线性代数同济六版知识点总结.pdf

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1、1第一讲第一讲 基本知识二矩阵和向量基本知识二矩阵和向量1线性运算与转置线性运算与转置ABBA+=+()()CBACBA+=+()cBcABAc+=+()dAcAAdc+=+()()AcddAc=00=ccA或0=A。向量组的线性组合 s,21，ssccc+2211。转置 A的转置TA（或A）()AATT=()TTTBABA=()()TTAccA=。3n阶矩阵阶矩阵 n行、n列的矩阵。对角线，其上元素的行标、列标相等,2211aa对角矩阵*000*000*数量矩阵E3300030003=单位矩阵IE或100010001上（下）三角矩阵*00*0*对称矩阵AAT=。反对称矩阵AAT=。三矩阵的初

2、等变换，阶梯形矩阵三矩阵的初等变换，阶梯形矩阵初等变换分初等列变换初等行变换三类初等行变换交换两行的上下位置BA 用非零常数c乘某一行。把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）阶梯形矩阵34120100000320001521002014 如果有零行，则都在下面。各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格单调上升。或各行左边连续出现的0的个数自上而下严格单调上升，直到全为0。台角：各非零行第一个非0元素所在位置。简单阶梯形矩阵：3台角位置的元素都为台角位置的元素都为 1 4台角正上方的元素都为台角正上方的元素都为 0。每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。如果A是一个n阶矩阵 A

3、是阶梯形矩阵 A是上三角矩阵，反之不一定，如100010100是上三角，但非阶梯形四线性方程组的矩阵消元法四线性方程组的矩阵消元法用同解变换化简方程再求解三种同解变换：交换两个方程的上下位置。用一个非0数c乘某一个方程。把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。(完整版)线性代数(同济六版)知识点总结考研数学知识点线性代数 2 矩阵消元法：写出增广矩阵()A，用初等行变换化()A为阶梯形矩阵()B。用()B判别解的情况。i）如果()B最下面的非零行为()d0,0，则无解，否则有解。ii）如果有解，记是()B的非零行数，则 n=时唯一解。n时无穷多解。iii）唯

4、一解求解的方法（初等变换法）去掉()B的零行，得()00 B，它是()cnn+矩阵，0B是n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。=nnnnbbbbB 11221100000*000*00*0*则0 nnbiinnbb01 1都不为0。于 是 把()00B化 出 的 简 单 阶 梯 形 矩 阵 应 为nccc21100000000100001 其方程为=,2211nncxcxcx 即()nccc,21就是解。第二讲第二讲 行列式行列式 一形式与意义一形式与意义 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 A 是n阶矩阵，A表示相应的行列式。二定义（完全展开式）二定义（完全展开式）bcadd

5、cba=一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211的值：是!n项的代数和 每一项是n个元素的乘积，它们共有!n项 nnjjjaaa2121 其中njjj21是n,2,1的一个全排列。nnjjaa11前面乘的应为 ()()njjj211 ()njjj21的逆序数 n,2,1 ()()=nnnjjjnjjjjjjaaa212121211 考研数学知识点线性代数 3 ()()()nnnnbbbbbb21211211*0*00000=()()()212112=nnCnnn 三计算（化零降阶法）三计算（化零降阶法）余子式和代数余子式 称ijM为ija的余子式。()ijjiijM

6、A+=1 定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。nnAaAaAaD2222222121+=四行列式的其它性质四行列式的其它性质 1转置值不变AAT=2用一个数c乘某一行（列）的各元素值乘c AccAn=3行列式和求某一行（列）分解 ,2121+=+()321,=A，3 阶矩阵 ()321,=B BABA+()332211,+=+BA 332211,+=+BA 3322133221,+=4第一类初等变换使值变号 5如果一个行列式某一行（列）的元素全为0或者有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为0。6一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之

7、和为0。7BABABA=00 8范德蒙行列 ，则s,21一定相关。0=Ax的方程个数，则t,1一定线性相关。记()sA,1=，()tB,1=，则存在ts矩阵C，使得 ACB=。0=Cx有s个方程，t个未知数，ts|唯一解()()nAA=|无穷多解()()nAA=|方程个数m：()()mAmA,|当()mA=时，()mA=|，有解 当nm 时，()nA，不会是唯一解 对于齐次线性方程组0=Ax，只有零解()nA=（即A列满秩）（有非零解()nA 的特征值检查。推论：如果A有n个不同的特征值，则A一定可对角化。对角化的实现（可逆矩阵U的构造）：对每个特征值i，求出()0=xAEi的一个基础解系，把

8、它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，n,1。令()nU,21=，则 =nAUU000000000000211，其中i为i的特征值。第七讲第七讲 二次型（实二次型）二次型（实二次型）一基本概念一基本概念 1二次型及其矩阵二次型及其矩阵 二次型是多个变量的二次齐次多项式函数。如 ()32312123222132156423,xxxxxxxxxxxxf+=是一个三元二次型，它的每一项都是二次，或是一个变量的平方，称为平方项或是两个不同变量的乘积，称为交叉项。一个n元二次型的一般形式为 ()jijiijniiiinxxaxaxxxfnxxxf。例如，标准二次型()222221121,nnnxdx

9、dxdxxxf+=正定0id，ni,1=（必要性“”，取11=x，02=xxx，此时()00,0,11=df同样可证每个0id）实对称矩阵正定即二次型AxxT正定，也就是：当0 x时，0AxxT。考研数学知识点线性代数 19 例 如 实 对 角 矩 阵n 00000000 0000 21正 定0 i，ni,1=2性质与判别性质与判别 可逆线性变换替换保持正定性。()nxxxf,21变为()nyyyg,21，则它们同时正定或同时不正定。BA，则A，B同时正定，同时不正定。例如ACCBT=。如果A正定，则对每个0 x ()0=ACxCxACxCxBxxTTTT （C可逆，0 x，0Cx！）我们给出

10、关于正定的以下性质。A正定EA 存在实可逆矩阵C，CCAT=。A的正惯性指数n=。A的特征值全大于0。A的每个顺序主子式全大于0。设A是一个n阶矩阵，记rA是A的西北角的r阶小方阵，称rA为A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式）。判断A正定的三种方法：顺序主子式法。特征值法。定义法。附录一附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化 以下谈到的向量，矩阵都是在实数的范围中心，而向量的分量都是实数，矩阵的元素也都是实数。一向量的内积一向量的内积 1定义定义 两个n维实向量,的内积是一个数，记作(),，规定为它们对应分量乘积之和。设=nnbbbaaa2121,，则

11、 ()nnbababa+=2211,T=2性质性质 对称性：()(),=双线性性质：()()(),2121+=+()()()2121,+=+()()()ccc,=正交性：()0,，且()00,=()=niia12,3长度与正交 3长度与正交 向量的长度()=niia12,00=cc=单位向量：长度为1的向量 001，010，22022，若0，则是单位向量，称为的单位化。11=两个向量,如果内积为 0：()0,=，称它们是考研数学知识点线性代数 20正交的。如果n维向量组s,21两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。二正交矩阵二正交矩阵 一个实n阶矩阵A如果满足EAAT=，就称为

12、正交矩阵。1=AAT 定理 A是正交矩阵A的行向量组是单位正交向量组。A的列向量组是单位正交向量组。证：设()naA,21=，则 ()()()()=21221212121,nnnTAA 于是nTEAA,21=是单位正交向量组。三施密特正交化方法三施密特正交化方法 这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。c=12 设321,线性无关 正交化：令11=()()1112122,=（设122k=，()()()111212,k=当()()1112,=k时，12,正交。）()()()()222321113133,=单位化：令111=，222=，333=则321,是与321,等价的单

13、位正交向量组。四实对称矩阵的对角化 四实对称矩阵的对角化 设A是一个实的对称矩阵，则 A的每个特征值都是实数。对每个特征值，重数()AErn=。即A可以对角化。属于不同特征值的特征向量互相正交。于是：存在正交矩阵Q，使得AQQ1是对角矩阵。对每个特征值，找()0=xAE的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。附录二附录二 向量空间向量空间 1n维向量空间及其子空间维向量空间及其子空间 记为nR由全部n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为n维向量空间。设V是nR的一个子集，如果它满足 （1）当21,都属于V时，21+也属于V。（2）对V的每个元素和

14、任何实数c，c也在V中。则称V为nR的一个子空间。例如n元齐次方程组0=AX的全部解构成nR的一个子空间，称为0=AX的解空间。但是非齐次方程组=AX的全部解则不构成nR的子空间。对于nR中的一组元素s,21，记它们的全部线性组合的集合为 ()任意isssccccL+=221121,，它考研数学知识点线性代数 21也是nR的一个子空间。2基，维数，坐标基，维数，坐标 设V是nR的一个非0子空间（即它含有非0元素），称V的秩为其维数，记作Vdim。称V的排了次序的极大无关组为V的基。例如0=AX的解空间的维数为()Arn，它的每个有序的基础解系构成基。又 如()()ssrL,dim2121=，s

15、,21的每个有序的极大无关组构成基。设k,21是V的一个基，则V的每个元素都可以用k,21唯一线性表示：kkccc+=2211 称其中的系数()kccc,21为关于基k,21的坐标，它是一个k维向量。坐标有线性性质：（1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和：如果向量和关于基k,21的坐标分别为()kccc,21和()kddd,21，则+关 于 基k,21的坐标为 ()()()kkkkdddcccdcdcdc,21212211+=+（2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数：如 果 向 量关 于 基k,21的 坐 标 为()kccc,21，则c关 于 基k,21的 坐 标 为()()kkcccccccc

16、cc,2121=。坐标的意义：设V中的一个向量组t,21关于基k,21的 坐 标 依 次 为t,21，则t,21和t,21有相同的线性关系。于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。3过渡矩阵，坐标变换公式过渡矩阵，坐标变换公式 设k,21和k,21都是V的一个基，并设1在k,21中的坐标为()kiiiccc,21，构造矩阵 =kkkkkkcccccccccC212222111211，称C为k,21到k,21的过渡矩阵。()()Ckk,2121=。如 果V中 向 量在 其k,21和k,21中的坐标分别为 ()Tkxxxx,21=和()Tkyyyy,21=，则 ()xk,21=()k,21=()Cyyk,21=于是关系式：Cyx=称为坐标变换公式。4规范正交基规范正交基 如果V的一基k,21是单位正交向量组，则称为规范正交基。两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。设的 坐 标 为()kccc,21，的 坐 标 为()kddd,21，则()kkdcdcdc+=2211,两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。