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1、z变换终值定理证明 Z变换是一种将离散时间序列转换为复平面上的函数的数学工具。在数字信号处理领域，Z变换在滤波、采样和系统建模等方面具有广泛的应用。Z变换终值定理是Z变换的一个重要定理，用于计算离散时间序列在时域中的终值。在这篇文章中，我们将讨论Z变换终值定理的证明。 先给出Z变换终值定理的表述： 若 X(z) 的极点位于单位圆内，且在z=1处无极点，则有： $ limlimits_nrightarrowinftyx(n) = limlimits_zrightarrow1(z-1)X(z) $ 其中，X(z) 是序列 x(n) 的 Z 变换。 Z变换终值定理的证明基于留数定理和极点转移定理。下
2、面我们将逐步介绍这两个定理和证明过程。 一、留数定理 留数定理是复数函数理论中的一个重要定理。它说的是：如果一个函数在一个有限奇异点集合内的所有点都是亚纯函数，那么这个函数的围道积分等于这些点的留数总和。留数是一个点在复平面中的一个数值，反映了函数在该点处的奇异性（例如极点或可去奇点）。留数定理的公式如下： $ oint_C f(z)dz= 2pi i sum_i=1n Resf,a_i $ 二、极点转移定理 极点转移定理指出：当两个Z变换函数X(z)和Y(z) 在某些点的极点相同，但是极点的阶数不同时，它们在这些点处的值也将相同。 算法是通过以下步骤实现的： * 找到共同的极点； * 对于每
3、个共同的极点，计算他们被X(z)和Y(z)所喂养的单位面积内的倒数之和，因此有相同的效果； * 相加这些单位面积。这就是两个函数在这些共同极点处的相同效果。 这个定理的公式形式如下： 其中，X(z)和Y(z)为两个Z变换函数，在点a1,a2,.,an处存在极点，p和q是这些点的极点的阶数。 三、证明 现在我们开始证明Z变换终值定理。首先，我们将X(z)写成以下形式： $ X(z)=fracP(z)Q(z) $ 其中，P(z) 和 Q(z) 是关于 z 的多项式，Q(z)在单位圆内有一个不为零的极点。 Z变换终值定理的左边是序列 x(n) 在 n 趋近于正无穷时的终值，我们将它表示为： 然后，我
4、们将 X(z) 写成其级数形式： 因为 x(n) 在 n 趋近于正无穷时的极限 L 存在，那么对于复平面中单位圆上的点|z|=1，该级数的绝对值必须趋向于零。 我们接下来研究 (z-1)X(z) 的极点和留数。注意到，由于 X(z) 的分母 Q(z) 在单位圆内有唯一极点，因此 (z-1)X(z) 在 z=1 存在一个可去奇点。 进一步地，(z-1)X(z) 的所有极点都是 Q(z) 的极点。因为 Q(z) 在单位圆内只有一个极点，假设为 a，那么对于所有 a|n|, (z-an)-1 是 (z-a) 的幂次，因此其留数为 0。因此，在 z=a 的极点处，(z-1)X(z) 的留数等于 P(a
5、)/(a-1)。这是因为，对于 P(z)/(z-1)，在 z=a 的极点处的留数是 P(a)/(a-1)。因此，(z-1)X(z) 在 z=a 的留数和 P(z)/(z-1) 在 z=a 的留数是相等的。这个留数可以通过极限的形式写成： 接下来，我们展开 P(z) 和 Q(z)： $ P(z)=p_0+p_1z+p_2z2+cdots Q(z)=(z-a)(1+c_1z+c_2z2+cdots) $ 将 P(z) 和 Q(z) 的展开式带入上述公式并使用极点转移定理，得到 考虑当 n 趋於正无穷时，(z-a)n 的绝对值逐渐逼近于零。如果某些项的幂次高于系数，那么最终的，有限的多项式与一个多项式相除的结果将趋向于零。因此，我们可以将上式写成以下形式： 其中，c0是Q(z)在z=a处的留数（在这个情况下，c0=c1a，因为单位圆上的极点a满足|a|=1），即： $ c_0=left.frac1(z-a)right|_z=a=frac1atext。 $ 证毕。 综上所述，Z变换终值定理是一个在数字信号处理领域中广泛应用的重要定理。它的证明基于留数定理和极点转移定理，需要对复平面上 Z 变换函数的极点和留数进行推导。对于学习数字信号处理的人来说，了解这个定理的推导过程和数学原理，将有助于深入理解数字信号处理技术背后的数学基础。