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1、3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程（第二课时）（第二课时）双曲线的定义双曲线的定义文字语言：平面内到文字语言：平面内到两个定点两个定点F1、F2的的距离的差距离的差的绝对值的绝对值等于等于非零常数非零常数(小于小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线的点的轨迹叫双曲线.两个定点两个定点叫做双曲线的叫做双曲线的焦点；焦点；两焦点间的距离两焦点间的距离叫做双曲线的叫做双曲线的焦距焦距，记为，记为2c.F2F1M符号语言：符号语言：以以F1或或F2为端点的两条射线为端点的两条射线.M线段线段F1F2的的垂直平分线垂直平分线思考思考:定义中为什么强调定义中为什么强调距离差的绝对值距离差的绝对
2、值为常数？为常数？设设M(x,y)为双曲线上任一点为双曲线上任一点,双曲线的焦双曲线的焦距为距为2c(c0),那么焦点那么焦点F1,F2的坐标分别为的坐标分别为 F1(-c,0),F2(c,0),又设又设|MF1|-|MF2|=2a(0ab,aa0,cb0)哪个哪个系数为正系数为正，焦点焦点就在哪个轴上就在哪个轴上，即谁正在谁上（，即谁正在谁上（ac始终共线始终共线）焦点位置未知焦点位置未知(或过两点或过两点)，可设为，可设为mx2+ny2=1(mn0,b0,c2=a2+b2 a,b,c中中c最大最大ab0,a2=b2+c2 a,b,c中中a最大最大双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间
3、的区别与联系|MF1|MF2|=2a(ac)F1(0,c),F2(0,c)F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)使使A、B两点在两点在 x 轴上轴上,并且点并且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合.分析分析:A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B地地晚晚2s,A地距爆炸点比地距爆炸点比B地地距距爆炸点爆炸点远远680m.|AB|680m,爆炸点在以爆炸点在以A、B为焦点的双曲线靠近为焦点的双曲线靠近B处的一支上处的一支上.例例2.已知已知A,B两地相距两地相距800m,在在A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B地晚地晚2s,且声速为且声速为340m/s,求
4、炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程.解：如图所示，建立直角坐标系解：如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为(x,y),则则即即2a=680，a=340.炮弹爆炸点的轨迹方程为炮弹爆炸点的轨迹方程为ABMOxy探究探究 如图如图,点点A,B的坐标分别是的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线直线AM,BM相交于点相交于点M,且它们的且它们的斜率之积是斜率之积是 ,试求点试求点M的轨迹方程的轨迹方程,并由点并由点M的轨迹方程判断轨迹的形式的轨迹方程判断轨迹的形式,与与3.1例例3比较比较,你有什么发现你有什么发现?解：解：由方程可知，点由方程可知，点M的轨迹是
5、除去的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在两点且焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线.【例例3】xyBMOA解：解：由方程可知，点由方程可知，点M的轨迹是除去的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在两点且焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆.1.(P108页例页例3)2.ABMOxyxyBMOA点点M的轨迹是除去的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在两点且焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆.点点M的轨迹是除去的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在两点且焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线.对比对比发现：发现：1.若点若点A,B是椭圆是椭圆C:的左右的左右顶点顶点，点，点P是椭圆
6、是椭圆C上除上除A,B以外以外任意一点，则任意一点，则推论推论1.若点若点A,B是椭圆是椭圆C:上任意关于椭圆中心对称的两点，上任意关于椭圆中心对称的两点，点点P是椭圆是椭圆C上除上除A,B以外任意一点，则以外任意一点，则推论推论2.若点若点A,B是椭圆是椭圆C:上任意关于椭圆中心对称的两点，上任意关于椭圆中心对称的两点，点点P是椭圆是椭圆C上除上除A,B以外任意一点，则以外任意一点，则2.(中点弦中点弦)若若A,B是直线是直线l(斜率存在且不为斜率存在且不为0)与椭圆与椭圆C:的两个的两个交点，点交点，点P是是AB的中点，则的中点，则与椭圆有关的结论：与椭圆有关的结论：1.若点若点A,B是双
7、曲线是双曲线C:的左右的左右顶点顶点，点，点P是双曲线是双曲线C上除上除A,B以外任意一点，则以外任意一点，则推论推论1.若点若点A,B是双曲线是双曲线C:上任意关于双曲线中心对称上任意关于双曲线中心对称的两点，点的两点，点P是双曲线是双曲线C上除上除A,B以外任意一点，则以外任意一点，则推论推论2.若点若点A,B是双曲线是双曲线C:上任意关于双曲线中心对称上任意关于双曲线中心对称的两点，点的两点，点P是双曲线是双曲线C上除上除A,B以外任意一点，则以外任意一点，则2.(中点弦中点弦)若若A,B是直线是直线l(斜率存在且不为斜率存在且不为0)与双曲线与双曲线C:的的两个交点，点两个交点，点P是
8、是AB的中点，则的中点，则与双曲线有关的结论：与双曲线有关的结论：双曲线的焦点三双曲线的焦点三角形面积公式角形面积公式解得解得证明：证明：yOF1F2Px(x|C1C2|=6.点M在以C1,C2为焦点的椭圆上，2a=10，2c=6，b2=a2c2=259=16.椭圆椭圆双曲线双曲线定定 义义标准标准方程方程(焦点位置焦点位置)区别区别a,b,c的关系的关系a2=b2+c2(a最大最大)c2=a2+b2(c最大最大)一般形式一般形式|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|F1F2|x轴轴:y轴轴:x轴轴:y轴轴:分母大小分母大小定焦点位置定焦点位置以以大小大小定定a,b(a大大b小小)系数正负系数正负定焦点位置定焦点位置以以正负正负定定a,b(a正正b负负)