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1、试卷第 1 页，共 8 页 成都七中高2025届12月阶段性测试数学试题成都七中高2025届12月阶段性测试数学试题 一、单选题一、单选题（共（共8 8 个小题，每个小题个小题，每个小题5 5 分，共分，共4040 分）分）1 2 3 4 5 6 7 8 C B D B C A D A 8【解】因为23450+=IBIAIF，所以2351882IBIFIA+=，如图，在2BF上取一点M，使得2:5:3BMMF=，连接IM，则12IMIA=，则点 I 为 AM上靠近点M的三等分点，所以22:3:4:5IAFIBFIBASSS=，所以22:3:4:5AFBFAB=，设23AFx=，则24,5BFx
2、 ABx=，由椭圆定义可知：224AFBFABa+=，即124xa=，所以3ax=，所以2AFa=，245,33BFa ABa=，1AFa=故点 A与上顶点重合，在2ABF中，由余弦定理得：222222222222516399cos52523aaaABF AF BBAFABF Aa+=，在12AFF中，2222243cos25aacBAFa+=，解得：55ca=，所以椭圆离心率为55.故选：A 仅供巴中西南大学第三实验学校使用仅供巴中西南大学第三实验学校使用试卷第 3 页，共 8 页 当且仅当4tsts=且4st+=，即48,33st=，即1248,33MFMF=时，等号成立，所以1214MF
3、MF+的最小值为94，故C正确；对于 D，连接1IF和2IF，如图，因为12MFF的内心为I，所以1IF为12MFF的平分线，则有11MFMIFNIN=，同理：22MFMIF NIN=，所以1212MFMFMIFNF NIN=，所以1212222MIMFMFaINFNF Nc+=+，所以|1|2INMI=，故 D 不正确.故选：AC.三、填空题三、填空题（共（共4 4 个小题，每个小题个小题，每个小题5 5 分，共分，共2020 分）分）1316 14304，15.56 166 16【解】设椭圆对应的参数为11,a b c，双曲线对应的参数为22,a b c，由于线段1PF的垂直平分线过2F，
4、所以有1 222F FPFc=.根据双曲线和椭圆的定义有11122222PFcaPFca+=，两式相减得到()1242caa=，即122aac=.所以2121222224222eaaccecaca+=+=+2224262acca+=，即最小值为6.四、解答题四、解答题（共（共7 7 个题，个题，1717 题题 1010 分，分，1818 题题2222 题每题题每题1212 分，共分，共 7070 分）分）17【解】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（1，t），则有 1+（t3）20+（t2）2，解可得 t0，即圆心的坐标为（1，0），圆的半径 r1 3+2，则圆的方程为（x1）2+y24，即x2
5、+y22x30-5 分；（2）根据题意，圆的方程为（x1）2+y24，仅供巴中西南大学第三实验学校使用试卷第 4 页，共 8 页 过点 P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k，则切线的方程为 ykx+2，即 kxy+20；则有 d221kk+2，解可得 k0 或43；故切线的方程为 y2 或4x3y+60-10 分 18.【解】（1）圆221:(2)1Cxy+=与圆222:(2)1Cxy+=的圆心分别为12(2,0),(2,0)CC，半径均为 1，令动圆P的半径为r，显然1r，当圆P与圆1C内切时，1211PCrPCr=+，即21|2PCPC=，122 22CC=，因此动圆圆心
6、 P的轨迹 C 是以12,C C为左右焦点，实轴长为2 的双曲线左支，其虚半轴长为 1，故曲线E的方程为()2210 xyx=；-6 分（2）设()()1122,A x yB x y，由题意建立方程组2211ykxxy=，消去y，得()221220kxkx+=，又直线与双曲线左支交于两点A B、，有()()2221221221028 10201201kkkkxxkx xk=+=，解得21k，-12 分 19【解】（1）设中位数为x,平均数为x,因为前三个矩形面积为()0.0100.0150.020100.45+=，故()()0.0100.0150.02010700.0300.5x+=，解得71
7、.67x；-3 分()1045 0.01055 0.01565 0.02075 0.030 85 0.015 9705510.0.0 x=+=.-6 分（2）200 0.015 1030=人，200 0.01 1020=人,即第五组有30 人，第六组有20 人,30533020=+人，20523020=+人，即需从第五组抽取 3 人，从第六组抽取两人,设从抽取的 5 人中抽取2 人，-8 分 仅供巴中西南大学第三实验学校使用试卷第 5 页，共 8 页 设五组的三人为,a b c，第六组的两人为,D E,则共有抽法为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a
8、 ba ca Da Eb cb Db Ec Dc ED E，共 10 种，其中恰有一人得分为90 及以上的抽法有6 种，故 90 分（包括90 分）以上的同学恰有1 人被抽到的概率63105=-12 分 20【解】（1）证明：PAPD=，E是AD的中点，PEAD，又PECD，ADCDD=，AD、CD平面ABCD，PE 平面ABCD，PE 平面PAD，平面PAD 平面ABCD；-5 分（2）解：/ADBC、90ADC=、112BCCDAD=，AEBE，以E为坐标原点，EA、EB、EP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示，连接EC，/AEBC、AEBC=，四边形AECB为平行四边形，/AB
9、CE，PCE是异面直线PC与AB所成的角，则45PCE=，2PECE=，则()0 0 0E，、()0 02P，、(0)10B，、()110C ，1 122 22F，设平面BEF的法向量为()mxyz=，又(0,1,0)EB=、1 12(,)2 22EF=，01120222m EBym EFxyz=+=，令1z=，则2x=、0y=，(2,0,1)m=，又平面ABE的法向量(0 01)，=n，设二面角FBEA的平面角为，经观察为钝角，3co13|cos,s|3 1m nm nmn=-12 分 仅供巴中西南大学第三实验学校使用试卷第 6 页，共 8 页 21.【解】（1）设2,8yPy，则22422
10、2218644yyaMPayya=+=+，当线段MP的长度取最小值时，P点恰好在抛物线C的顶点处，即当0y=时，线段MP的长度取最小值a；140132a，解得：4a，04a；-5 分（2）当直线l斜率不存在时，对于x轴上任意异于点M的点N，都满足直线,AN BN关于x轴对称；当直线l斜率存在时，设:l xtya=+，()11,A x y，()22,B xy，由28xtyayx=+=得：2880ytya=，则，设(),0N n，直线,AN BN关于x轴对称，0ANBNkk+=，()()()()2212121221121212221212121212880y yy yn yyx yn yyx yy
11、yxnxnx xn xxnx xn xxn+=+，即()()()12121288808y yyyn yyatntna t+=+=，当na=时，0ANBNkk+=恒成立，即(),0Na；综上所述：存在点(),0Na，对任意的直线l，都满足直线,AN BN关于x轴对称.-12 分 22【解】（1）因为椭圆E：22184xy+=，圆C：222(1)(0)xyrr+=在椭圆E内，联立()222221184xyrxy+=+=，消y得到2212502xxr+=，所以2144(5)02r=，解得23r，所以03r，-4 分（2）由题知，假设切线PA，PB的斜率均存在，不妨设过P与圆C相切的直线方程为2ykx
12、=+，所以221krk+=+，整理得到222(1)440rkkr+=，仅供巴中西南大学第三实验学校使用试卷第 7 页，共 8 页 易知切线有两条，故22210164(1)(4)0rrr=，即205r且21r，又由（1）知03r，所以(0,1)(1,3)r，不妨设切线PA，PB的斜率分别为12,k k，则由韦达定理知，2121 22244,11rkkk krr+=，由2211842xyyk x+=+，消y，得到221(1 2)80kxkx+=，所以12181 2Nkxk=+，211212421 2NNkyk xk=+=+，故2112211824(,)1 21 2kkNkk+，同理可得222222
13、2824(,)1 21 2kkMkk+，-6 分 则 221222222222121212212122121221211212221224241 21 2(24)(1 2)(1 2)(24)8()888(1 2)8(1 2)8()(1 2)1 21 21 2MNkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk kk kkk+=+,所以直线MN的方程为212112211 21248()1 21 21 2kkkkyxkk kk+=+，-7 分 令0 x=，得到212112211 212481 21 21 2kkkkykk kk+=+，整理得到23211 21211 21 22211 211 21 24
14、482(24)(1 2)2(1 2)(1 2)(1 2)(1 2)(1 2)1 2kk kk kkk kk kykk kkk kk k+=+，-8 分 又21 2241rk kr=，所以22222242(1 2)6181471 21rrryrrr+=，所以22618(0,)7rTr，-9 分 又因为(0,2)P，25PAr=，所以，以(0,2)P为圆心，PA为半径的圆的方程为222(2)5xyr+=，又圆C：222(1)(0)xyrr+=，两方程相减得221 4452xyr+=，因为AB是两圆的公共弦，故直线AB方程为2210 xyr+=-10 分，令0 x=得到212ry=，所以21(0,)2rS，仅供巴中西南大学第三实验学校使用试卷第 8 页，共 8 页 所以22222618724921277rSrrrTr+=+，令()()277,66,4rt=，则24249()922SttttT=+=+，-11 分 又242 124 32tt+=，当且仅当242tt=，即4 3t=时取等号，由274 3r=，得到2274 3(23)r=，所以23r=，又4 3(7,6)，所以94 3ST，故ST的最大值为94 3，此时圆C的半径为23-12 分 仅供巴中西南大学第三实验学校使用