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1、第16讲 定义新运算教学目标 l 学会理解新定义的内容；l 理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目；l 学会自己总结解题技巧。知识梳理 一、 知识概念1、 定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻
2、理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。典例分析 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=ab-a-b。求12*4的值。【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32例2、假设a b = ( a + b ) b 。求 8 5 。 【解析】该题的新运算被定义为: a b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。 8 5 = （8 + 5） 5 = 2.6例3、如果ab=ab-(a+b)。求6（92）。【解析】根据定
3、义，要先算括号里面的。这里的符号“”就是一种新的运算符号。 6（92） =692-（9+2） =67 =67-（6+7） =42-13 =29例4、如果13=1+11+111；25=2+22+222+2222+22222；82=8+88。 求65。【解析】仔细观察发现“”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，“”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。65=6+66+666+6666+66666=74070例5、如果规定2=123，3=234，4=345，计算（-）。【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为X=（X-
4、1）X（X+1）。由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 （-） = - =- =（1-） = （1-） =（1-） = =例6、规定ab=5a+ab-3b。求（85）X=264中的未知数。【解析】根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。 （85）X=264 （58 + 85-35）X=264 45X=264 545+45X-3X=264225+X-=264225+X=264X=39X=2实战演练 课堂狙击1、A，B表示两个数，定义AB表示(A+B)2，求(1)(317) 29；(2)(19) 9 6。【解析】定义新运算符号“”表示AB=(A
5、+B)2，即两个数做“”运算就是求这两个数的平均值。如：317=(3+17)2=10，再用10与29做运算，1029=(10+29)2=19.5 (1)原式=(3+17)2 29 (2)原式=(1+9)2 96 =202 29 =59 6 =1029 =(5+9)2 6 =(10+29)2 =76 =392 =(7+6)2 =19.5 =6.52、A，B表示两个数，定义A*B=2A-B。试求： (1)(8.56.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)【解析】定义新运算符号“*”表示A*B=2A-B，即前面数的两倍与后面数之差；所以（2）原式=90*26 =290-
6、26 =180-26 =154 （1）原式=2（8.56.9）-5 =176.9-5 =117.3-5 =112.3 3、已知a，b是任意自然数，我们规定：ab ab1,那么？ 【解析】原式。4、表示【解析】原式。5、已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若1*x=123，求x.【解析】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。（1）3*3=3+33+333=369（2）4*5=4+44+444+
7、4444+44444=49380（3）提示：因为1* x=1+11+111+=123所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0即：1+11+111=1*3=123从而可知x=36、已知53=567，36=345678，按此规定计算： （1）（43）+（62） （2）（32）（43）【解析】观察两个已知等式可以发现，“”定义为由前面的数开始称后面数一次加1，相乘个数为“”之后的数字。 （1）原式=456+67=120+42=162 （2）原式=（34）（456） =12120 =14407、设AB=2（A+B）-2（AB），计算：（1）（124）13； （2）70（
8、184）。【解析】观察已知等式可知：“”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。如：124=2（12+4）-2（124）=26（1）原式=2（12+4）-2（124） 13 =216-23 13 =2613 =2（26+13）-2（2613） =239-22 =78-4 =74（2）原式=702（18+4）-2（184） =70222-24.5 =7035 =2(70+35)-2(7035) =2068、规定ab=(a+b) (a-b)，按此规定计算: (1)2115 (2)(189) 2【解析】观察已知等式可以发现，“”定义为两数之和与两数只差的商，即ab=(a+b) (a-b)；所以有（
9、2）原式=（18+9）（18-9）2 =32 =（3+2）（3-2） =5 （1）原式=（21+15）（21-15） =366 =6 9、小辉用电脑设计了A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置A:将输入的数加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A后面连接装置B，就写成AB，输入1后，经过AB输出了3.那么，输入9，经过ABCD输出几?【解析】ABCD=(9+5)2-43=9所以输出的是9 课堂反击1、定义新运算为ab（a1）b，求的值。6（34）。【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结
10、果再计算。 由ab（a1）b得，34（31）4441；6（34）61（61）17。2、表示数，表示，求3(68)【解析】。3、如果,那么 。【解析】2&525102.5。4、如果ab表示,例如45=34-25=2,那么,当x5比5x大5时, x 。【解析】根据题意x55x(3x25)(352x)5x25,由5x255,解得x6.5、对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数.如果，那么等于几？【解析】方法一：由题中所给定义可知，为多少，则就有多少个乘数。，即：602，则；，即33,所以。方法二：可以先将（x3）看作一个整体，那么就是2，2，所以，那么也就有x3，即33，所以。6、对
11、于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab（m是一个确定的整数）。如果1423，那么34等于_。【解析】根据14=23，得到，解出m6。所以，。7、对于数，规定，2abcd，已知7，求x的值。【解析】根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。将1、3、5、x代入新定义的运算得：2135x1x，又根据已知7，故1x7，x6。8、规定:62=6+66=72 23=2+22+222=246, 14=1+11+111+1111=1234，75=？【解析】75=7+77+777+7777+77777=86415。9、规定, 计算：（21）（1110）_。【解析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦
12、，需要套用10次，然后再求和。但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中ba1，所以，我们不妨把ba1代入原定义ab就变成了ab，所以21，32，32，则原式。直击赛场 1、规定运算“”，是的倍数时，1；是的倍数时，1；不是的倍数时，也不是的倍数时，13，根据上面的规定，计算1426626296286 。【解析】1426626296286（266141）2629628620262962861329628613286286131232、定义新运算：5，其中，是任意两个不同的数，为常数，如2752，（1）已知2319，则35 ，53 ，（2）当时 ，该运算满足交换律。【
13、解析】（1）先求新运算中的常数。因为23521019，解得3，所以定义的新运算是5，于是35533530，53553334。（2）要使该运算满足交换律，即，根据新运算的定义，有5，5，所以55，即5，5，因此当5时，该运算满足交换律。3、定义新运算，使它的运算规则是：，按此规则计算：42.5 ，2.54 。【解析】42.542.542.5101.68.4。4、对于数和，规定运算如下：，请比较： 5.12.3 2.35.1。(填“”、“”或“”)【解析】5.12.345.132.320.46.927.3。 2.35.142.335.19.215.324.5。所以5.12.3 2.35.1。名师点拨 新定义运算注意的问题:(1)新定义运算一般不满足运算定律如:abba a(bc) (ab) c(a*b) c(ac)*(bc)(2)“+”“-”“”“”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是