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1、第18章 勾股定理学与练(三)知识导学1、 在具体解题中要注意一些三角形的特殊性。如含有1530、45、60、75角的三角形。2、几个基本图形中的常用结论：等腰直角三角形三边比为含30角的直角三角形三边之比为边长为a的等边三角形的高为，面积为 例题解析：例1、直角三角形两直角边长为5，12，求斜边上的高.分析 利用勾股定理先求斜边，再用面积公式求斜边的高.解 设直角边a=5,b=12,斜边为c，斜边高为h,a2+b2=c2.c= =13.又 ab= ch h= .例2、直角三角形三边长为连续偶数，求三边的长.分析 三边长为连续偶数，可分别设为a,a+2,a+4，显然a+4为斜边，再利用勾股定理
2、列方程.注意a为偶数.若求出的结论中a可以取奇数值，则舍去.解 设三边长为a,a+2,a+4(a为偶数且a0),斜边最长为a+4.由勾股定理a2+(a+2)2=(a+4)2 a2-4a-12=0.(a-6)(a+2)=0 a0 a+20,a-6=0 a=6.三边为6,8,10.例3、等腰三角形顶角为120,求底与腰的比.(图3.16-1)分析 合理的作高，将斜三角形的问题转化到直角三角形中，再利用勾股定理来解决问题是一种常用的方法，也是本题的基本思路.解 ABC中，AB=AB BAC=120,求 .AB=AC，BAC=120B=C=30，作ADBC于D，BD=DC.RtABD中，B=30，AD
3、B=90, AD= AB.BD2=AB2-AD2=AB2- AB2= AB2 BD= AB,BC= AB, .例4 如图所示，在RtABC中，C90，A15，BC1，求ABC的面积。分析：添加辅助线BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE，构造出含30角的直角三角形BCE，同时利用勾股定理解决。或直接在ABC内作ABE15，交CA边于E。解：BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE,根据中垂线性质，可知BE=AE，ABEA15BEC30BE2BC2，ACCE+AE 例5. 作长为的线段分析：由勾股定理、直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是
4、，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB，使AB为斜边。（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角，斜边为。（3）顺次这样作下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是。以上作法根据勾股定理均可证明为正确的。取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。 例6. 如图所示，DAC90，求BD的长。解：作AEBC于E设BD为x，则又将上式代入，得：即解得： 例7. 如图所示，ABC中，CDAB于D，ACBC。求证：分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。RtACD中，RtBCD中，（2）利用代数中的恒等
5、变形技巧进行整理： 例8、已知：在RtABC中，BCA90，CDBC于D，A60，CD，求线段AB的长。分析与解： 求AB，可由ABBD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD3和AD1。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC2和BC2。说明：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，要对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。 “双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2BD2AC2AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30或45特殊角的特殊性质等。 要求学生能够自己画图，并正确标图。例题9、已知CD为RtABC
6、斜边上的高(图3.16-2)，求证(1)CD2=ADDB (2)AC2=ADAB (3)BC2=BDAB图3.16-2分析 本题中有三个直角三角形RtACD,RtBCD，RtABC,合理利用这些直角三角形，用勾股定理建立边的关系，再利用代数变形得结论是本题的基本思路.证 (1)CD为RtABC斜边上的高.ACD，BCD均为直角三角形AD2+CD2=AC2 BD2+CD2=BC2 + AD2+BD2+2CD2=AC2+BC2=AB2=(AD+DB)2=AD2+BD2+2ADBD.2CD2=2ADBD CD2=ADBD.(2)AC2=AD2+CD2 由(1)CD2=ADDB.AC2=AD2+ADD
7、B=AD(AD+DB)=ADAB.(3)BC2=BD2+CD2 由(1)CD2=ADDBBC2=BD2+ADBD=(BD+AD)BD=ABBD.注:本例的三个结论又称“射影定理”例10、ABC中，BC=a,CA=b AB=c BAC=120(图3.16-4)，求证a2=b2+c2+bc.图3.16-4分析 将斜三角形问题通过作高巧妙地转化为直角三角形，利用勾股定理解决有关边的计算问题是常用办法之一.证 作CDAB交BA延长线于D，BAC=120,CAD=60, D=90,AD= AC= b. CD= = b.在RtCDB中a2=( b)2+( b+c)2= b2+ b2+bc+c2=b2+c2
8、+bc.例11、已知RtABC中，C=Rt.(1)若A=30,则BCCAAB=1 2;(2)若A=45,则BCCAAB=11 .解 (1)C=Rt A=30BC= AB BC2+CA2=AB2CA= = = BCBCCAAB=1 2.(2) C=Rt A=45 B=45 CA=CB.AB2=CA2+CB2=2BC2 AB= CB BCCAAB=11 点评 上述两特殊三角形中的三边的特殊比，在以后解决线段长问题中经常运用，请大家记住这两组比.例12、如图，ABC中C=90,AC=BC,D在AC上，且DBC=30,求 .图3.16-6分析 可设某个量为单位1，例如设AC=BC=1，再利用直角三角形
9、勾股定理及特殊直角三角(30,60，90)(45,45,90)的三边特殊比，求出所需线段长，最后得出结论，是一种常用的方法.解 设AC=BC=1, C=90AB= .DBC=30BC= DC=AC,AD=AC-DC=AC- AC= .学后练习 1. 已知直角三角形的两边长，求第三边的长。 2. 已知：如图，隔湖有两点 A、B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C，测得CA50m，CB40m。求AB。 3. 已知一个工件尺寸如图（单位mm），计算的长（精确到0.1mm） 4. 如图（单位mm），车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离AB是134mm，两孔中心的水平距离BC是77mm，计算两孔中
10、心的垂直距离AC（精确到0.1mm）。 5. 要修一个育苗棚（如图），棚宽a3m，高b1.5m，长d10m。求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少m2（精确到0.1m2）? 6. 想一想，如图，分别以直角三角形三边为直径作三个半圆，这三个半圆的面积之间有什么关系？为什么？ 7. 如图所示，ABC中，A45，B30，BC8。求AC边的长。8. 计算题：如图，ABC，ABAC，C30，DABA于A，BC14.4cm，求AD的长。 9. 证明题：已知：ABC的三个角度数的比A：B：C1：2：3。 求证： 10 、RtABC的一条直角边长BC=5，另两边为自然数，AD为角平分线，求AD的长，图(3.16-3)图
11、3.16-3 11、如图 AC、BD交于O，且相互垂直平分，若ACAB=4825,求BDDC.图3.16-7 12. 求下图所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0.1mm）。参考答案 1.解：（1）若AB、BC均为直角边（2）若BC为斜边 2. 30m3. 82.0mm 4. 109.7mm5. 33.5 6. 以直角三角形两直角边为直径的两个半圆的面积之和等于以该直角三角形斜边为直径作的半圆的面积，利用勾股定理证明。 7. 分析：添加辅助线作CDAB于D，构造含45，30角的直角三角形列方程解决问题。答案： 8 解：ABAC，C30CB30又ADAB，BAD90DACC30
12、设DCADxcmBD2x cm AD的长为4.8cm 9. 证明：A：B：C1：2：3C90，A30，B60c2a10分析 本例首先要求出ABC的三边，考虑到AB、AC为自然数，求三边即求方程AC2+25=AB2的正整数解，直接求不好着手，可将上式变形为(AB+AC)(AB-AC)=25，利用两自然数的和、差同奇偶来求出AB，AC，求出三边后，再求AD，考虑AD为角平分线到角两边距离相等，作DEAB于E，则DC=DE，再利用RtABC，RtACD，RtAED，RtBED中的三边关系，利用勾股定理合理列出方程来求出AD的长.解 设AC=b AB=c.则b,c为自然数且c2-b2=52 (c+b)
13、(c-b)=25.25=251=55. b0 c+bc-b且c+b,c-b均为正整数. .过D作DEAB于E. AD为角平分线DE=DC. 在RtADE和RtADC中，DE=DC DA=DAAC=AE=12.AB=13 BE=1.设CD=DE=x BD=y. AD2=AC2+CD2=( )2+122=( )226. AD= .本题综合性强，先利用AC，AB为自然数，利用勾股定理求出另两边，再利用角平分线性质作出DEAB于E.制造RtBDE.进而到方程求出AD的长.11解 ACAB=4825,设AC=48k,AB=25k(k0).AC,BD相互垂直平分于OOA=OC=24k OB=OD= BD.CD2=OC2+OD2=OA2+OB2=AB2 CD=25kRtCOD中，OC=24k, DC=25k OD= =7kBD=14k BDDC=14k25k=1425点评 遇到线段比时，常利用设一个参数k，将线段进行量比，以方便有关线段的计算.12解：