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1、12 方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，题型变化较多，不仅有方程、不等式、函数，还有几何图形题型变化较多，不仅有方程、不等式、函数，还有几何图形的设计等的设计等.方案设计题型是通过设置一个实际问题情景，给出方案设计题型是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出有时也给出几个不同的解决方案几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优要求判断哪个方案较优.它包括与方程、它包
2、括与方程、不等式有关的方案设计、与函数有关的方案设计和与几何图不等式有关的方案设计、与函数有关的方案设计和与几何图形有关的方案设计形有关的方案设计.3 解决与方程和不等式有关的方案设计的题目，通常利用解决与方程和不等式有关的方案设计的题目，通常利用方程或不等式求出符合题意的方案；而与函数有关的方案设方程或不等式求出符合题意的方案；而与函数有关的方案设计一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考计一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，通常用函数的性质进行分析；与几何图形有关
3、的方案设计，通常用函数的性质进行分析；与几何图形有关的方案设计，一般是利用几何图形的性质，设计出符合某种要求和特点的一般是利用几何图形的性质，设计出符合某种要求和特点的图案图案.45方程、不等式方案设计方程、不等式方案设计方程、不等式方案方程、不等式方案设计问题主要是利用方程、不等式的相关主要是利用方程、不等式的相关知知识，建立相，建立相应的数学模型，利用列方程的数学模型，利用列方程(组)和不等式和不等式(组)，通，通过有关的有关的计算，找到方程算，找到方程(组)的解和不等式的解和不等式(组)的解集，的解集，再再结合合题目要求，确定未知数的具体数目要求，确定未知数的具体数值.未知数有几个未知数
4、有几个值，即有几种方案即有几种方案.6【例例1 1】(2010(2010岳阳中考岳阳中考)某货运码头，有稻谷和棉花共某货运码头，有稻谷和棉花共2 680 t2 680 t，其中稻谷比棉花多，其中稻谷比棉花多380 t.380 t.(1)(1)求稻谷和棉花各是多少？求稻谷和棉花各是多少？(2)(2)现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共5050个，将这批稻谷个，将这批稻谷和棉花运往外地和棉花运往外地.已知稻谷已知稻谷35 t35 t和棉花和棉花15 t15 t可装满一个甲型集可装满一个甲型集装箱；稻谷装箱；稻谷25 t25 t和棉花和棉花35 t35 t可装满一个乙
5、型集装箱可装满一个乙型集装箱.按此要求按此要求安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？7【思路点思路点拨】【自主解答自主解答】(1)(1)设稻谷稻谷为x tx t，棉花，棉花为y t.y t.根据根据题意，得意，得答：稻谷、棉花分答：稻谷、棉花分别为1 530 t1 530 t、1 150 t.1 150 t.8(2)(2)设安排甲型集装箱安排甲型集装箱x x个，个，则乙型集装箱乙型集装箱(50(50 x)x)个个.根据根据题意，得意，得解得解得28x30.28x30.又因又因为x x为整数整数,x,x2828、2929、30,30,共有三种方案共有
6、三种方案:方案一：安排甲型集装箱方案一：安排甲型集装箱2828个，乙型集装箱个，乙型集装箱2222个；个；方案二：安排甲型集装箱方案二：安排甲型集装箱2929个，乙型集装箱个，乙型集装箱2121个；个；方案三：安排甲型集装箱方案三：安排甲型集装箱3030个，乙型集装箱个，乙型集装箱2020个个.91.(20101.(2010宜宾中考宜宾中考)小明利用课余时间回收废品，将卖得的小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买钱去购买5 5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过2828元，元，且购买的笔记本的总页数不低于且购买的笔记本的总页数不低于340340页
7、，两种笔记本的价格和页，两种笔记本的价格和页数如下表页数如下表.为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案?请请说明理由说明理由.10【解析解析】设购买大笔大笔记本本为x x本，本，则购买小笔小笔记本本为(5-x)(5-x)本，本，依依题意，得意，得解得解得1x3.1x3.xx为整数整数,x,x的取的取值为1 1，2 2，3.3.当当x=1x=1时，购买笔笔记本的本的总金金额为61+54=26(61+54=26(元元)；当当x=2x=2时，购买笔笔记本的本的总金金额为62+53=27(62+53=27(元元)；当当x=3x=3时，购买笔笔记本的本的总金金额为6
8、3+52=28(63+52=28(元元).).应购买大笔大笔记本本1 1本，小笔本，小笔记本本4 4本，花本，花钱最少最少.112.(20102.(2010德化中考德化中考)某商店需要购进甲、乙两种商品共某商店需要购进甲、乙两种商品共160160件，件，其进价和售价如下表：其进价和售价如下表：(注注:获利获利=售价售价-进价进价)(1)(1)若商店计划销售完这批商品后能获利若商店计划销售完这批商品后能获利1 1001 100元，问甲、乙元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件两种商品应分别购进多少件?(2)(2)若商店计划投入资金少于若商店计划投入资金少于4 3004 300元，且销售完这批商品后
9、元，且销售完这批商品后获利多于获利多于1 2601 260元，请问有哪几种购货方案元，请问有哪几种购货方案?并直接写出其中并直接写出其中获利最大的购货方案获利最大的购货方案.12【解析解析】(1)(1)设甲种商品甲种商品应购进x x件，乙种商品件，乙种商品应购进y y件件.根据根据题意，得意，得答：甲种商品答：甲种商品购进100100件，乙种商品件，乙种商品购进6060件件.13(2)(2)设甲种商品甲种商品购进a a件，件，则乙种商品乙种商品购进(160-a)(160-a)件件.根据根据题意，得意，得解不等式解不等式组，得，得6565a a68.68.aa为非非负整数，整数，a a取取666
10、6，67.67.160-a160-a相相应取取9494，93.93.所以有两种所以有两种购货方案方案.方案一：甲种商品方案一：甲种商品购进6666件，乙种商品件，乙种商品购进9494件；方案二：甲种商品件；方案二：甲种商品购进6767件，乙种商品件，乙种商品购进9393件件.其中其中获利最大的是方案一利最大的是方案一.143.(20113.(2011凉山中考凉山中考)我州苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了我州苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织2121辆汽车辆汽车装运这三种土特产共装运这三种土特产共120120吨，参
11、加全国农产品博览会吨，参加全国农产品博览会.现有现有A A型、型、B B型、型、C C型三种汽车可供选择型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运已知每种型号汽车可同时装运2 2种土特产，且每辆车必须装满种土特产，且每辆车必须装满.根据下表信息，解答问题根据下表信息，解答问题.151617(1)(1)设设A A型汽车安排型汽车安排x x辆，辆，B B型汽车安排型汽车安排y y辆，求辆，求y y与与x x之间的函数之间的函数关系式关系式.(2)(2)如果三种型号的汽车都不少于如果三种型号的汽车都不少于4 4辆，车辆安排有几种方案辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案？并写出每种方案.18【解
12、析解析】(1)(1)方法一：方法一：根据根据题意得意得4x+6y+7(21-x-y)=1204x+6y+7(21-x-y)=120化化简得：得：y=-3x+27.y=-3x+27.方法二：根据方法二：根据题意得意得2x+4y+2x+(21-x-y)+2y+6(21-x-y)=1202x+4y+2x+(21-x-y)+2y+6(21-x-y)=120化化简得：得：y=-3x+27.y=-3x+27.19(2)(2)由由x x为正整数，正整数，x=5,6,7x=5,6,7故故车辆安排有三种方案，安排有三种方案，即：方案一：即：方案一：A A型型车5 5辆，B B型型车1212辆，C C型型车4 4
13、辆.方案二：方案二：A A型型车6 6辆，B B型型车9 9辆，C C型型车6 6辆.方案三：方案三：A A型型车7 7辆，B B型型车6 6辆，C C型型车8 8辆.20函数方案设计函数方案设计函数方案函数方案设计是指由是指由题目提供的背景材料或目提供的背景材料或图表信息，确定表信息，确定函数关系式函数关系式.利用函数利用函数图象的性象的性质获得解决得解决问题的具体方法的具体方法.解决此解决此类问题的的难点主要是正确确定函数关系式，关点主要是正确确定函数关系式，关键还要要熟悉函数的性熟悉函数的性质及如何通及如何通过不等式确定函数自不等式确定函数自变量的取量的取值范范围.21【例例2 2】(2
14、010(2010柳州中考柳州中考)某住宅小区计划购买并种植甲、乙某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共两种树苗共300300株株.已知甲种树苗每株已知甲种树苗每株6060元，乙种树苗每株元，乙种树苗每株9090元元.(1)(1)若购买树苗共用若购买树苗共用21 00021 000元，问甲、乙两种树苗应各买多少元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？株？(2)(2)据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为和，问如何购买甲、乙两种树苗才能保证该小区的空气净为和，问如何购买甲、乙两种树苗才能保证该小区的空气净化指数之和不低于化指数之和不低于9
15、090而且费用最低？而且费用最低？22【思路点思路点拨】23【自主解答自主解答】(1)(1)设购买甲种甲种树苗苗x x株，株，则购买乙种乙种树苗苗(300-x)(300-x)株株.依依题意意,得得60 x+90(300-x)=21 000,60 x+90(300-x)=21 000,解得解得x=200,300-x=300-200=100(x=200,300-x=300-200=100(株株),),答：答：购买甲种甲种树苗苗200200株，乙种株，乙种树苗苗100100株株.24(2)(2)设购买x x株甲种株甲种树苗，苗，(300-x)(300-x)株乙种株乙种树苗苗时,该小区的空小区的空气气
16、净化指数之和不低于化指数之和不低于90.90.依依题意意,得得0.2x+0.6(300-x)90,0.2x+0.6(300-x)90,0.2x+180-0.6x90,-0.4x-90,x225,0.2x+180-0.6x90,-0.4x-90,x225,此此时费用用y=60 x+90(300-x),y=-30 x+27 000.y=60 x+90(300-x),y=-30 x+27 000.yy是是x x的一次函数，且的一次函数，且y y随随x x的增大而减小的增大而减小,当当x=225x=225时，y y最小最小=-30225+27 000=20 250(=-30225+27 000=20
17、250(元元),),即当即当购买225225株甲种株甲种树苗，苗，7575株乙种株乙种树苗苗时,该小区的空气小区的空气净化指数之和不低于化指数之和不低于9090，且，且费用最低用最低为20 25020 250元元.254.(20104.(2010泰安中考泰安中考)某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收刷厂提出：每份材料收1 1元印制费，另收元印制费，另收1 0001 000元制版费；乙元制版费；乙厂提出：每份材料收厂提出：每份材料收2 2元印制费，不收制版费元印制费，不收制版费.(1)(1)分别写出两厂的收费分别写出两厂的收费y(y(元元)与印
18、制数量与印制数量x(x(份份)之间的函数关之间的函数关系式；系式；(2)(2)电视机厂拟拿出电视机厂拟拿出3 0003 000元用于印制宣传材料，找哪家印刷元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？厂印制的宣传材料能多一些？(3)(3)印刷数量在什么范围时，在甲厂印制合算？印刷数量在什么范围时，在甲厂印制合算？26【解析解析】(1)(1)甲厂的收甲厂的收费y y甲甲(元元)与印制数量与印制数量x(x(份份)之之间的函数的函数关系式关系式为y y甲甲=x+1 000,=x+1 000,乙厂的收乙厂的收费y y乙乙(元元)与印制数量与印制数量x(x(份份)之之间的函数关系式的函数关系
19、式为y y乙乙=2x.=2x.27(2)(2)根据根据题意：意：若找甲厂印制，可以印制的份数若找甲厂印制，可以印制的份数x x满足足3 000=x+1 000,3 000=x+1 000,解得解得x=2 000,x=2 000,若找乙厂印制，可以印制的份数若找乙厂印制，可以印制的份数x x满足足3 000=2x,3 000=2x,解得解得x=1 500,x=1 500,2 0001 500,2 0001 500,找甲厂印制的宣找甲厂印制的宣传材料多一些材料多一些.(3)(3)根据根据题意意,可得可得x+1 0002x,x+1 0001 000,x1 000,即当印制数量大于即当印制数量大于1
20、0001 000份份时，在甲厂印制合算，在甲厂印制合算.285.(20115.(2011盐城中考盐城中考)利民商店经销甲、乙两种商品，现有如利民商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：下信息：29请根据以上信息，解答下列问题请根据以上信息，解答下列问题:(1)(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？甲、乙两种商品的进货单价各多少元？(2)(2)该商店平均每天卖出甲商品该商店平均每天卖出甲商品500500件和乙商品件和乙商品300300件，经调查件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降元，这两种商品每发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降元，这两种商品每天可各多销售天可各多销售100100件，
21、为了使每天获取更大的利润，商店决定件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降把甲、乙两种商品的零售单价都下降m m元，在不考虑其他因素元，在不考虑其他因素的条件下，当的条件下，当m m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？30【解析解析】()设甲、乙两种商品的甲、乙两种商品的进货单价分价分别为x x元和元和y y元，元，依据依据题意得：意得：所以甲、乙两种商品的所以甲、乙两种商品的进货单价分价分别为2 2元和元和3 3元元.31(2)(2)设
22、商店每天商店每天销售甲、乙两种商品售甲、乙两种商品获取的利取的利润为w w元，根据元，根据题意，得：意，得：所以当所以当m m为元元时，才能使商店每天，才能使商店每天销售甲、乙两种商品售甲、乙两种商品获取的取的利利润最大，每天的最大利最大，每天的最大利润为1 7051 705元元.326.(20106.(2010凉山中考凉山中考)下表是西昌市到攀枝花市两条线路的有下表是西昌市到攀枝花市两条线路的有关数据关数据.33(1)(1)若小车在高速路上行驶的平均速度为若小车在高速路上行驶的平均速度为90 km/h,90 km/h,在在108108国道国道上行驶的平均速度为上行驶的平均速度为50 km/h
23、,50 km/h,则小车走高速公路比走则小车走高速公路比走108108国道国道节省多少时间节省多少时间?(2)(2)若小车每千米的油耗量为若小车每千米的油耗量为x L,x L,汽油价格为元汽油价格为元/L./L.问问x x为何值为何值时时,走哪条线路的总费用较少走哪条线路的总费用较少?(?(总费用总费用=过路费过路费+油耗费油耗费)(3)(3)公路管理部门在高速路口对从西昌市到攀枝花市五类不同公路管理部门在高速路口对从西昌市到攀枝花市五类不同油耗的小车进行统计油耗的小车进行统计,得到平均每小时通过的车辆数的频数分得到平均每小时通过的车辆数的频数分布直方图如图所示布直方图如图所示.请估算请估算1
24、0 h10 h内这五类小车走高速公路比走内这五类小车走高速公路比走108108国道节省了多少升汽油国道节省了多少升汽油.(.(以上结果均保留两位有效数字以上结果均保留两位有效数字)3435【解析解析】(1)(1)即小即小车走高速公路比走走高速公路比走108108国道国道节省省约2.9 h.2.9 h.(2)(2)设小小车走高速公路的走高速公路的总费用用为y y1 1元元,走走108108国道的国道的总费用用为y y2 2元元,则y y1 1=7185=7185x+120,x+120,即即y y1 1=1 295x+120,y=1 295x+120,y2 2=7250=7250 x,x,即即y
25、y2 2=1 750 x.=1 750 x.当当y y1 1=y=y2 2时,即即1 295x+120=1 750 x,1 295x+120=1 750 x,解得解得x0.26;x0.26;当当y y1 1yy2 2时,即即1 295x+1201 750 x,1 295x+1201 750 x,解得解得x0.26;x0.26;当当y y1 1yy2 2时,即即1 295x+1201 750 x,1 295x+1200.26.x0.26.36当当x0.26 L/kmx0.26 L/km时,小小车走两条路的走两条路的总费用相等用相等;当当x0.26 L/kmx0.26 L/kmx0.26 L/km
26、时,小小车走高速公路的走高速公路的总费用用较少少.(3)10(250-185)(1000.26+2000.28+5000.30+(3)10(250-185)(1000.26+2000.28+5000.30+5000.32+1000.34)=276 9002.8105000.32+1000.34)=276 9002.8105 5(L).(L).即即10 h10 h内内这五五类小小车走高速公路比走走高速公路比走108108国道大国道大约节省了省了2.8102.8105 5 L L汽油汽油.37图形方案设计图形方案设计图形方案形方案设计题，它，它摆脱了脱了传统的的简单作作图，把，把对作作图的技的技能
27、的考能的考查放在一个放在一个实际生活的大背景下，从而考生活的大背景下，从而考查了学生的了学生的综合合创新能力，新能力，给同学同学们的的创造性思造性思维提供了广提供了广阔的空的空间与与平台平台.此此类题常利用某些常利用某些规则的的图形，如等腰三角形、菱形、形，如等腰三角形、菱形、矩形、矩形、圆等，利用等，利用图形的性形的性质，或利用，或利用轴对称和中心称和中心对称等，称等，拼出符合某些条件的拼出符合某些条件的图形形.38【例例3 3】(2010(2010枣庄中考枣庄中考)在在3333的正方形格点图中，有格点的正方形格点图中，有格点ABCABC和和DEFDEF，且，且ABCABC和和DEFDEF关
28、于某直线成轴对称，请在关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出下面给出的图中画出4 4个这样的个这样的DEF.DEF.39【思路点思路点拨】确定一条直确定一条直线为对称称轴，然后再画出，然后再画出DEFDEF，使，使其与其与ABCABC关于关于这条直条直线成成轴对称称.【自主解答自主解答】答案不惟一，如：答案不惟一，如：407.(20107.(2010新疆中考新疆中考)用四块如图用四块如图(1)(1)所示的正方形卡片拼成一所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)(2)、图、图(3)(3)、图、图(4)
29、(4)中各画出一种拼法中各画出一种拼法(要求三种画法各不相要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形).).41【解析解析】答案不惟一，如：答案不惟一，如：428.(20118.(2011成都中考成都中考)某学校要在某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限墙的长度不限)，另三边用木栏，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD.ABCD.已知木栏总长为已知木栏总长为12012
30、0米，设米，设ABAB边的长为边的长为x x米，长方形米，长方形ABCDABCD的面积为的面积为S S平方米平方米.43(1)(1)求求S S与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式(不要求写出自变量不要求写出自变量x x的取值范围的取值范围).).当当x x为何值时，为何值时，S S取得最值取得最值(请指出是最大值还是最小值请指出是最大值还是最小值)？并求出这个最值；并求出这个最值；(2)(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为外切的等圆，其圆心分别为O O1 1和和O O2 2，且，且O O1 1到
31、到ABAB、BCBC、ADAD的距离的距离与与O O2 2到到CDCD、BCBC、ADAD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够米宽的平直路面，以方便同学们参观学域外四周至少要留够米宽的平直路面，以方便同学们参观学习习.当当(1)(1)中中S S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由求出圆的半径；若不可行，请说明理由.44【解析解析】(1)S=x(120-2x)(1)S=x(120-2x)，顶点坐点坐标为(30,1 800)(30,1 800)，即当，即当x=30 x=30时，S S有最大有最大值1 800.1 800.(2)(2)不可行不可行.设圆的半径的半径为r r米，米，则 解得解得r ,r ,又因又因为30-2r=60-4r,30-2r=60-4r,解得解得r=15,r=15,所以不符合要求所以不符合要求.所以不可行所以不可行.4546