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1、5.2 三角函数的概念第五章第五章 三角函数三角函数5.2.1 三角函数的概念第五章三角函数探索新知停顿 问题1 如何研究具体的函数类型，我们研究对数函数的路径是什么?背景概念图象和性质应用回顾：回顾：在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ACB在在Rt ABC中，中，它们是以它们是以锐角为自变量锐角为自变量，边的比值为函数值边的比值为函数值的三角函数的三角函数.对边对边邻边邻边斜边斜边第五章三角函数特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值探索新知上述定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已经拓广到任意角，如上述定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已
2、经拓广到任意角，如:第五章三角函数停顿师生互动，探索新知 问题2 如图：圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转。如何借助角的大小变化刻画点P的位置变化呢？先研究先研究单位圆单位圆上点上点P的变化情况。的变化情况。探索新知第五章三角函数 一般地，任意给定一个角R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.以原点以原点O为为圆心，以单位长度（圆心，以单位长度（r=1）为半径的圆称为单位圆。）为半径的圆称为单位圆。yox1M探索新知第五章三角函数探索新知任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义注意：正弦，余弦，正切都是以
3、注意：正弦，余弦，正切都是以角为自角为自变量变量，以以单位圆单位圆上点的上点的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为为函数值的函数，我们将他们称为函数值的函数，我们将他们称为三角函数三角函数.设 是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y).第五章三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：将它们记为：正弦函数正弦函数 余弦函数余弦函数 正切函数正切函数 +2探索新知第五章三角函数根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）思思考考三角函数三角函数定义
4、域定义域RR探索新知第五章三角函数思考：初中我们学习的锐角三角函数与任意角三角函数的定义有什么区别和联系？锐角三角函数任意角三角函数探索新知第五章三角函数P解：如图，在直角坐标系中，作 ，易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，所以典型例题第五章三角函数例2 如图,设是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y),点P与原点的距离为r.求证：结论：结论：任意角任意角的的三角函数三角函数值仅与值仅与有关有关，与点，与点P P在角在角的终边上的位置无关的终边上的位置无关.典型例题第五章三角函数 叫做叫做 的正的正切切，即，即任意角的三角函数第二定义任意角的三角函数第二定义x
5、yMP(x,y)变式：变式：已知角已知角的终边过点的终边过点P(-12a,5a)（a0）,求角求角的三角函数值。的三角函数值。那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即探索新知设角设角 是一个任意角，是一个任意角，是终边上的任意一点，点是终边上的任意一点，点 与原点的距离与原点的距离第五章三角函数030456090120135150180270360的弧度sincostan特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值-探索新知-第五章三角函数 前面我们学习了三角函数的定义，根据已有的学习经验，前面我们学习了三角函数的定义，根据已有的学习经验，你认为接下来应研究三角函数的哪
6、些问题？你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？由三角函数的定义以及任意角由三角函数的定义以及任意角是的是的终边与与单位位圆交点所在的交点所在的象限，你能象限，你能发现三角函数三角函数值的符号有什么的符号有什么规律律吗？第五章三角函数探索新知探索新知三角函数y=sinxy=cosxy=tanx定义域象限角三角函数值 符号探究：探究：探究：探究：根据任意角的三角函数的定义，确定正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域，再确定这三种三角函数的值在各个象限的符号象限角函数值取正：象限角函数值取正：一全二正弦，三切四余弦一全二正弦，三切四余弦.第五章三角函数答案：答案：，.答案：答案：C C.典型例题典型
7、例题第五章三角函数证明：先证充分性因为式 sin0成立，所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；又因为式tan 0成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限例3.求证：角为第三象限角的充要条件是 因为式都成立，所以角的终边只能位于第三象限于是角为第三象限角典型例题典型例题第五章三角函数再证必要性因为式sin 0成立，由定义式都成立例3求证：角为第三象限角的充要条件是 典型例题典型例题第五章三角函数练习：练习：(1)若若 ，试指出，试指出 所在的象限；所在的象限；(2)若若 在第三象限，判断在第三象限，判断 的符号的符号.第三象限第三象限典型例题典型例题第五章三角函数探究探究
8、2 2：现在我们尝试从三角函数的定义出发，现在我们尝试从三角函数的定义出发，讨论一下什么时候三角函数取讨论一下什么时候三角函数取值相等？值相等？由三角函数的定义，可以知道：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此，我们可以得到一组公式：由此，我们可以得到一组公式：公式一公式一探索新知探索新知第五章三角函数（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求02角的三角函数值同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间0，2上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了（2）你认为诱导公式一有什么作用？追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？探索新知探索新知第五章三角函数【例3】计算下列各式的值(1)sin(1 395)cos 1 110cos(1 020)sin 750；(4)sin 810cos 360tan 1 125典型例题典型例题第五章三角函数课堂小结：