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1、Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)第七章第七章第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论强度理论强度理论Chapter7 Analysis of Stress and Strain Chapter7 Analysis of Stress and Strain Strength TheoriesStreng
2、th Theories 7-1 应力状态概述应力状态概述(Concepts of stress-state)7-2 平面应力状态分析平面应力状态分析-解析法解析法(Analysis of plane stress-state)7-3 平面应力状态分析平面应力状态分析-图解法图解法(Analysis of plane stress-state)7-4 三向应力状态分析三向应力状态分析 (Analysis of three-dimensional stress-state)(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-
3、state and strain-state)7-6 广义广义胡胡克定律克定律(Generalized Hooks law)7-7 复杂应力状态的变形比能复杂应力状态的变形比能 (Strain-energy density in general stress-state)7-8 强度理论强度理论 (Failure criteria)7-5 平面应变状态分析平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state)7-9 莫尔强度理论莫尔强度理论 (Mohrs failure criterion)(Analysis of stress-state and strain-s
4、tate)(Analysis of stress-state and strain-state)7-1 应力状态概述应力状态概述 (Introduction of stress-state)一、应力状态的概念一、应力状态的概念一、应力状态的概念一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)(Concepts of stresses-state)请看下面几段动画请看下面几段动画请看下面几段动画请看下面几段动画 1.1.1.1.低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验 （A tensile test of low-car
5、bon steel and cast ironA tensile test of low-carbon steel and cast iron）2.2.2.2.低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验 （A A torsionaltorsional test of low-carbon steel and cast iron test of low-carbon steel and cast iron）(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and
6、strain-state)低碳钢低碳钢低碳钢低碳钢（low-carbon steellow-carbon steel）塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁铸铁铸铁铸铁 （cast-ironcast-iron）低碳钢和铸铁的拉伸低碳钢和铸铁的拉伸低碳钢和铸铁的拉伸低碳钢和铸铁的拉伸(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿
7、为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢和铸铁的扭转低碳钢和铸铁的扭转低碳钢和铸铁的扭转低碳钢和铸铁的扭转 低碳钢低碳钢低碳钢低碳钢（low-carbon steellow-carbon steel）铸铁铸铁铸铁铸铁（cast-ironcast-iron）(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（1 1）拉中有剪拉中有剪拉中有剪拉中有剪,剪中有拉剪中有拉剪中有拉剪中有拉;（2 2）不仅横截面上存在应
8、力不仅横截面上存在应力不仅横截面上存在应力不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力斜截面上也存在应力斜截面上也存在应力斜截面上也存在应力;（3 3）同一面上不同点的应力各不相同同一面上不同点的应力各不相同同一面上不同点的应力各不相同同一面上不同点的应力各不相同;（4 4）同一点不同方向面上的应力也是各不相同同一点不同方向面上的应力也是各不相同同一点不同方向面上的应力也是各不相同同一点不同方向面上的应力也是各不相同 3.3.3.3.重要结论重要结论重要结论重要结论（Important conclusionsImportant conclusions）哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？哪个方向面？哪
9、个方向面？哪个方向面？哪个方向面？应应 力力哪一个面上？哪一个面上？哪一个面上？哪一个面上？哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？4.4.4.4.一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态（state of stresses of a given pointstate of stresses of a given point）过一点不同方向面上应力的情况过一点不同方向面上应力的情况过一点不同方向面上应力的情况过一点不同方向面上应力的情况,称之为称之为称之为称之为这一点的应力状这一点的应力状这一点的应力状这一点的应力状态态态态（state of stresses of a given p
10、ointstate of stresses of a given point）,亦指该点的应力亦指该点的应力亦指该点的应力亦指该点的应力全貌全貌全貌全貌.(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法 （The method for The method for investigating the state of stressinvestigating the state of s
11、tress）1.1.单元体单元体单元体单元体（Element bodyElement body）（2 2）任意一对平行平面上的应力相等）任意一对平行平面上的应力相等）任意一对平行平面上的应力相等）任意一对平行平面上的应力相等 2.2.单元体特征单元体特征单元体特征单元体特征 （Element characteristicElement characteristic）3 3.主单元体主单元体主单元体主单元体（Principal bodyPrincipal body）各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体 （1 1）单元体的
12、尺寸无限小）单元体的尺寸无限小）单元体的尺寸无限小）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布每个面上应力均匀分布每个面上应力均匀分布每个面上应力均匀分布 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)4 4.主平面主平面主平面主平面（Principal planePrincipal plane）切应力为零的截面切应力为零的截面切应力为零的截面切应力为零的截面 5 5.主应力主应力主应力主应力（Principal stress
13、Principal stress）主面上的正应力主面上的正应力主面上的正应力主面上的正应力 说明说明说明说明:一点处必定存在这样的一个单元体一点处必定存在这样的一个单元体一点处必定存在这样的一个单元体一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的三个相互垂直的三个相互垂直的三个相互垂直的面均为主平面面均为主平面面均为主平面面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为三个互相垂直的主应力分别记为三个互相垂直的主应力分别记为三个互相垂直的主应力分别记为 1 1,2 2,3 3 且规定且规定且规定且规定按代数按代数按代数按代数值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列,即
14、即即即 1 1 2 2 3 3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类（The classification of stresses-stateThe classification of stresses-state）1.1.空间应力状态空间应力状态空间应力状态空间应力状态（TriaxialTriaxial stress-state or three-dimensional stress-st
15、ate or three-dimensional stress-state stress-state）三个主应力三个主应力三个主应力三个主应力 1 1,2 2,3 3 均不等于零均不等于零均不等于零均不等于零2.2.平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-stateBiaxial stress-state or plane stress-state）三个主应力三个主应力三个主应力三个主应力 1 1,2 2,3 3 中有两个不等于零中有两个不等于零中有两个不等于零中有两个不等于零3.3.单向应力状态单向应力状态单
16、向应力状态单向应力状态（UniaxialUniaxial stress-state stress-state oror simple stress-statesimple stress-state）三个主应力三个主应力三个主应力三个主应力 1 1,2 2,3 3 中只有一个不等于零中只有一个不等于零中只有一个不等于零中只有一个不等于零 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-stat
17、e)例题例题例题例题 1 1 画出如图所示梁画出如图所示梁画出如图所示梁画出如图所示梁S S截面的应力状态单元体截面的应力状态单元体截面的应力状态单元体截面的应力状态单元体.5 54 43 32 21 1Fl/2l/2Fl/2l/2S平面平面平面平面(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)S S平面平面平面平面25 54 43 32 21 15 54 43 32 21 11 x x1 1 x x1 1 x x2 2 x x2 2 2 2 2 23 3 3 3 3(
18、Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)al lS SF例题例题例题例题 2 2 画出如图所示梁画出如图所示梁画出如图所示梁画出如图所示梁 危危危危险截面危险点的应力状态单险截面危险点的应力状态单险截面危险点的应力状态单险截面危险点的应力状态单元体元体元体元体 x xzy4 43 32 21 1zy4 43 32 21 1FSMMz zT T(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-
19、state and strain-state)1 12 2yxzzy4 43 32 21 1FSMMz zT Tx xzy4 43 32 21 13 3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例例例例题题3 3 分析薄壁分析薄壁分析薄壁分析薄壁圆圆筒受内筒受内筒受内筒受内压时压时的的的的应应力状力状力状力状态态pDyz 薄壁圆筒的横截面面积薄壁圆筒的横截面面积薄壁圆筒的横截面面积薄壁圆筒的横截面面积pD D n nn n（1 1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为）沿
20、圆筒轴线作用于筒底的总压力为）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F Fmmmmn nn n(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)直径平面直径平面直径平面直径平面（2 2）假想用一直径平面将圆筒截分为二）假想用一直径平面将圆筒截分为二）假想用一直径平面将圆筒截分为二）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象并取下半环为研究对象并取下半环为研究对象并取下半环为研究对象p yFNFNd (Analysis of stress-s
21、tate and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)平面应力状态的普遍形式如图所示平面应力状态的普遍形式如图所示平面应力状态的普遍形式如图所示平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有单元体上有单元体上有单元体上有 x x,xyxy 和和和和 y y,yxyx7-2 平面应力状态分析平面应力状态分析-解析法解析法（Analysis of plane stress-state）x x xyz y y xyxy yxyx x x y y xyxy yxyx(Analysis of stress-state and st
22、rain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力（Stresses on an oblique sectionStresses on an oblique section）1.1.1.1.截面法截面法截面法截面法（Section methodSection method）假想地沿斜截面假想地沿斜截面假想地沿斜截面假想地沿斜截面 e e-f f 将单元体截开将单元体截开将单元体截开将单元体截开,留下左边部分的单体元留下左边部分的单体元留下左边部分的单体元留下左边部分
23、的单体元 eafeaf 作为研究对象作为研究对象作为研究对象作为研究对象xya x x x x yxyx xyxye ef f n nef fa x x xyxy yxyx y y n n(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)xya x x x x yxyx xyxye ef f n n （1 1 1 1）由）由）由）由x x轴转到外法线轴转到外法线轴转到外法线轴转到外法线n n,逆时针转向时逆时针转向时逆时针转向时逆时针转向时 为正为正为正为正 （2 2 2
24、2）正应力）正应力）正应力）正应力仍规定仍规定仍规定仍规定拉应力拉应力拉应力拉应力 为正为正为正为正 （3 3 3 3）切应力）切应力）切应力）切应力对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩,顺时针转顺时针转顺时针转顺时针转 为正为正为正为正2.2.2.2.符号的确定符号的确定符号的确定符号的确定（Sign conventionSign convention）ef fa x x xyxy yxyx y y n n t t(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state
25、 and strain-state)设斜截面的面积为设斜截面的面积为设斜截面的面积为设斜截面的面积为d dA A,a a-e e的的的的面积为面积为面积为面积为d dA Acoscos ,a a-f f 的的的的面积为面积为面积为面积为d dA Asinsin ef fa x x xyxy yxyx y y n n ef fa d dA Ad dA Asinsin d dA Acoscos 3.3.3.3.任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane)The stress acting
26、on any inclined plane)对研究对象列对研究对象列对研究对象列对研究对象列 n n和和和和 t t 方向的方向的方向的方向的平衡方程得平衡方程得平衡方程得平衡方程得t t(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得不难看出不难看出不难看出不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数即两相互垂直面上的正应力
27、之和保持一个常数即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)二、最大正应力及方位二、最大正应力及方位二、最大正应力及方位二、最大正应力及方位（Maximum normal stress and its directionMaximum normal stress and its direction）1.1.1.1.最大正应力的方位最大正应力的方位最大正应力的方位最大正应力的方位（The The direction of maxi
28、mum normal stressdirection of maximum normal stress ）令令令令 0 0 0 0 和和和和 0 0 0 0+90+90+90+90确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力一个是最大正应力一个是最大正应力一个是最大正应力所在的平面所在的平面所在的平面所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面另一个是最小正应力所在的平面另一个是最小正应力所在的平面另一个是最小正应力所在的平面.(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of
29、 stress-state and strain-state)2.2.2.2.最大正应力最大正应力最大正应力最大正应力（Maximum normal stressMaximum normal stress）将将将将 0 0 0 0和和和和 0 0+90+90代入公式代入公式代入公式代入公式 得到得到得到得到 maxmax和和和和 minmin (主应力）主应力）主应力）主应力）下面还必须进一步判断下面还必须进一步判断下面还必须进一步判断下面还必须进一步判断 0 0是是是是 x x与哪一个主应力间的夹角与哪一个主应力间的夹角与哪一个主应力间的夹角与哪一个主应力间的夹角(Analysis of s
30、tress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（1 1 1 1）当）当）当）当 x x y y 时时时时,0 0 是是是是 x x与与与与 maxmax之间的夹角之间的夹角之间的夹角之间的夹角 （2 2）当当当当 x x y y 时时时时,0 0 是是是是 x x与与与与 minmin之间的夹角之间的夹角之间的夹角之间的夹角 （3 3）当当当当 x x=y y 时时时时,0 0 =45=45=45=45,主应力的方向可由单元体上切应主应力的方向可由单元体上切应主应力的方向可由单元体上切应主应力的方
31、向可由单元体上切应力情况直观判断出来力情况直观判断出来力情况直观判断出来力情况直观判断出来 则确定主应力方向的具体规则如下则确定主应力方向的具体规则如下则确定主应力方向的具体规则如下则确定主应力方向的具体规则如下 若约定若约定若约定若约定|0 0|45 45即即即即 0 0 取值在取值在取值在取值在4545范围内范围内范围内范围内(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)二、最大切应力及方位二、最大切应力及方位二、最大切应力及方位二、最大切应力及方位(Maximum
32、 shearing stress and its direction)Maximum shearing stress and its direction)1.1.1.1.最大切应力的方位最大切应力的方位最大切应力的方位最大切应力的方位（The The direction of maximum shearing direction of maximum shearing stress stress ）令令令令 1 1 1 1 和和和和 1 1 1 1+9090确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力一个是最大切应力一个是最大切应力
33、一个是最大切应力所在的平面所在的平面所在的平面所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面另一个是最小切应力所在的平面另一个是最小切应力所在的平面另一个是最小切应力所在的平面.(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)2.2.2.2.最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力（Maximum shearing stressMaximum shearing stress ）将将将将 1 1 1 1和和和和 1 1+90+90代入公式代入公式代入公式代入公式 得到得到得到得到
34、 maxmax和和和和 minmin 比较比较比较比较和和和和可见可见可见可见(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)例题例题例题例题4 4 4 4 简支梁如图所示简支梁如图所示简支梁如图所示简支梁如图所示.已知已知已知已知 mm-mm 截面上截面上截面上截面上A A点的弯曲正应力和点的弯曲正应力和点的弯曲正应力和点的弯曲正应力和切应力分别为切应力分别为切应力分别为切应力分别为 =-70=-70=-70=-70MPaMPa,=50=50=50=50MPa.MPa.
35、确定确定确定确定A A点的主应力及主平面点的主应力及主平面点的主应力及主平面点的主应力及主平面的方位的方位的方位的方位.A mmmmal A 解：解：解：解：把从把从把从把从A A点处截取的单元体放大如图点处截取的单元体放大如图点处截取的单元体放大如图点处截取的单元体放大如图(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)因为因为因为因为 x x y y ，所以所以所以所以 0 0 0 0=27.527.5与与与与 minmin对应对应对应对应xA A 0 0 0 0 1
36、 1 3 3 1 1 3 3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)x x y y xyxy例题例题例题例题5 5 图示单元体图示单元体图示单元体图示单元体,已知已知已知已知 x x =-40=-40=-40=-40MPaMPa,y y =60=60=60=60MPaMPa,xyxy=-=-=-=-50MPa50MPa.试求试求试求试求e e-f f截面上的应力情截面上的应力情截面上的应力情截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位况及主应力和主单元体的方位况及主应
37、力和主单元体的方位况及主应力和主单元体的方位.n3030ef解解解解:（1 1 1 1）求求求求 e e-f f 截面上的应力截面上的应力截面上的应力截面上的应力(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（2 2 2 2）求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位因为因为因为因为 x x 0 0例题例题例题例题6 6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位求平面纯剪切应力
38、状态的主应力及主平面方位求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.xyxy所以所以所以所以 0 0 0 0=-=-=-=-45454545与与与与 maxmax 对应对应对应对应45 （2 2）求主应力）求主应力）求主应力）求主应力 1 1=,2 2=0,=0,3 3=-=-1 3 3(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)7-3 平面应力状态分析平面应力状态分析-图解法图解法 (Analysis of plane stress-state with graphi
39、cal means)一、莫尔圆一、莫尔圆一、莫尔圆一、莫尔圆（Mohrs circleMohrs circle）将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去然后相加便可消去然后相加便可消去然后相加便可消去 ,得得得得(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)因为因为因为因为 x x,y y,xyxy 皆
40、为已知量皆为已知量皆为已知量皆为已知量,所以上式是一个以所以上式是一个以所以上式是一个以所以上式是一个以 ,为变量为变量为变量为变量的的的的圆周方程圆周方程圆周方程圆周方程.当斜截面随方位角当斜截面随方位角当斜截面随方位角当斜截面随方位角 变化时变化时变化时变化时,其上的应力其上的应力其上的应力其上的应力 ,在在在在 -直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆.1.1.圆心的坐标圆心的坐标圆心的坐标圆心的坐标 （Coordinate of circle centerCoordinate of circle center）2.2.圆
41、的半径圆的半径圆的半径圆的半径（Radius of circleRadius of circle）此圆习惯上称为此圆习惯上称为此圆习惯上称为此圆习惯上称为 应力圆应力圆应力圆应力圆（plane stress circleplane stress circle）,或称为或称为或称为或称为莫莫莫莫尔圆尔圆尔圆尔圆（Mohrs circleMohrs circle）(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（1 1）建）建）建）建 -坐标系坐标系坐标系坐标系,选定比例尺选
42、定比例尺选定比例尺选定比例尺 二、应力圆作法二、应力圆作法二、应力圆作法二、应力圆作法（The method for drawing a stress circleThe method for drawing a stress circle）1.1.1.1.步骤步骤步骤步骤（StepsSteps）xy x x x x yxyx xyxy y y y y(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)D xyO （2 2）量取）量取）量取）量取OA=OA=x xADAD =
43、xyxy得得得得D D点点点点xy x x x x yxyx xyxy xAOB=OB=y y （3 3）量取）量取）量取）量取BD=BD=yxyx得得得得DD点点点点 yB B yxD （4 4）连接）连接）连接）连接 DDDD两点的直线与两点的直线与两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于轴相交于轴相交于C C 点点点点 （5 5）以）以）以）以C C为圆心为圆心为圆心为圆心,CDCD 为半径作圆为半径作圆为半径作圆为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的该圆就是相应于该单元体的该圆就是相应于该单元体的该圆就是相应于该单元体的应力圆应力圆应力圆应力圆C C(Analysis of stres
44、s-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（1 1）该圆的圆心）该圆的圆心）该圆的圆心）该圆的圆心C C点到点到点到点到 坐坐坐坐标原点的标原点的标原点的标原点的 距离为距离为距离为距离为 （2 2）该圆半径为）该圆半径为）该圆半径为）该圆半径为D xyO xA yB B yxDC C2.2.2.2.证明证明证明证明(Prove)(Prove)(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-
45、state)三、应力圆的应用三、应力圆的应用三、应力圆的应用三、应力圆的应用（Application of stress-circleApplication of stress-circle）1.1.1.1.求单元体上任一求单元体上任一求单元体上任一求单元体上任一截面上的应力截面上的应力截面上的应力截面上的应力（Determine the stresses on Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circleany inclined plane by using stress-circle）从应力圆的半径从
46、应力圆的半径从应力圆的半径从应力圆的半径 CD CD 按方位角按方位角按方位角按方位角 的转向转动的转向转动的转向转动的转向转动2 2 得到半径得到半径得到半径得到半径CE.CE.圆周上圆周上圆周上圆周上 E E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力和切应力和切应力和切应力 .D xyO xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 xya x x x x yxyx xyxye ef f n n(Analysis of stress-state and strain-state)(
47、Analysis of stress-state and strain-state)证明：证明：证明：证明：(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)（1 1）点面之间的对应关系）点面之间的对应关系）点面之间的对应关系）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力,必对应必对应必对应必对应于应力圆上某一点的坐标于应力圆上某一点的坐标于应力圆上某一点的坐标于应力圆上某一点的坐标.说说说说 明明明明AB （2 2）
48、夹角关系）夹角关系）夹角关系）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍上对应两截面夹角的两倍上对应两截面夹角的两倍上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致两者的转向一致两者的转向一致两者的转向一致.2 2 O OC CB BA(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)2.2.2.2.求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面
49、位置求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置 （Determine principle stress Determine principle stress and the direction of principle and the direction of principle plane by using stress circleplane by using stress circle）（1 1 1 1）主应力数值）主应力数值）主应力数值）主应力数值 A A1 1 和和和和 B B1 1 两点为与主平面两点为与主平面两点为与主平面两点为与主平面对应的点对应的点对应的点对应的点,其横
50、坐标其横坐标其横坐标其横坐标 为主应力为主应力为主应力为主应力 1 1,2 2 1 1 2D xyO xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 B1A1(Analysis of stress-state and strain-state)(Analysis of stress-state and strain-state)2 2 0 0D xyO xA yB B yxDC C 1 1 2A1B1（2 2）主平面方位）主平面方位）主平面方位）主平面方位 由由由由 CDCD顺时针转顺时针转顺时针转顺时针转 2 2 0 0 到到到到CACA1 1 所以单元体上从所以单元体上从所以单元