称随机变量X 的k次幕的数学期望为X的k 阶原
43、点矩，记为vk,即v k=E(Xk)=k=l,2,.对于正整数k,称随机变量X 与E(X)差的k次幕的数学期 望为X的k阶中心矩，记为，=,k=l,2,.即k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)二口，方差D(X)=。2,则对于任意正数,有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 的一种估计，它在理论上有重要意义。，望性2差性31方的质(1)D(C)=O；E(C)=C(2)D(a X)=a 2D(X)；E(a X)=a E(X)(3)D(a X+b)=a 2D(X)；E(a X+b)=a E(X)+b(4)D(X)=E(X2)-E2(X)(5)D
44、(XY)=D(X)+D(Y),充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X和Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立o见布期和4 差1常分的望方期望方差0-1分布P二项分布np泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt分布0(n2)(5)二维 随机 变量 的数 字特 征期望函数的期望=方差协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩 为X与丫的 协方差或相关矩，记为，即与记号相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为 与。相关系数对于随机变量X与Y,如果D(X)0,D(Y)0,则
45、称 为X与Y的相关系数，记作(有时可简记为)。I|W1,当|=1时，称X与Y完全相关：完全相关而当时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：；c o v(X,Y)=0;E(XY)二E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y,如果有 存在，则称之为X与Y的k+1 阶混合原点矩，记为；k+1阶混合中心矩记为：(6)协方 差的 性质(i)c o v(X,Y)=c o v(Y,X);(ii)c o v(a X,b Y)=a b c o v(X,Y);(iii)c o v(Xl+X2,Y)=c o v(Xl,Y)+c o v(
46、X2,Y);(iv)c o v(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).立不7 关1独和相(i)若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。(ii)若(X,Y)N(),则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心彳及限定理(1)大数定律切比雪 夫大数 定律设随机变量XI,X2,相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D(Xi)(i=l,2,)，则对于任 意的正数,有特殊情形：若XI,X2,具有相同的数学期望E(XI)=口，则上式成为伯努利 大数定 律设u是n次独立试验中事件A发生的次数，P是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数,有 伯努利大数定律说明，当试验次
47、数n很大时;事件A发 生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大 数定律设XI,X2,，Xn,是相互独立同分布的随机变量 序列，且E(Xn),则对于任意的正数有(2)中心极限定 理-伯里 维德也 列林格设随机变量XI,X2,相互独立，服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x,有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗 一拉普 拉斯定 理设随机变量为具有参数n,p(0pl)的二项分布，则 对于任意实数X,有(3)二项定理若当，则超几何分布的极限分布为二项分布。(4)泊松定理若当，则其中k=0,1,
48、2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布第七章参数估计（1）数理统 计的基本概 念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指 标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一 个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所 含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况 下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同 分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛 指任一次抽取的结果时，表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示n个具体的数值（样本 值）。我们称之为
49、样本的两重性。样本函数和 统计量设为总体的一个样本，称（）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任 何未知参数，则称（）为一个统计量。常见统计量 及其性质样本均值样本方差样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩，其中，为二阶中心矩。（2）正态总 体下的四大 分布正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数t分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中t（nT）表示自由度为nT的t分布。设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中表示自由度为nT的分布。F分布设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。（3）正态总 体
50、下分布的 性质与独立。（1）点 估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它 的k阶原点矩中也包含了未知参数，即。又设为总体X的 n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的 样本矩”的原则建立方程，即有第八章假设检验由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数()的 矩估计量。若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。极大似 然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未 知参数。又设为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时、设其分布律为，则称为样本的似然函数。若似然函数在处取到最大值，