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1、专题八 二次函数及其应用一、单选题1.（2020衢州）二次函数y=x的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ） A.向左平移2个单位，向下平移2个单位B.向左平移1个单位，向上平移2个单位C.向右平移1个单位，向下平移1个单位D.向右平移2个单位，向上平移1个单位2.（2020温州）已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则( ) A.y3y2y1B.y3y1y2C.y2y3y1D.y1y3y23.（2020杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，
2、且满足b2=ac。设函数y1 ， y2 ， y3的图象与x轴的交点个数分别为M1 ， M2 ， M3 ， ( ) A.若M1=2，M2=2，则M3=0B.若M1=1，M2=0，则M3=0C.若M1=0，M2=2，则M3=0D.若M1=0，M2=0，则M3=04.（2020杭州）设函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a0)，当x=1时，y=1，当x=8时，y=8，( ) A.若h=4，则a0C.若h=6，则a05.（2020宁波）如图，一次函数 (a0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（ ） A.B.C.D.当 (n为实数
3、)时， 6.（2019温州）已知二次函数 ，关于该函数在1x3的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A.有最大值1，有最小值2B.有最大值0，有最小值1C.有最大值7，有最小值1D.有最大值7，有最小值27.（2019衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ） A.(1，3)B.（1，-3)C.（-1，3）D.（-1，-3）8.（2019嘉兴）小飞研究二次函数 ( 为常数)性质时如下结论： 这个函数图象的顶点始终在直线 上；存在一个 的值，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等腰直角三角形；点 与点 在函数图象上，若 ， ，则 ；当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围为 其
4、中错误结论的序号是（ ）A.B.C.D.9.（2019湖州）已知a，b是非零实数， ，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1ax2bx与一次函数y2axb的大致图象不可能是（ ） A.B.C.D.10.（2019杭州）在平面直角坐标系中，已知ab，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ） A.M=N-1或M=N+1B.M=N-1或M=N+2C.M=N或M=N+1D.M=N或M=N-111.（2019绍兴）D在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5）（x-3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x-5），则这个变换可以是（
5、） A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位二、填空题12.（2018湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a0）交于点B若四边形ABOC是正方形，则b的值是_三、解答题13.（2018湖州）已知抛物线y=ax2+bx3（a0）经过点（1，0），（3，0），求a，b的值 14.（2018绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛
6、物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。15.（2019衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表： x（元）190200210220y(间)65605550 （1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。 （2）求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围. （3
7、）设客房的日营业额为w（元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日营业额最大?最大为多少元？ 16.（2020衢州）如图1，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A，C分别是直线y= x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（-2，0）。点D是边AC上的一点，DEBC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF。设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究： 线段EF长度是否有最小值。BEF能否成为直角三角形。小明尝试用“观察-猜想-验证-应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题。（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并
8、在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2），请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别。 （2）小明结合图1，发现应用二角形和函数知识能验证（1）中的猜想.请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值。 （3）小明通过观察，推理，发现BEF能成为直角三角形。请你求出当BEF为直角三角形时m的值。 17.（2020台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）.科学原理:如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位:m），如果在离水面竖直距离为h（单校:cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔
9、的水平距离）s（单位:cm）与h的关系为s2=4h（Hh）. 应用思考:现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔.（1）写出s2与h的关系式; 并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程 相同，求a，b之间的关系式;（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水 面的竖直距离. 18.（2020温州）已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1，-2)，(-2，13)。 （1）求a，
10、b的值。 （2）若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2=12-y1 ， 求m的值。 19.（2020绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA=2.88m，这时水平距离OB=7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2。 （1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x取值范围)，并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由。 （2）若球过网后的
11、落点是对方场地号位内的点P(如图1，点P距底线1m、边线0.5m)，问发球点O在底线上的哪个位置？(参考数据： 取1.4) 20.（2020湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线 (c0)的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB. （1）如图1，当ACx轴时.已知点A的坐标是(2，1)，求抛物线的解析式；若四边形AOBD是平行四边形，求证：b24c. （2）如图2，若b2， ，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由. 21.（2020
12、杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=x2+bx+a，y2=ax2+bx+1(a，b是实数，a0)。 （1）若函数y1的对称轴为直线x=3，且函数y1的图象经过点(a，b)，求函数y1的表达式。 （2）若函数y1的图象经过点(r，0)，其中r0，求证：函数y2的图象经过点( ，0)。 （3）若函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m，n的值。 22.（2020宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0). （1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y0时x的取值范围. （2）平移该二次函数的图象
13、，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式. 23.（2020金华丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上. （1）当m=5时，求n的值. （2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y 时，自变量x的取值范围. （3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围. 24.（2019温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧） （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y0时x的取值范围； （2）把点B向上平移
14、m个单位得点B1 若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合已知m0，n0，求m ， n的值 25.（2019金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上，横，纵坐标均为整数的点称为好点，点P为抛物线y=-（x-m）2+m+2的顶点。 （1）当m=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数。 （2）当m=3时，求该抛物线上的好点坐标。 （3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）给好存在8个好点，求m的取值范围， 26
15、.（2019绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，A=B=90， C=135. E90.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大。 （1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积。 （2）能否数出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由. 27.（2019杭州）设二次函数y=（x-x1）（x-x2）（x1 ， x2是实数）。 （1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x= 时，y=- ，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.
16、（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1 ， x2的代数式表示）. （3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m.n是实数）当0x1x21时，求证：0mn . 28.（2019台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-2，4） （1）求b，c满足的关系式 （2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式（3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5sx1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值 29.（2019宁波）如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. （1）求a的值和图象的顶点
17、坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. 当m=2时，求n的值；若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.30.（2019嘉兴）某农作物的生长率 与温度 ( )有如下关系：如图1，当10 25时可近似用函数 刻画； 当25 37时可近似用函数 刻画（1）求 的值 （2）按照经验，该作物提前上市的天数 (天)与生长率 满足函数关系： 生长率 0.20.250.30.35提前上市的天数 （天）051015请运用已学的知识，求 关于 的函数表达式；请用含 的代数式表示 （3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度在(2)的条件下，原计划大棚恒温20时，每天的成本为200元，该
18、作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元因此给大棚继续加温，加温后每天成本 (元)与大棚温度 ( )之间的关系如图2问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用） 31.（2019湖州）已知抛物线y2x2-4xc与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y2x2-4xc经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由. 答案解析部分一、单选题1. C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. D 7. A 8. C 9. D 10. C 11. B 二、填空题12.2
19、三、解答题13.解：抛物线y=ax2+bx-3（a0）经过点（-1，0），（3，0）， ，解得， ，即a的值是1，b的值是-214.P1（4，0），P2（0，0），4-0=40，绘制线段P1P2 ， P1P2=4.P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0，绘制抛物线，设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ， ，即 。四、作图题15. （1）解：如图所示。 （2）解：设y=kx+b(k0)， 把（200，60)和（220，50)代入，得 ，解得 y= x+160（170x240）（3）解：w=xy=x（ x+160)= x2+160x 对称轴为直线x= =160，
20、a= 0，m= ，n= m+n=0 =0即(4a-b2)(a+1)=0又a+10，4a-b2=0故m=n=022. （1）解：把B(1，0)代入y=ax+4x-3，得0=a+4-3， 解得a=-1，y=-x+4x-3=-(x-2)2+1，点A坐标为(2，1)，抛物线的对称轴为直线x-2，且点C与点B关于对称轴对称，点C(3，0)，当y0时，x的取值范围是1x3（2）解：D(0，-3)， 点D移到点A时，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，y=-(x-4)2+523. （1）解：当m5时，y ， 当x1时， n .（2）解：当n2时，将C(1，2)代入函数表达式y ， 得2 ，解得m13，
21、 m21(舍去).此时抛物线的对称轴为直线x=3，根据抛物线的轴对称性，当y2时，有x11 ，x25.x的取值范围为1x5. （3）解：点A与点C不重合， m1.抛物线的顶点A的坐标是(m，4) ，抛物线的顶点在直线y4上.当x0时，y ， 点B的坐标为(0， ).抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前，m减小，点B沿y轴上向上移动.当点B与点O重合时， 0，解得 m1 ，m2 .当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与点B，D 重合，点B到达最高点. 点B的点坐标为（0，4）， 4，解得 m0. 当抛物线从图2位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上. B点在线段OD上时，m的取值范围是
22、0m1或1m2 .24. （1）解：令y=0，则- x2+2x+6=0， x1=-2，x2=6，A（-2，0），B（6，0）.由函数图象得，当y0时，-2x6（2）解：由题意得B2（6-n，m），B3（-n，m）， 函数图象的对称轴为直线x= =2.点B2 ， B3在二次函数图象上且纵坐标相同， =2，n=1，m=- （-1）2+2x（-1）+6= ；m，n的值分别为 ，125. （1）解：m=0， 二次函数表达式为：y=-x2+2，画出函数图像如图1,当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；抛物线经过点（0，2）和（1，1），好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0）和（1，1）
23、，共5个.（2）解：m=3， 二次函数表达式为：y=-（x-3）2+5，画出函数图像如图2,当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=4时，y=4；抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1），（2，4）和（4，4）。（3）解：抛物线顶点P（m，m+2）， 点P在直线y=x+2上，点P在正方形内部，0m2，如图3,E（2，1），F（2，2），当顶点P在正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），当抛物线经过点E（2，1）时，-（2-m）2+m+2=1，解得：m1= ，m2= （舍去），当抛物线经过点F（2，2）时，-（2-m）2+m+2=2，解得：m3=1，m4=
24、4（舍去），当 m1时，顶点P在正方形OABC内，恰好存在8个好点.26. （1）解:如图1，S1=ABBC=65=30. 如图2，过点C作CHFG于点H， 则四边形BCHG为矩形，CHF为等腰直角三角形，HG=BC=5，BG=CH，FH=CH，BG=CH=FH=FG-HG=AE-HG=6-5=1，AG=AB-BG=6-1=5，S2=AEAG=65=30.（2）解:能。 如图3，在CD上取点F，过点F作FMAB于点M.FNAE于点N，过点C作CGFM于点G，则四边形AMFN，BCGM为矩形，CGF为等腰直角三角形，MG=BC=5，BM=CG，FG=CG.设A.M=x，则BM=6-x，FM=GM
25、+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，S=AMFM=x(11-x)=-(x-5.5)2+30.25.当x=5.5时，S的最大值为30.25.27. （1）解：乙求得的结果不正确，理由如下： 根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0），所以y=x（x-1），当x= 时，y= （ -1）=- - ，所以乙求得的结果不正确。（2）解：函数图象的对称轴为x= ，当x= 时，函数有最小值M，M=（ ）（ ）= （3）证明：因为y=（x-x1）（x-x2）， 所以m=x1x2 ， n=（1-x1）（1-x2），所以mn= x1x2（x1-x12）（x2-x22）=-（x1- ）2+ -（x2- ）2
26、+ .因为0x1x21，并结合函数y=x（1-x）的图象，所以0-（x1- ）2+ ，0-（x2- ）2+ ，所以0mn ，因为x1x2 ， 所以0mn 28. （1）解：将点（-2，4）代入y=x2+bx+c，得4=（-2）2-2b+c，c=2b b，c满足的关系式是c=2b（2）解：把c=2b代入y=x2+bx+c，得y=x2+bx+2b，顶点坐标是（m，n）n=m2+bm+2b且m=， 即b=-2mn=m2+(-2m)m+2(-2m)=-m2-4mn关于m的函数解析式为n=-m2-4m（3）y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b，对称轴x=-， 当b0时，c0，函数不经过第三象限，则c
27、=0；此时y=x2 ， 当-5x1时，函数最小值是0，最大值是25，最大值与最小值之差为25；（舍去）当b0时，c0，函数不经过第三象限，则0，0b8，-4x=0,当-5x1时，函数有最小值-+2b，当-5-2时，函数有最大值1+3b，当-2-1时，函数有最大值25-3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1=3b时，1+3b+-2b=16，b=6或b=-10，4b8，b=6；当最大值25-3b时，25-3b+-2b=16，b=2或b=18,2b4,b=2;综上所述b=2或b=6. 29. （1）解：把P（-2，3）代入y=x2+ax+3，得3=（-2）2-2a+3， 解得a=2.y=x
28、2+2x+3=(x+1）2+2，顶点坐标为（-1，2）（2）解：把x=2代入y=x2+2x+3，求得y=11， 当m=2时，n=11.225, h=29（2）解：由表格可知m是p的一次函数，.m=100p-20 当10t25时，p= ,m=100( )-20=2t-40当25t37时，p= (t-29)2+0.4.m=10 (t-29)2+0.4-20= (t-29)2+20（3）解：（）当20t25时， 由（20，200），（25，300），得w=20t-200.增加利润为600m+20030-w（30-m)-40t2-600t-4000.当t=25时，增加利润的最大值为600元. （）当25t37时，w=300.增加利润为600m+20030-w(30-m)900( )(t-29)2+15000= (t-29)2+15000当t=29时，增加利润的最大值为15000元.综上所述，当t=29时，提前上市20天，增加利润的最大值为15000元.31. （1）解：b2-4ac(-4)2 -8c16 -8c. 由题意，得b2 -4ac0，16 -8c0c的取值范围是c2（2）解：mn. 理由如下: 抛物线的对称轴为直线x1，又a20，当x1时，y随x的增大而增大.23，mn.