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1、第十三讲第十三讲 长方形、正方形的面积长方形、正方形的面积 第第一一部分：部分：趣味数学趣味数学 巧涂装饰牌 在一个美丽的森林里，住着一群可爱的蓝精灵，他们聪明伶俐，活泼勤劳，患难与共，生活和谐、快乐。一个阳光明媚的日子，蓝精灵们准备建一座“大森林商场”。他们找来一群优秀的建筑师建商场，分配好任务后就开始建造了。一天、四天、七天、十天五十天，终于建好了，蓝精灵们高兴极了！可是他们发现虽然商场建好了，可是装饰牌还没涂油漆，因为油漆工不知道要用多少油漆。他们想来想去还是一无所获。后来蓝精灵们想到了住在森林边的聪聪。聪聪看了看装饰牌，又在装饰牌上左量右量，最后在纸上写了又写，过了一会儿 他便告诉蓝精
2、灵们：“要 42 千克油漆。”蓝精灵们很奇怪地问：“为什么？”聪聪笑了笑，说：“你们瞧！你这个装饰牌我刚刚量过了是一个平行四边形，它的底是14 米，高是 3 米。油漆这块装饰牌每平方米需用油漆 1 千克。这样的话我们得先求出这个平行四边形的面积。”“可我们不知道求平行四边形的面积公式呀，怎么办呢？”蓝精灵们说。“别着急，我们可以推导出求平行四边形的面积公式。”聪聪说，“我们把一个平行四边剪拼成一个长方形，沿着平行四边形的一条高剪下一个三角形，然后把这个三角形平移到平行四边形的另一边，拼成一个长方形。我们仔细观察可以发现拼成的长方形的长等于这个平行四边形的底，长方形行的宽等于这个平行四边形的高，
3、拼成的长方形的面积和平行四边形的面积相等，因为长方形的面积=长宽，由此可以得出结论，平行四边形的面积公式是：底高。知道了求平行四边形的面积公式，要知道需要几千克油漆那就简单了。”蓝精灵们列出了算式：143=42（平方米），142=42（千克）。“太好了！”蓝精灵们说，“太谢谢你了，聪聪！”然后他们赶忙开始干活了。没多久，他们就把装饰牌涂好了。从此以后，蓝精灵们就可以到“大森林商场”去购物了！第二部分：奥数小练第二部分：奥数小练 一、知识要点一、知识要点 长方形的面积=长宽，正方形的面积=边长边长。掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。五年级上册数学思维训练讲义 第十三讲 长方形、正方
4、形的面积但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。二、精讲精练二、精讲精练 【例题【例题 1 1】已知大正方形比小正方形边长多 2 厘米，大正方形比小正方形的面积大 40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？【思路导航】【思路导航】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的 40 平方厘米，可以分成三部分，其中 A 和 B 的面积相等。因此，用 40 平方厘米减去阴影部分
5、的面积，再除以 2 就能得到长方形 A 和 B 的面积，再用 A 或 B 的面积除以 2 就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。练习练习一一：1.有一块长方形草地，长 20 米，宽 15 米。在它的四周向外筑一条宽 2 米的小路，求小路的面积。2.正方形的一组对边增加 30 厘米，另一组对边减少 18 厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？3.把一个长方形的长增加 5 分米，宽增加 8 分米后，得到一个面积比原长方形多 181 平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？【例题【例题 2 2】一个大长方形被两条平
6、行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。【思路导航】【思路导航】因为 AECE=6，DEEB=35，把两个式子相乘 AECEDEEB=356，而CEEB=14，所以 AEDE=35614=15。练习练习二二：1.下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是 24 平方厘米、30平方厘米和 32 平方厘米，求阴影部分的面积。2.下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米），求 A 和 B 的面积。3.下图中阴影部分是边长 5 厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是 8 厘米，求整个图形的
7、面积。【例题【例题 3 3】把 20 分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差 40 平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？【思路导航】【思路导航】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差 40平方分米就是图中的 A 和 B 两部分，如图。如果把 B 移到原来小正方形的上面，不难看出，A和 B 正好组成一个长方形，此长方形的面积是 40 平方分米，长 20 分米，宽是 4020=2（分米），即大、小两个正方形的边长相差 2 分米。因此，大正方形的边长就是（20+2）2=11（分米），面积是 1111=121（平方分米）。练习练习三三：1.
8、一块正方形，一边划出 1.5 米，另一边划出 10 米搞绿化，剩下的面积比原来减少了1350 平方米。这块地原来的面积是多少平方米？2.一个正方形，如果它的边长增加 5 厘米，那么，面积就比原来增加 95 平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？3.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是 80 平方米。求草坪的面积。【例题【例题 4 4】有一个正方形 ABCD 如下图，请把这个正方形的面积扩大 1 倍，并画出来。【思路导航】【思路导航】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为
9、准，分别作出 4 个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的 2 倍。练习练习四四：1.四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是 49 平方米和 4 平方米，求其中一个长方形的宽。2.正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且 28 条边的长都相等。如果此图的周长是56 厘米，那么，这个图形的面积是多少？3.正图中，正方形 ABCD 的边长 4 厘米，求长方形 EFGD 的面积。【例题【例题 5 5】有一个周长是 72 厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。一个正方形的面积是多少平方厘米？【思路导航】【思路导
10、航】三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原正方形边长的 8 倍，正方形的边长为 728=9（厘米），一个正方形的面积就是 99=81（平方厘米）。练习练习五五：1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是 36 厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？2.有一张长方形纸，长 12 厘米，宽 10 厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？3.有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形 ABCD（如下图），已知大长方形的面积是 35 平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多 10 厘米。求原来小长方形的面积。第第三三部分：数学史部分：数学史话话
11、“面积”的由来面积”的由来 同学们，你们知道面积的由来吗？下面就给大家介绍一下吧。面积的概念很早就形成了。在古代埃及，尼罗河每年泛滥一次，洪水给两岸带来了肥沃的淤泥，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新划出田地的界限，就必须丈量和计算田地，于是逐渐有了面积的概念。在数学上是这样来研究面积问题的：首先规定边长为 1 的正方形的面积为 1，并将其作为不证自明的公理。然后用这样的所谓单位正方形来度量其他平面几何图形。较为简单的正方形和长方形的面积是很容易得到的，利用割补法可以把平行四边形的面积问题转化为长方形的面积问题，进而又可以得到三角形的面积。于是多边形的面积就可以转化为若干三角形的面积。特别是在推导圆的面积公式时，经历了一个非常曲折的过程。实际上圆面积的严格定义要用到极限的概念。对面积的深入研究导致了近代测度理论的诞生和发展。参考答案：参考答案：练习一：1.156 平方米 2.2025 平方厘米 3.17 分米 练习二：1.40 平方厘米 2.A 的面积：8 平方厘米 B 的面积：36 平方厘米 3.441 平方厘米 练习三：1.3600 平方米 2.49 平方厘米 3.361 平方米 练习四：1.2.5 米 2.100 平方厘米 3.16 平方厘米 练习五：1.45 平方厘米 2.24 厘米 3.10 平方厘米