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1、素养主题(一)数学方法在物体平衡问题中的应用高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。很多物理试题的求解过程是将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论的过程。物理解题运用的数学方法通常包括几何(图形辅助)法、 图像法、函数法、方程(组)法、递推法、微元法、比例法、极值法、数列法等。在物体平衡问题中常用的是几何(图形辅助)法、图像法、函数法、极值法、相似三角形法等。【要点深化研析】(一)极值法数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法、用不等式的性质求极值法等。【典例
2、1】(多选)物体放置在水平地面上，物体与地面之间的动摩擦因数为，物体质量为m，重力加速度为g，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用拉力F的可能值为()Amg BmgCmg Dmg思维点拨物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可因夹角的不同而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再进行分析。解析：该题利用如下三角函数求极值的方法：ya cos b sin 令sin ，cos 则有y(sin cos cos sin )sin ()所以当时，y有最大值，且ymax。设拉力F与水平方向的夹角为，据题意可列平衡方程式，即F cos Ff0FNF sin mgFfFN由联立解得F，其中
3、tan ，而sin ()的极大值也是最大值为1，所以Fmg，判断可知C、D选项正确。答案：CD (二)图像法【典例2】(多选)用细绳AO、BO悬挂一重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上。悬点A固定不动，将悬点B从图中所示位置缓慢移动到C点的过程中，则下列说法正确的是()AOA绳和OB绳对O点拉力的合力先减小后增大BBO绳对O点的拉力FB先减小后增大CAO对O点的拉力FA逐渐减小DOA绳和OB绳对半圆形支架拉力的合力逐渐增大思维点拨本题是动态平衡问题，求解本题的关键有两点：一是要理解“缓慢”的意义，完成由物理问题向几何问题的转换，画出对应的矢量三角形；二是利用三角形的性质来讨
4、论力的变化问题。解析：依据题意分析可知，在B点沿圆弧BC由B移动到C的过程中，虽然绳BO对O点的拉力FB、AO对O点的拉力FA都发生变化，但两个拉力的合力F却保持不变(三力作用下物体处于平衡状态，任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反，即FG。依据题意作出FA、FB及其合力F的矢量三角形如图所示，当B点沿圆弧BC由B向C移动时，BO与竖直方向的夹角逐渐减小，依据三角形的边角关系可知：在B点沿圆弧BC由B移动到C的过程中，BO绳对O点的拉力FB先减小后增大，AO对O点的拉力FA逐渐减小，B、C正确；根据平衡条件，OA绳和OB绳对O点拉力的合力及OA绳和OB绳对半圆形支架拉力的合力均等于重物
5、重力，A、D错误。答案：BC【题组强化训练】1.(多选)(相似三角形法)表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个可视为质点的小球挂在定滑轮上，如图所示。两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L12.4R和L22.5R，这两个小球的质量之比为，小球与半球之间的压力之比为，则以下说法正确的是()A BC D解析：先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力m1g、绳子的拉力FT和半球的支持力FN1，作出受力分析图。由平衡条件得知，拉力FT和支持力FN1的合力与重力m1g大小相等、方向相反。设OOh，根据三角形相似得，解得m1g，FN1同理，
6、以右侧小球为研究对象，得m2g，FN2由式得，。答案：BC2(三角函数法)如图所示，木板P下端通过光滑铰链固定于水平地面上的O点，物体A、B叠放在木板上且处于静止状态，此时物体B的上表面刚好水平，现使木板P绕O点缓慢旋转到虚线所示位置，物体A、B仍保持静止，且相对木板没有发生移动，与原位置相比()AA对B的作用力减小 BB对A的摩擦力不变CP对B的摩擦力减小 DP对B的作用力减小解析：设木板与水平地面的夹角为，以物体A为研究对象，木板P未旋转前A只受到重力和支持力而处于平衡状态，所以B对A的作用力与A的重力大小相等，方向相反；当将木板P绕O点缓慢旋转到虚线所示位置，B的上表面不再水平，A受力情况如图(a)所示，图中代表B上表面与水平方向之间的夹角。A受到重力和B对A的支持力、摩擦力的合力仍然与A的重力等大反向，则A受到B对A的作用力保持不变，根据牛顿第三定律可知，A对B的作用力也不变，B对A的摩擦力增大，故A、B错误；以AB整体为研究对象，分析受力情况如图(b)所示，总重力GAB，木板的支持力FN2和摩擦力Ff2的合力。由平衡条件分析可知，木板对B的作用力大小与总重力大小相等，保持不变，D错误；FN2GABcos ，Ff2GABsin ，减小，FN2增大，Ff2减小，C正确。答案：C