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1、1 高二数学导数单元测试题（有答案）（一）选择题（1）曲线3231yxx在点（ 1，-1 ）处的切线方程为（）A34yx B 。32yx C 。43yx D。45yxa (2) 函数yax21 的图象与直线yx相切，则a ( ) A18 B41 C21 D1 (3) 函数13)(23xxxf是减函数的区间为( ) A),2(B )2,( C )0,( D （0，2）(4) 函数,93)(23xaxxxf已知3)(xxf在时取得极值，则a= ( ) A2 B3 C4 D5 (5) 在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是( ) A3 B2 C1 D0 （6）函
2、数3( )1f xaxx有极值的充要条件是（）A0a B0a C0a D0a（7）函数3( )34f xxx（0,1x的最大值是（） A12 B -1 C0 D1 （8）函数)(xf=x （x1） （x2）（x100）在x 0 处的导数值为（）A、0 B、1002C、200 D、100！（9）曲线313yxx在点413，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）19291323（二）填空题（1） 垂直于直线2x+6y1=0 且与曲线 y = x33x5 相切的直线方程是。（2） 设 f ( x ) = x321x2 2x5，当2, 1x时， f ( x ) 7 3、4 -11 4、18, 3 5、
3、(,0) 6、1,)37、(, 1)(2,) 8、),322, 0三 1解： （）由)(xf的图象经过P （0， 2） ， 知 d=2， 所以, 2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf由在)1(, 1(fM处的切线方程是076yx，知.6) 1(, 1) 1(, 07)1(6fff即.3,0, 32. 121, 623cbcbcbcbcb解得即故所求的解析式是.233)(23xxxxf（2）.012,0363.363)(222xxxxxxxf即令解得.21,2121xx当; 0)(,21,21xfxx时或当.0)(,2121xfx时故)21 ,(233)(23在xxxxf内是增函数，
4、 在)21 ,21(内是减函数，在),21 (内是增函数 . 2 （）解：323)(2bxaxxf，依题意，0) 1()1(ff，即.0323,0323baba解得0, 1 ba. )1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf. 令0)(xf，得1, 1xx. 若), 1() 1,(x，则0)(xf，故)(xf在) 1,(上是增函数，)(xf在), 1 (上是增函数 . 若)1, 1(x，则0)(xf，故)(xf在)1, 1(上是减函数 . 所以，2)1(f是极大值；2)1 (f是极小值 . （）解：曲线方程为xxy33，点)16,0(A不在曲线上 . 设切点为),(00yxM，则点
5、M的坐标满足03003xxy. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 5 因) 1(3)(200 xxf，故切线的方程为)(1(30200 xxxyy注意到点 A（0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030 xxxx化简得830 x，解得20 x. 所以，切点为)2,2(M，切线方程为0169yx. 3解：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.0)() 1 , 1(,) 1 , 1()(.23)(2xf
6、xftxxxf上可设则在上是增函数在若)(xf的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05) 1(,01) 1(tftf.5.)1 ,1()(,0)()1 , 1()(ttxfxfxf的取值范围是故上是增函数在即上满足在4解：（1）22( )33(2)63 ()(1),fxaxaxa xxa( )f x极小值为(1)2af（2）若0a，则2( )3(1)fxx，( )f x的图像与x轴只有一个交点；若0a，( )f x极大值为(1)02af，( )f xQ的极小值为2()0fa，( )f x的图像与x轴有三个交点；若02a，( )f x的图像与x轴只有一个交点；若2a，则2( )6(1)0fxx
7、，( )f x的图像与x轴只有一个交点；若2a，由（1）知( )f x的极大值为22133()4()044faa，( )f x的图像与x轴只有一个交点；综上知，若0,( )af x的图像与x轴只有一个交点；若0a，( )f x的图像与x轴有三个交点。5解 (I)2( )36(1)fxmxmxn因为1x是函数( )f x的一个极值点, 所以(1)0f, 即36(1)0mmn，所以36nm（II ）由（ I ）知，2( )36(1)36fxmxmxm=23 (1)1m xxm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -
8、- - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 6 当0m时，有211m，当x变化时，( )f x与( )fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m1 1,( )fx00 00 0( )f x调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当0m时，( )f x在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减 . （III）由已知得( )3fxm，即22(1)20mxmx又0m所以222(1)0 xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm设212( )2(1)g xxxmm，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以22( 1)0120(1)01
9、0gmmg解之得43m又0m所以403m即m的取值范围为4,036略7解： （）2( )663fxxaxb，因为函数( )f x在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f即6630241230abab，解得3a，4b（）由（）可知，32( )29128f xxxxc，2( )618126(1)(2)fxxxxx当(01)x，时，( )0fx；当(12)x，时，( )0fx；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 7 当(2 3)x
10、，时，( )0fx所以，当1x时，( )f x取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc则当03x，时，( )f x的最大值为(3)98fc因为对于任意的0 3x，有2( )f xc恒成立，所以298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)U，8解： （）23( )()1(0)f xt xtttxtRQ，当xt时，( )f x取最小值3()1fttt，即3( )1h ttt（）令3( )( )( 2)31g th ttmttm，由2( )330g tt得1t，1t（不合题意，舍去） 当t变化时( )g t，( )g t的变化情况如下表：t(0 1)，1(12)，( )
11、g t0( )g t递增极大值1m递减( )g t在(0 2)，内有最大值(1)1gm( )2h ttm在(0 2)，内恒成立等价于( )0g t在(0 2)，内恒成立，即等价于10m，所以m的取值范围为1m9解： （）2( )32fxaxbxc，由已知(0)(1)0ff，即0320cabc，解得032cba，2( )33fxaxax，13332422aaf，2a，32( )23f xxx（）令( )f xx，即32230 xxx，(21)(1)0 xxx，102x或1x又( )f xx在区间0m，上恒成立，102m10解：设长方体的宽为x（m ） ，则长为 2x(m)，高为230(m)35.
12、441218xxxh. 故长方体的体积为).230()(m69)35.4(2)(3322xxxxxxV从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当 0 x1 时，V（x）0；当 1x32时，V（x） 0，故在x=1 处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 8 从而最大体积VV（x）912-613（m3） ，此时
13、长方体的长为2 m ，高为 1.5 m.答：当长方体的长为2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m3。11解： （1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x）元月平均销售量为)1 (2xa件则月平均利润15)1(20)1(2xxay（元）y 与 x 的函数关系式为)10)(441(532xxxxay（1）令210)1224(52xxxay得当0121;0210yxyx时当时即函数)441 (532xxxay在) 1 ,21()21,0(上单调递增；在上单调递减，所以函数)10)(441(532xxxxay在21x取得最大值 . 所以改进工艺后，产品的销售价
14、提高的百分率为3021120,21）（销售价为元时， 旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 12解：以 O为原点， OA所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）依题意可设抛物线的方程为.21,422).4,2(,222ppCpyx且故曲线段 OC的方程为).20(2xxy 3分设 P（2,xx）)20(x是曲线段OC上的任意一点，则|PQ|=2+x，|PN|=4 x2. 5分工业园区面积S=|PQ|PN|= （2+x） （ 4x2）=8x3 2x2+4x. 6分S=3x24x+4，令 S=0, 2,3221xx又.32,20 xx7 分当)32,0 x时，S0，S是x的增函数； 8 分当2,32
15、(x）时， S? -? ?且15（1）( ),0fxQ在上是增函数 , 在 0,2 上是减函数20( )0( )32(0)0 xfxfxxbxcfQ是的根又0c( )0,2,(2)0840(2)01240384f xfbdfbbdbQQ又的根为又又4d（2）(1)1(2)0fbdfQ8463(1) 184673dbfbb且2（3）( )0f xQ有三根,2,32( )()(2)()(2)222f xxxxxxbdg222222|2|()4(2)244168412(2)163| 3bdbbbbbbbQ又当且仅当 b=-3时取最小值 , 此时d=432( )34f xxx16 （）( )f x为奇
16、函数，()( )fxf x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 11 即33axbxcaxbxc0c2( )3fxaxb的最小值为1212b又直线670 xy的斜率为16因此，(1)36fab2a，12b，0c（）3( )212fxxx2( )6126(2)(2)fxxxx，列表如下：x(,2)2(2,2)2( 2,)( )fx00( )f xZ极大极小Z所以函数( )f x的单调增区间是(,2)和(2,)( 1)10f，(2)8 2f，(3)18f( )f x在 1,3上的最大值是(3)18f，最小值是(2)8 2f精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -