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1、高三数学高三数学满分：满分：150 分考试时间：分考试时间：120 分钟注意事项：分钟注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔填涂：非选择题必须使用铅笔填涂：非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区
2、域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：共保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1已知集合230,1216xAx xxBx，则RAB（）A03x xx或B04x xx或
3、C34xxD03xx2 已知数列 na的前n项和为nS，且数列 na满足114222,4nnnaaanaa 若39S，则9a（）A9B10C17D193已知向量,a b满足aba，且2b，则a b的值为（）A2B2C1D14已知,是三个不同的平面，,m n是两条不同的直线，则下列判断正确的是（）A若,mn n，则mB若,，则C若,m，则mD若123,lll，则123lll5 将函数1sin0,22yxx x的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线，已知曲线始终保持为函数图象，则tan的最大值为（）安徽省名校联盟2023-2024学年高三上学期实验班12月大联考试题 A12B23C1D326 设
4、函数 fx的定义域为D，若函数 fx满足条件：存在,a bD，使 fx在,a b上的值域为2,2ab，则称 fx为“倍增函数”若函数 2log2xf xt（其中0t）为“倍增函数”，则t的取值范围为（）A10,4B0,1C10,2D1,47已知边长为3的正方体1111ABCDABC D，点Q为11ABC内一个动点，且满足12QB，则点Q的轨迹长度为（）A2BC32D28已知函数 1132ee33xxfxxxx，若实数,x y满足22212f xfy，则21xy的最大值为（）A3 22B3 24C5 24D5 34二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
5、共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9下列判断正确的是（）A若 yfx是一次函数，满足 49ff xx，则 23fxxB命题“20,2xxx”的否定是“20,2xxx”C函数 2122f xx的定义域为D，值域 4B，则满足条件的 fx有 3 个D关于x的不等式20axbxc的解集为2,3，则不等式20cxbxa的解集为1 1,2 310已知函数 2(0)f xxx，点,P m n在函数图象上，则下列说法正确的是（）Am
6、n有最小值2 2B22mn有最小值 2Cmn有最小值542D若24m，则41mnmn有最小值22 211已知定义在R上的奇函数 fx满足31fxfx，且当0,1x时，32fxxx，则下列说法正确的是（）A函数 fx的一个周期为 4B当1,2x时，函数 fx的解析式为 32 2(2)fxxxC当1,0 x 时，函数 fx的最大值为4 69D函数 fx在区间0,2023内有 1011 个零点12定义数列 11,1,ee1nnaannaaa，则下列说法正确的是（）A na是单调递减数列B112nnaaC212122nnnaaaD112nna三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，
7、每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知1,2M是角终边上的一点，则sin2_14已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为40，则该三棱柱的体积为_15若H是ABC的垂心，且2230HAHBHC，则tanC的值为_16在同一直角坐标系中，,A B分别是函数 e1lnmxfxxm xx和 g xx图象上的动点，若对于任意0m，都有ABa恒成立，则实数a的最大值为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知2 3sin,cos,cos,2cos
8、axxbxx，且函数 fxa b（1）求函数 fx的对称轴方程与单调递增区间；（2）已知0013,56 3f xx，求0cos2x的值18（12 分）如图，在四棱锥EABCD中，EA平面ABCD，底面ABCD为矩形，2,1,3,ABADEAF为EC中点，14AGAB（1）求证：EC 平面DFG；（2）求二面角FDGC的余弦值19（12 分）记ABC的角,A B C的对边分别为,a b c，且sinsinsin3CABcacb（1）求A；（2）若2 3b，求2ca 的最小值20（12 分）已知函数 ln1fxx x（1）求函数 fx的单调区间；（2）证明：当1a 时，exf xax21（12 分
9、）已知数列 nb是等比数列，公比不为 1，且12312,43b bbbb（1）令1111nnnnbdbb，求证：12334ndddd；（2）记1,21,212321,2,nnnknncnb nk其中*k N，求数列 nc的前2n项和2nS22（12 分）已知函数 1e,lnxfxxax F xx（1）当1a 时，过点1,0与函数 fx相切的直线有几条？（2）若 fxaF x有两个交点，求实数a的取值范围高三数学参考答案高三数学参考答案1【答案】D【解 析】依 题 意23003Ax xxx xx或，121604xBxxx，则R03Axx，故R03ABxx2【答案】C【解析】112nnnaaa，数
10、列 na是等差数列，设公差为d，则4224aad，可得322;39dSa，可得23a，9292217aa，故选 C3【答案】B【解析】2b，在等式aba两边平方并化简得220ba b，222ba b ，故选 B4【答案】C【解析】有可能出现m的情况，故 A 不正确；若,，则与平行或相交，故 B 不正确；由,m，得直线m和平面没有公共点，所以m，故 C 正确；三条直线可能重合，或相交于一点，故 D 不正确5【答案】B【解析】1cos12yx，所以1sin2yxx在原点处的切线斜率为32k，切线方程为32yx，当1sin2yxx绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，设其倾角为，则3tan
11、2，则,22，显然为锐角，cos12tantan2sintan3，故tan的最大值为236【答案】A【解析】依题意知，函数 fx在,a b上是“倍增函数”；可得22log22,log22,abtatb即2222,22,aabbtt ,a b是方程2220 xxt 的两个根；设2xm，则0m，此时方程为20mmt，即方程有两个不等的实根，且两根都大于 0，可得2(1)40,0,tt 解得：104t；故满足条件t的取值范围是10,47【答案】A【解析】设点1B到平面11ABC的距离为,d d为正方体对角线的13，则1d，以点1B为球心，2为半径的球面与平面11ABC相交的圆半径为22(2)11；等
12、边11ABC的内切圆半径为312321232，设11ABC的中心为,O Q轨迹与11ABBC、分别交于,M N两点，如图，弧长MN的三倍即为所求；14ONC，可得33,224436ONBMON，故交线长为1 362 8【答案】C【解析】由题意有 1132113ee33ee1(1)xxxxfxxxxx，记 113ee1,(1)xxg xh xx；显然 h x关于1,0中心对称且为R上的增函数，1122,ee0 xxg xgxgx，故 g x是关于1,1中心对称且为R上的增函数，得 fx也是关于1,1中心对称且为R上的增函数；由于22212f xfy，故22212xy，可得2223xy；记21Ax
13、y，由基本不等式222222221122251222228xyAxyxy，可得5 24A，当且仅当22220,22,23,xxyxy即10,212xy 时，等号成立，故21xy的最大值为5 24，选 C9【答案】BC【解析】因为 yfx是一次函数，设 0fxkxb k，则 249ff xf kxbk kxbbk xkbbx，可得24,9,kkbb解得2,3kb或2,9,kb 所以 23fxx或 29fxx，故选项 A 错误；选项 B 正确；21242f xx，可得2x ，所以函数 fx的定义域D可以是：2或 2或2,2，满足条件的 fx有 3 个，故选项 C 正确；关于x的不等式20axbxc
14、的解集为2,3，则方程20axbxc的解是2x 或3x，且0a，由韦达定理可得231,236,baca 解得,6ba ca ，则不等式20cxbxa转化为260axaxa，因为0a，所以2610 xx，解得1132x，则不等式20cxbxa的解集为1 1,3 2，故选项 D 不正确故选 BC10【答案】ACD【解析】依题意，0,0mn，由基本不等式，22 2mnmn，当且仅当2mn时，等号成立，mn有最小值2 2，选项 A 正确；2224mnmn，当且仅当2mn时，等号成立，22mn有最小值 4，选项 B 错误；2()22 24 2mnmnmnmn，当且仅当2mn时，等号成立，所以mn有最小值
15、为542，选项 C 正确；4421141442mnmnmnmmmnmm ，242142(12)422mmmm，则41mnmn有最小值22 2，选项 D 正确故选 ACD11【答案】AC【解析】由31fxfx 得 2fxfx，又因为 fx为奇函数，fxfx，2,42fxfxfxfxfx ，所以 fx的周期为 4，选项 A 正确；当1,2x时，20,1x，所以 32(2)2 2fxfxxx，选项 B 错误；当0,1x时，322,32fxxx fxx，令 0fx，得23x 时函数有最小值，又 因 为 fx为 奇 函 数，故23x 时，函 数 fx在 区 间1,0有 最 大 值，224 6339ff，
16、选项 C 正确；因为函数关于1x 对称，022fff，一个周期内两个零点，3,2023有 505 个周期，共 1010个零点，总计 1012 个零点，选项 D 错误故选 AC12【答案】ABD【解析】由题意得1e1ennaana，e1,e1,xxh xxhxh x在0,单调递增，在,0单调递减，00h xh，当且仅当0 x 时，e10 xx，若10na，又因为1ee1nnaana，则e1,0nannaa，则110nnaaa，又因为11a，所以0na，所以1e1ennaana，设 e1exxg xx，可得 eeeexxxxgxxx，当0 x 时，0,gxg x单调递减，当0 x 时，0,gxg
17、x单调递增，所以0 x 时，00g xg，所以ee1xxx，所以ee1nnaana，由 e10 xh xx，当0 x 时，e11xx，因为11a，所以121e1e1e11aaa，则20a，同理得30,0naa，当0na 时，1e1eennnaaana，所以1nnaa，故数列 na单调递减，选项 A 正确；需证明112e1ln11e11e1lne222nnnnaaaannnnnnnaaaaaaa，令1112221e,ln0,1elnnabbbbbbbb，令 1122ln,1,em bbbb b，则 11202m bbbb，10m bm成立，所以112nnaa，选项 B 正确；1ln e1lnna
18、nnnnaaaa，设,0,1nax x，设 ln e1ln,0,1xf xxx x，则 e11110e1e1xxxfxxx，所以函数 fx单调递减，所以随着na减小，从而1nnaa增大，所以212221nnnnaaaa，选项 C 错误；当1n 时，根据选项 B 可知，111122nnnnaaa，当1n 时，1 11112a，即112nna，选项 D 正确故选 ABD13【答案】45【解析】1,2M是角的终边上一点，由三角函数定义可得，22222211sin,cos551212，所以214sin22sin cos255514【答案】12 6【解析】设球O的外接球半径为R，则2440R，则10R，
19、三棱柱111ABCABC有内切球，设内切球半径为r，故高为2r，连接111,ABCABC的外心21,O O，则21O O的中点O即为球心，ABC内切圆半径为r，得22,2 3O Cr ABr，则222(2)rrR，则132,2 62 62 212 622rV15【答案】212【解析】2230HAHBHC，得2230HCCAHCCBHC，所以724CHCACBCD （D为AB的中点），所以垂心H在中线上，即高线与中线重合，故ab；2230HAHAABHAAC ，所以723AHABAC ，又因为0AH BC ，得 230ABACACAB ，化简为222222223cos0,cos322bcacbb
20、cAbcAbc，得2256cb，所以2222226225cos225bbabcCabb，即21tan2C 16【答案】22【解析】解法一：已知 1e1ln,ee1mxmxmxf xxm xx fxmxmx，00000011 e111 emxmxfxmxmmxx 0000001111e0mxmxmmxxxx，0000001e,ln,ln0mxmxx mxxx；切点00,xy到直线yx的距离0000000e1ln22mxxm xxxyxd00011222m xmxx解法二：令 exw xx xR，则 e1xw x，当0,x时，0w x，exw xx单调递增，当,0 x 时，0,exw xw xx单
21、调递减，故 exw xx在0 x 处取得极小值，也是最小值，故 0e01w x，故lne1lneln1mxx mxxm xxxxmx，当且仅当ln0 xmx时，等号成立，设,e1ln,mxA x xm xxB y y，由基本不等式得：22222e1ln(01)1|()e1ln222mxmxyyxm xxxABxyxm xxy，当且仅当ln0 xmx时，等号成立，故22AB，则a的最大值为2217【解析】（1）22 3sin cos2cos3sin2cos212sin 216f xxxxxxx，令262xk，得62kxkZ，所以函数 fx的对称轴方程为62kxkZ；令222262kxkkZ，解得
22、36kxkkZ，故函数 fx的单调递增区间为,36kkkZ（2）0135f x，即0132sin 2165x，所以04sin 265x，又0,6 3x，所以052,626x，所以2003cos 21sin2665xx ，所以000043 3cos2cos2cos 2cossin 2sin66666610 xxxx18【解析】（1）因为EA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，因此,AB AD AE两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，1310,0,3,1,2,0,1,0,0,1,0,0222ECDFG，1131,0,1,1,2,3222DGDFEC ，因为0EC DF
23、，所以ECDF，即ECDF；因为0EC DG ，所以ECDG，即ECDG；又DFDGD，因此EC 平面DGF（2）因为EA平面ABCD，所以0,0,1n 为平面ABCD的一个法向量，由（1）知1,2,3EC 为平面DFG的一个法向量，6cos,4EC nEC nECn ，显然二面角FDGC为锐二面角，所以二面角FDGC的余弦值为6419【解析】（1）sinsinsin3CABcacb，由正弦定理得：3cabcacb，即2223bcabc，由余弦定理得：22233cos222bcabcAbcbc，因为0,A，所以6A（2）由正弦定理：12 3sin32,sinsinsinsinsinabbAaA
24、BBBB，sin2 3sin,sinsinsinsincbbCCcCBBB，52 3sin332cos632sin2sin22sinBcBaBBB；又因为222222tan1tan22sin2sincos,coscossin22221tan1tan22BBBBBBBBBB代入得：2tan3tan3332233322424tan4tan22BBcaBB（23B时取等），所以2ca 的最小值为 320【解析】（1）fx的定义域为 0,ln1fxx，令 0fx，得1ex，由 0fx，解得10ex；由 0fx，解得1ex；所以 fx的单调递减区间为10,e，单调递增区间为1e,（2）证明：令 eeln
25、1xxxf xaxa xx x，令 exk xx，则 1exkx，在0,上单调递减，所以 010k xk ；由1a，可得eln1eln1xxa xx xxx x，即证e1ln10 xxxx，令 e1ln1(0)xg xxxxx，则 2221e11 e11xxxxgxxxxx；由 0gx，可得1x（0 x 舍去），因为当0 x 时，e10 x，所以当01x时，0,gxg x在0,1上单调递减，当1x 时，0,gxg x在1,上单调递增；所以 min()1e1 1e20g xg ，所以 0g x，则e1ln10 xxxx，故eln10 xxx x，结论成立21【解析】（1）数列 nb是等比数列，且
26、12312,43b bbbb，设数列 nb的公比为211111,1,43,bbqbqq qbbq解得1113,3nnnbqbbq，数列 nb的通项公式为：*3nnbnN；111113311112 31313131nnnnnnnnnbdbb12322313113113112 3 1312 31312 3131nnndddd113113 1132 3 1312 2314nn，12334ndddd（2）*1,21,2123213,2nnnknncknnkN，212342121321242nnnnnScccccccccccc；令1321242,nnnnAcccBccc，1111 5594341nAnn
27、111 111111111454 594 47434 4341nnnn11144141nnn；242223 373453413nnnBnn，24622233 373453413nnnBnn，24622283 3434343413nnnBn2246222343434343413nnn 2246222343333413nnn 2219 9132794413499122nnnnn ，1342729816nnnB；11*23427832729941816411616nnnnnnnnnSABnnnN22【解析】（1）当1a 时，函数 1exfxxx，设切点为01000,exx xx，因为 11 e1xf
28、xx，所以01001 e1xfxx；所以切线方程为：0001110000eee1xxxyxxxxx，因为切线过点1,0，所以 00011100000eee1 1xxxxxxx，化简得：0011200e1 e10 xxxx，即012001 e10 xxx；记 211 e1xh xxx，2112 ee21xxh xxxxx，令 0hx，解得2x 或1x；当,2x 时，0hx，所以 h x在,2 上单调递增，当2,1x 时，0hx，所以 h x在2,1上单调递减，当1,x时，0hx，所以 h x在1,上单调递增；125e10h，2115e124xh xx，当x 时，h x为正数，故 h x在,2 无
29、零点，21e10h ，故 h x在2,1内有 1 个零点，32e10h，故 h x在1,2内有 1 个零点，综上，h x有 2 个零点，即过点1,0与函数 fx相切的直线有 2 条（2）令 1eln(0)xg xfxaF xxaxxx，则 fxaF x有两个交点等价于 g x有两个零点，易得 11111 e1exxxgxxaxaxx，当0a 时，11e0 xxgxxax，所以 g x在0,上单调递增，则 g x至多有一个零点，因此0a；令 1e(0)xxxa x，则 11 e0 xxx，所以 x在0,上单调递增，因为 100,e0aaaaa ，所以存在10,xa，使得10 x，则111exax
30、，所以当10,xx时，0 x，即 0gx，所以 g x在10,x上单调递减，当1,xx时，0 x，即 0gx，所以 g x在1,x 上单调递增；因此，11min1111()elnxg xg xxaxx，由111exax，得11lnln1axx，则11lnln1xxa，故min1()ln12lng xg xaaaaa；当20ea时，min()2ln0g xaa，则 g x在0,上没有零点，当2ea 时，min()2ln0g xaa，则 g x在0,上只有一个零点，当2ea 时，min()2ln0g xaa；则 g x在0,上有两个零点；因为111exax，所以1121eexx，所以11x，因为2222e122e121eeelneee2e0,0gaag x，所以 g x在21e,x上有且只有一个零点，即 g x在10,x上有且只有一个零点；易得 112elnelneaag aaaaaaaaa，设 12elneah aaa a，则 11e1ah aa，易知 h a在2e,上单调递增，则 2e121e10eh a，所以 h a在2e,上单调递增，则 2e12e2e0h a，所以 0g a，所以 g x在1,x a上有且只有一个零点，即 g x在1,x 上有且只有一个零点，