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1、学科网（北京）股份有限公司机密启用前（新教材卷）机密启用前（新教材卷）华大新高考联盟华大新高考联盟 2024 届高三届高三 11 月教学质量测评数学月教学质量测评数学本试题卷共本试题卷共 4 页，共页，共 22 题题.满分满分 150，考试时间，考试时间 120 分钟祝考试顺利注意事项：分钟祝考试顺利注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校答题前，考生务必将自己的学校班级班级姓名姓名准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答
2、题卷上的指定位置.2.选择题的作答：选出答案后，用选择题的作答：选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效答在试题卷上无效.3.非选择题的作答；用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内非选择题的作答；用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来考试结束，监考人员将答
3、题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2i212i（）A.172B.5C.6D.2 22.计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制.一个十进制数*n nN可以表示成二进制数0122,ka a aakN，即1001222kkknaaa，其中01a，当1k时，0,1ka.若记012,ka a aa中 1 的个数为 f n，则满足8k 且 4f n 的n的个数为（）A.35B.28C.70 D.
4、563.已知双曲线22:14xyCm的焦距为 6，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A.2B.5C.6D.2 24.已知向量,2,3,1ab，若a与b的夹角的余弦值为3 1010，则实数的值为（）A.83B.43C.3D.3学科网（北京）股份有限公司5.若函数 2e4e5xxf x 在,m上单调递增，则实数m的取值范围为（）A.ln2,B.ln2,C.2e,D.2e,6.已知曲线32:3C yxx的图象是中心对称图形，其在点A处的切线l与直线90 xy相互垂直，则点A到曲线C的对称中心的距离为（）A.4 3B.2 3C.4 2D.2 27.已知1tan1tantan6,sin cos3cos
5、 sin22tan2，则sin cos（）A.12B.16C.13D.238.已知函数 22,4,1632113,4,xxf xxxx则对于任意正数，下列说法一定正确的是（）A.ln1ff B.ln1ffC.22ff D.22ff二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知集合20,153xMxNxxx，则下列说法正确的是（）A.12MNxx B.3
6、RMx x 或2x C.35MNxxD.31RMNxx 10.已知在正方体1111ABCDABC D中，点E是线段1AD的中点，则下列说法错误的是（）A.直线EB与直线1BC所成的角为60B.直线EB与直线11C D异面学科网（北京）股份有限公司C.点E平面1ABCD.直线EB平面11B DC11.已知圆C过点 4,2,2,0,6,0，点M在线段04yxx 上，过点M作圆C的两条切线，切点分别为,A B，以AB为直径作圆C，则下列说法正确的是（）A.圆C的方程为22(4)2xy，B.四边形ACBM面积的最小值为 4C.圆C的面积的最小值为D.圆C的面积的最大值为312.已知椭圆2222:1(0
7、)xyCabab的右焦点为1111,F M x yNxy在椭圆C上但不在坐标轴上，若2,2FMFA FNFB ，且OAOB ，则椭圆C的离心率的值可以是（）A.12 B.22 C.32 D.910三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用，已知某批产品的质量指标X服从正态分布15,9N，其中6,18X 的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取 1 件，抽到“可用产品”的概率约为_.参考数据：若2,XN，则0.6827,220.9545,330.9973PXPXPX.14.
8、已知某圆台的上下底面积分别为4,36，母线长为 5，则该圆台的体积为_.15.已知函数 sincos(0)f xxx的图象在0,3上有且仅有 3 条对称轴，则实数的取值范围为_.16.已知数列 na满足：当n为奇数时，1()nnan，其中57350，且21243niiinna，则当na取得最小值时，n _.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.学科网（北京）股份有限公司17.（10 分）已知在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且,22cos1cCaB.（1）求B的值；（2）
9、已知点M在线段AB上，且3ABAM，求cos2BCM的值.18.（12 分）近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间，某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间40,90内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了若干名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示.（1）求 a 的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数；（2）现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在70,80)和80,90的中学生中抽取 12 人，再从这 12人中随机抽取 3 人，求至多有 1 人体
10、育活动时间超过80min的概率；（3）以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取 4 人，记日均体育活动时间在60,80的人数为X，求 X 的分布列以及数学期望.19.（12 分）如图所示，在四棱锥SABCD中，90,ADCBCDSASDSB，点E为线段AD的中点，且22ADSEBCCD.（1）求证：SEAC；学科网（北京）股份有限公司（2）已知点F为线段SE的中点，点G在线段BC上（不含端点位置），若直线FG与平面SAB所成的角的正切值为2626求BGBC的值.20.（12 分）已知数列 na的前n项和为nS，其中32,14nnSaS.（1）求数列 na的通项公式；（2）若310nnbn
11、a，求数列 nb的前n项和为nT.21.（12 分）已知抛物线2:4C yx的焦点为F，直线1l过点F且与抛物线C交于,M N两点，直线2l过点F且与抛物线C交于,P Q两点.（1）若点3,0A，且AMN的面积为4 5，求直线1l的斜率；（2）若点,M Q在第一象限，直线MP过点,0，比较14MPFNQFSS与的大小关系.并说明理由.22.（12 分）已知函数 lnmf xxmxx.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）已知*kN，若,0,a b，当ab时，22k abmmmaf bf ambababab恒成立，求k的最大值.华大新高考联盟华大新高考联盟 2024 届高三届高三 11 月教学质
12、量测评月教学质量测评数学参考答案和评分标准数学参考答案和评分标准一一选择题选择题1.【答案】B【命题意图】本题考查复数的四则运算复数的概念，考查数学运算逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，2i 1 2i2i222i12i12i 1 2i，故2i2512i，故选 B.2.【答案】D学科网（北京）股份有限公司【命题意图】本题考查排列组合数学情境问题，考查数学运算逻辑推理数学建模的核心素养.【解析】因为01a，故在128,a aa中只需有 3 个 1 即可，故所求个数为38C56，故选 D.3.【答案】B【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查数学运算直观想象的核心素养.【解析】依题意，49m，
13、则5m，故C的渐近线方程为520 xy，故所求距离为3553d，故选 B.4.【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算平面向量的数量积，考查数学运算逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，2323 10cos,10|410a ba ba b，解得83，故选 A.5.【答案】B【命题意图】本题考查复合函数函数的单调性，考查数学运算逻辑推理直观想象的核心素养.【解析】令e0 xt，则原函数化为245ytt，其在2,上单调递增，故 f x在ln2,上单调递增，则ln2m，故选 B.6.【答案】D【命题意图】本题考查导数的几何意义两直线的位置关系，考查数学运算逻辑推理直观想象的核心素养.【解析】易
14、知直线l的斜率为 9，设切点00,xy，而236yxx，故200369xx，解得01x 或03x，故切点A坐标为1,4 或3,0，故点A到曲线C的对称中心的距离为22(3 1)(04)2 22，故选 D.7.【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换，考查数学运算逻辑推理数据分析的核心素养.【解析】依题意，cossin2cos122tan,1tantan2sin2tansincos222学科网（北京）股份有限公司coscossinsin122coscoscos2，故2cos16sincos，则sin1sin coscos sin3，而sin cos3cos sin，联立，解得1sin cos2
15、，故选A.8.【答案】C【命题意图】本题考查分段函数的图象与性质，考查数学运算逻辑推理直观想象数据分析的核心素养.【解析】依题意，f x在,4上单调递增，在4,16上单调递减，在16,上单调递增；易知ln1，取1，可知ln1ff，取e，可知ln1ff，取2e，可知ln1ff，故 AB 错误；当02 时，24 2，故22ff，当24时，24216，故22ff，当4时，2216，故22ff；综上，22ff恒成立，故 C 正确，D错误，故选 C.二二多选题多选题9.【答案】AC【命题意图】本题考查不等式的解法集合的表示集合的运算，考查数学运算逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，23032Mx xxx
16、x，故12,3RMNxxMx x 或2,35,31RxMNxxMNxx，故选 AC.10.【答案】ABC【命题意图】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算逻辑推理直观想象的核心素养.【解析】因为11,BABD AEED，故1EBAD，而1BC1AD，故1EBBC，故 A 错误；直线EB与直线11C D均在平面11ABC D上，故 B 错误；平面1ABC就是平面11ABC D，故点E平面1ABC，故 C 错误；因为平面11B DC平面1ABD，且直线EB 平面1ABD，故直线EB平面11B DC，故 D 正确；故选ABC.11.【答案】BD【命题意图】本题考查圆的方程直线与圆的位置关系，考查数
17、学运算逻辑推理直观想象的核心素养.学科网（北京）股份有限公司【解析】依题意，圆C圆心在直线4x 上，设4,Cc，则2222(42)(44)(2)cc，解得0c，圆22:(4)4Cxy，故 A 错误；四边形ACBM面积22|4SMAACMC，而min|2 2MC，故min4S，故 B 正确；结合图象的对称性可知，当M在线段04yxx 的中点时，圆C的面积最小，为2，故 C 错误；当M在线段04yxx 的两个端点时，圆C的面积最大，为3，故 D 正确；故选 BD.12.【答案】CD【命题意图】本题考查椭圆的方程椭圆的性质，考查数学运算逻辑推理直观想象的核心素养.【解析 1】设直线:MN ykx，其
18、中0k，联立2222,1,ykxxyab解得222abxba k，不妨设222222222222,abkababkabMNba kba kba kba k，则222222,222cabkabAba kba k，222222,222cabkabBba kba k，而OAOB ，故222222222222110444ca bk a bba kba k，整理得22221021eke，故212e，观察可知，故选 CD.【解析 2】依题意，可得1111,2222xc ycxyAB，又有OAOB ，故0OA OB ，即22211044cxy，22211xyc；又有2211221xyab，即圆222xyc与
19、椭圆C有公共点且公共点不在坐标轴上，故acb，即222cac，故212,122ee，故选 CD.【解析 3】依题意，2,2FMFA FNFB ，故,A B分别是线段,FM FN的中点，故OA,FN OBFM；又有OAOB ，故,0FNFM OMON，则OMONOFc；因为,OMb a，故bc，即222acc，得212,122ee，故选 CD.三三填空题填空题13.【答案】0.84学科网（北京）股份有限公司【命题意图】本题考查正态分布及其应用，考查数学运算直观想象数学建模的核心素养.【解析】依题意，215,3XN，故0.68270.997361830.842PXPX.14.【答案】52【命题意图
20、】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算直观想象数学建模的核心素养.【解析】易知该圆台的上下底面的半径分别为 2，6，故圆台的高为 3，则圆台的体积1436123523V.15.【答案】27 39,44【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算逻辑推理直观想象的核心素养.【解析】依题意，2sin4f xx，令42xkkZ，解得4kxkZ，则23434，解得273944，故实数的取值范围为27 39,44.16.【答案】5【命题意图】本题考查数列的性质，考查数学运算逻辑推理数据分析的核心素养.【解析】因为21243niiinna，故当1n 时，244a，故21a，当2n时，1
21、21243(1)(1)niiinna，则11122244462nniiiiniinnaaa，故222313nnan；而当n为奇数时，1()nnan，即12121nnan，而57350，故7553，则112121212121212121nnnnnnnnaannnn.令 1121212210nnnf nnnn，得122n；而752231511211,1,2,3,5353212222221 当2n时，2121nnaa，当3n时，2121nnaa，即奇数项中5a最小；而25252593naa，所以数列 na的学科网（北京）股份有限公司最小项为255a，故当na取得最小值时，5n.四四解答题解答题17.
22、【命题意图】本题考查正弦定理余弦定理三角恒等变换，考查数学运算逻辑推理直观想象的核心素养.【解析】（1）依题意，222bca，而2 cosaBac，由余弦定理，即2222,2acbaacac故20acac，故2ac，代入2cos1caB中，得1cos2B，而0B，故3B；（2）不妨设3ABc，则31,2,cos2AMBMBCABB，在BCM中，由余弦定理得，222132cos4CMBCBMBC BMB，由正弦定理得，sinsinCMBMBBCM，故sin2 3sin13BMBBCMCM，21211cos21 2sin1 21313BCMBCM .18.【命题意图】本题考查频率分布直方图样本的数
23、字特征离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查数学运算逻辑推理数学建模的核心素养.【解析】（1）依题意，100.350.30.1 0.051a，解得0.02a；所求平均数为45 0.255 0.3565 0.375 0.1 85 0.0559.5；（2）从日均体育活动时间在70,80中抽取 8 人，日均体育活动时间在80,90中抽取 4 人，故所求概率321884312CC C42C55P；（3）依题意，24,5XB，故4314381232160,1C562555625P XP X，22323442321623962C,3C5562555625P XP X ，学科网（北京）股份有限公司4216
24、45625P X；X01234P816252166252166259662516625故28455E X.19.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系向量法求空间角，考查数学运算逻辑推理直观想象的核心素养.【解析】（1）连接BE，如图所示.因为90ADCBCD，故BCAD，因为12BCADDE，故四边形BCDE为矩形，不妨设2BECD；SASD且点E为线段AD的中点，SEAD，所以222 5SDSEDE，故2 5SBSD；故222SEBESB，即SEBE；又ADBEE，故SE 平面ABCD；而AC 平面ABCD，故SEAC；（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，ES为z轴建立如图所示的空间
25、直角坐标系，则不妨设4AD，则2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,4ABCS，所以2,2,0,0,2,4ABSB ，设平面SAB的法向量为111,nx y z，则0,0,n ABn SB 即1111220,240,xyyz取2,2,1;n 设0,2BGt，则,2,0Gt，而0,0,2F，所以,2,2GFt，学科网（北京）股份有限公司设直线FG与平面SAB所成的角为26,tan26，则22423sincos,9449tGF nt，化简得2112440tt，解得2211tt舍去）；故111BGBC.20.【命题意图】本题考查数列的基本运算错位相减法，考查数学运算逻辑推理的核心素养.【解析】
26、（1）当2n时，112,2nnnnSaSa，两式相减可得12nnaa；而当1n 时，112Sa，得1a；3247S ，故714，解得2，则12a，故2nna；（2）依题意，3102nnbn，故1237 24 21 23102nnTn ，234127 24 21 231323102nnnTnn ，两式相减可得12313 23 23 23 2310220nnnTn ，即12 1 233102201 2nnnTn，故1313226nnTn.21.【命题意图】本题考查抛物线的方程直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算逻辑推理直观想象的核心素养.【解析】设11223344,M x yN xyP xyQ
27、xy；（1）设直线1:1lxny，联立21,4,xnyyx得2440yny，216160n；则12124,4yyn y y；故2121216164 52AMNSyyn，解得2n ，故直线1l的斜率为12；学科网（北京）股份有限公司（2）设直线MP的方程为xmy，联立直线MP与抛物线的方程，2,4,xmyyx消去x得2440ymy，故134y y；由（1）可知，214yy，同理可得434yy，故2213213241sin2116sin2MPFNQFMF PFMFPMF PFy yy ySSNF QFy yNF QFNFQ，显然1，故21144MPFNQFSS，当且仅当12时等号成立.22.【命题
28、立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算逻辑推理的核心素养.【解析】（1）依题意，22210,mmxxmxfxmxxx，若0m，则 10,fxf xx在0,上单调递增；若0m，则2140m，令 0fx，解得2212114114,22mmxxmm ，其中12121,1xxx xm 若0m，则120 xx，故当21140,2mxm 时，0fx，当2114,2mxm 时，0fx，故 f x在21140,2mm 上单调递减，在2114,2mm 上单调递增；若0m，则210 xx，故当21140,2mxm 时，0fx，当2114,2mxm 时，0fx，故 f x在21140,2mm 上单调递增
29、，在2114,2mm 上单调递减；综上所述，当0m 时，f x在0,上单调递增；当0m 时，故 f x在21140,2mm 上单调学科网（北京）股份有限公司递减，在2114,2mm 上单调递增；当0m 时，f x在21140,2mm 上单调递增，在2114,2mm 上单调递减；（2）依题意，2lnln2k abmmmmmabmbamambbbaaabab，即2ln2k abababab，即1ln112akabbaabb，即1112lnaaabkabbb恒成立，令,(1)attb，有221112ln2tkttt 恒成立，得1112ln2tktt恒成立，所以1ln01tktt恒成立令 1ln1tg tktt，有 22222211212(1)(1)(1)(1)tktkttg tktttttt，（注：10g）（i）当 10g时，即2k 时，易知方程22110tkt 有一根1t大于 1，一根2t小于 1，所以 g t在11,t上单调递增，故有 110g tg，不符；（ii）当02k 时，有2222(1)4(1)(1)0kttttt，所以 0g t，当且仅当1t 时等号成立，从而 g t在1,上单调递减，故当1t 时，恒有 10g tg，符合.由i ii可知，正实数k的取值范围为02k，因此，k的最大值为 2.