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1、初论高中数学解题“三步曲”摘要：三步曲，即求什么、有什么、怎么做。第一步求什么：即做事情的目的，目的不清楚事情就不知道做什么，就会盲目性，就会答非所问，所以目的一定要搞清楚。第二步有什么：做事情目的弄明白以后，要围绕目的分析：现在有什么，即有哪些条件，围绕目的把能用的条件弄清楚，解决问题的思路就有了。第三步怎么做：怎么做是对方法的的选择，根据自己的特长、已有的条件选择恰当的方法。关键词：三步曲、求什么、有什么、怎么做教了十余年高中数学，对高中学数学解题有了一些自己的体会，想把它写出来，在临近高考的这段时间，想把自己教了一年的这点东西再给学生总结一下，于是便把它写了出来，时间匆忙写的不到位，以后
2、再继续完善，希望得到大家的批评指正。我刚开始叫做解题“三步走”，上课时为了便于学生记忆形象的对学生说是“程咬金三板斧”。后来感觉叫“三板斧”不恰当，又改为“三步曲”吧。三步曲，即求什么、有什么、怎么做。第一步求什么：即做事情的目的，目的不清楚事情就不知道做什么，就会盲目性，就会答非所问，所以目的一定要搞清楚。第二步有什么：做事情目的弄明白以后，要围绕目的分析：现在有什么，即有哪些条件，围绕目的把能用的条件弄清楚，解决问题的思路就有了。第三步怎么做：怎么做是对方法的的选择，根据自己的特长、已有的条件选择恰当的方法。下面就几道熟悉的题目说说我的“三部曲”。已知函数且x1)（1）若函数在上为减函数，
3、求实数a的最小值；（2）若，使成立，求实数a的取值范围分析思路：（1）要求什么：a的最小值。有什么：函数解析式且x1)在上为减函数，解析式对数函数和一次函数混合。怎么做：求导0恒成立然后观察用什么方法。解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立 所以当时，又，故当，即时，所以于是，故a的最小值为 解题的意外收获是导函数很好处理。构造二次函数就解决了这类问题常用的方法是分类讨论、分离常数。（2）分析：求什么？求实数a的取值范围有什么？若，使成立；由（1）得；恒成立相关知识等。怎么做？求出不等式左边的最小值小于右边的最大值。两种做法讨论分离常数方法一 解：命题“若使成立”等价于“当时，有”由（
4、1），当时， 问题等价于：“当时，有” 当时，由（1），在上为减函数，则=，故 当时，由于在上为增函数，故的值域为，即(i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，于是，=，不合 (ii)若，即，由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；所以，=，所以，与矛盾，不合 综上，得.解法二：分离常数命题“若使成立”等价于“时，有”即令，成立所以做完以后让学生总结这类问题的一般性解法体会分类讨论与分离常数方法的优劣但也要看具体题目，没有哪种方法是万能的，完美无缺的。解题教学，不是只让学生解题，更不是让学生看教师解题，而是教学生“学解题”首是“学”解题，然后学生才能够自己独立地去解
5、题怎么“学”解题？“学”什么？学思考!尤其对那些不善于解题的学生（大多数），更要学思考不讲“怎么想到的”，原来不会思考的仍然不会思考怎样“从无到有”，“从不会到会”？学会思考呢？“理解题意”善于解题的人用一半的时间理解题意，用另一半时间完成解答“理解题意”是解题教学核心 如：（2011江苏卷13）设1，其中，成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_求什么？q的最小值有什么？ 1q12，成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列。怎么做？要求q的最小值观察发现最小时q最小所以所以q1，2，3（“q”的一系列式子）获得q1，q，qq的最小值是本题的关键在于对求什么要思考，对q大
6、小有什么影响？把这个问题看出来就解决了。再如：（镇江市2013届高三期末）已知函数，对一切正整数，数列定义如下：，且，前项和为.（1）求函数的单调区间，并求值域；（2）证明；（3）对一切正整数，证明： ；.分析（1）要求什么？函数的单调区间，值域。有什么？函数解析式，怎么做？求导。求单调区间时注意定义域，求值域时注意有界性如下：解：（1）定义域R，函数的单调增区间为，单调减区间为 方法的选择在于思考问题的方向，在于我们对已有知识的记忆和联想，求值域的方法常见有单调性和定义域的结合法、判别式法、基本不等式法、换元构造熟悉的函数、直接法、函数有界性法、图像法、极限等，这些知识的储备以及我们对某种方
7、法的熟练程度有关，下面我们用极限和构造数函数两种方法解答本问。极限法：，当时， ，时，为减函数，；当时， ；函数的值域为构造熟悉函数法：当时，,当时，,且,函数的值域为还可以使用判别式法不再一一叙述。 分析（2）求什么？证明两个集合相等，实际上是求什么（两个集合里的元素相同）这个集合里的元素是什么？（方程的根）一再追问之下解题思路清晰了，所以对解题三步曲的理解不是仅仅人家问什么我就求什么，而是对问要有一定深度的思考分析，解题思路才能豁然开朗。下面只要对方程的根讨论一下就可以了。 设,设，则，则，.当时， 恒成立 当且仅当时， 令，当且仅当时，当时，由（）, 当时，当时， ，当时，在无解综上，除
8、外，方程无解， 小结：对与复合函数根要注意换元，由里向外一层一层研究，逐步讨论。分析（3）求什么？证明： ；.函数和数列混合，首先引起注意要前面研究的函数性质，那么对有什么？就多了一些条件，这个问有什么呢？函数的值域为，且。函数的单调增区间为，单调减区间为 。怎么做？就得利用已有的单调性，值域对数列进行适当放缩直达目的。方法的选择根据数列求和常用的方法倒序相加、错位相减、裂项相消、公式求和等观察数列形式选择适当的方法。 显然,又,， 所以， 若，则 矛盾.所以 . 列项求和法： 放缩法 ， . 放缩法在于对目标的把握，容易放多了结果不符合要求，所以在做的时候时刻把目标记在脑子中，就像航海中远方
9、的灯一样指引着我们一直向目的地前进。 解题三部曲在几何中的运用更能凸显其优越性 已知三棱锥中，求三棱锥的体积。分析：要求什么：棱锥的体积、其关键找线面垂直，有什么：三棱锥中，怎么做：把现有的条件在图形中标一下，找出隐含的条件如，从而发现线面垂直法一：等积变换：由已知可得：，从而，即，所以面，所以。直接作线面垂直法二：作面，垂足为，令，可证出，即，则，所以，所以。利用等腰三角形作线面垂直法三：取的中点，连结，可以证出，所以面则。利用已有的正四面体体积公式与要求的几何体的体积关系法四：分别取的中点，则三棱锥为正四面体，其棱长为，可求出，又可证，所以法五：同法四延长到，使，连结，则三棱锥为正四面体，
10、其棱长为。可求出，又可证得，所以利用棱柱和棱锥的关系法六：分别过两点作的平行线，使，连结，则原三棱锥被补成一个斜三棱柱，由前可知面，所以，平面为斜三棱柱的直截面，可求出，则，又，所以。怎么做就是方法的选择，与每个人的知识结构、解题习惯、对已有知识的记忆有关系，所以方法没有好坏之分适合自己的就是最好的，把自己的特长发挥出来就是成功的关键。再如下面一道解几题目：APBOMN已知圆C：，点P（t，0）是轴上异于原点的任意一点，过点P作圆C的两条切线PA,PB.（1） 当时，过点P的直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程；（2） 过原点O作垂足分别为M,N,证明直线MN过定点，并求出这个定点坐标。分析：
11、对于第二问要求MN过定点坐标，就要求出MN的直线方程，即要求出M,N两点坐标然后整理出MN的直线系方程，定点坐标即可求。有什么：即PA,PB与圆C相切，所以只要设出PA,PB的直线方程就可以了。怎么做：考虑直线斜率的存在性，在设直线方程时注意两种设法，在求点坐标考虑解方程组的复杂性想到是不是可以不求出点坐标。具体分为三种解法如下：解：（1）当斜率不存在时直线方程为成立，当斜率存在时设斜率为，直线方程为圆心到直线的距离，直线的方程为，综上所述直线的方程为或。（2） 方法一：当直线PB的斜率不存在时，PB方程为，则，PA直线方程为，则，直线MN方程为，同理当PA斜率不存在时，PA方程为，直线MN方
12、程为定点即为两直线交点为 当直线PA，PB斜率都存在时设直线PA方程为则圆心到直线的距离为1，即。直线PB的直线方程为。同理所以直线MN的方程为过定点方法二：观察发现P点在轴上，可以设过P的切线方程为减少讨论斜率不存在情况，其他步骤相似不一一叙述。方法三：与法一前半部分相同后面采用设儿不求减少求点坐标带来的计算上的困难如下到这一步后有，得即，又因为所以M，N在以OP为直径的圆上，即，联立得因为P,M,N不重合所以所以有即所以过定点 以上是我对解题“三部曲”的一些粗浅的看法，还有许多不足的地方希望得到专家们的指导。我想在以后的教学生涯中将不断完善我的“三部曲”思想，所以在取名的时候加了“初论”两字相信有一天“三部曲”成为高中学生重要的解题办法。参考文献： 遵循教学规律，改造高考复习 王晓东 数学方法论选讲 李立鹏 数学大师论数学教育 陈建功、苏步青、陈省身、关肇直、吴文俊